Deux boîtes, un devin presque infaillible et une question toute simple : en prenez-vous une ou deux ?
Devant vous, deux boîtes :
Vous avez le choix entre prendre la boîte B seule ou prendre les deux boîtes.
Le contenu de B a été décidé hier par un Prédicteur. S’il a prévu que vous prendriez B seule, il y a déposé le million. S’il a prévu que vous prendriez les deux, il l’a laissée vide. Or ce Prédicteur est redoutable : il a déjà joué des milliers de fois, et il ne s’est presque jamais trompé. Vous savez tout cela, et il sait que vous le savez.
| B contient le million | B est vide | |
|---|---|---|
| Vous prenez B seule | 1 000 000 € | 0 € |
| Vous prenez A et B | 1 001 000 € | 1 000 € |
Que faites-vous ?
Le problème a été imaginé en 1960 par le physicien William Newcomb, puis rendu célèbre par le philosophe Robert Nozick en 1969.
Supposons que le Prédicteur voie juste avec une probabilité $p$.
Si je prends B seule, il l’avait prévu avec la probabilité $p$, et je gagne en moyenne (en euros)
$$E_1 = p\times 10^6$$
Si je prends les deux, je touche les 1 000 € à coup sûr, plus le million s’il s’est trompé :
$$E_2 = 10^3 + (1-p)\times 10^6$$
Avec un Prédicteur fiable à 99 %, cela fait 990 000 € d’un côté et 11 000 € de l’autre. Il n’y a pas photo. Mieux, la boîte unique l’emporte dès que
$$p > \frac{1}{2}+\frac{10^3}{2\times 10^6} = 0{,}5005$$
Un Prédicteur à peine meilleur qu’une pièce de monnaie suffit. Et d’ailleurs, regardez autour de vous : ceux qui n’ont pris qu’une boîte sont repartis millionnaires, les autres avec 1 000 €.
Le Prédicteur est passé hier. À l’instant où je choisis, le contenu de B est fixé, et rien de ce que je ferai ne peut le modifier. De deux choses l’une :
Dans les deux cas, je gagne 1 000 € de plus en prenant tout : il suffit de lire le tableau colonne par colonne. On dit que cette stratégie domine l’autre. Un ami qui verrait l’intérieur de la boîte B me conseillerait de prendre les deux, quoi qu’il y voie !
Nozick remarquait que presque tout le monde trouve la réponse évidente, mais que les gens se partagent à peu près en deux camps, chacun persuadé que l’autre déraisonne. Les philosophes de métier ne font pas mieux : dans l’enquête PhilPapers de 2020, environ quatre sur dix choisissaient les deux boîtes, trois sur dix une seule, et les autres ne tranchaient pas.
Le calcul d’espérance et l’argument de dominance sont deux piliers de la théorie de la décision et, d’ordinaire, ils ne se contredisent jamais. Pourquoi ici ? Parce que l’argument de dominance n’est valable que si l’état du monde, ici le contenu de B, est indépendant de mon choix. Et tout le problème est de savoir ce qu’« indépendant » veut dire.
Une corrélation sans causalité : le schéma est classique. Mon choix ne cause pas le contenu de la boîte, le contenu ne cause pas mon choix, mais les deux ont une cause commune : ce que je suis, mon caractère, l’état de mon cerveau hier, que le Prédicteur a su lire.
contenu de B ⟵ prédiction ⟵ ce que je suis ⟶ mon choix
Le partisan des deux boîtes en conclut : « ce que je suis est déjà joué, autant ramasser les 1 000 € ». Le partisan de la boîte unique lui répond : « justement, sois quelqu’un qui n’en prend qu’une ».
Les deux camps n’évaluent pas la même chose. Si l’on juge un acte isolé, une fois les boîtes remplies, prendre les deux est imbattable. Si l’on juge une disposition, une règle de conduite adoptée une fois pour toutes, « ne prendre qu’une boîte » rapporte bien davantage. Le paradoxe se loge exactement dans cet écart : la meilleure règle prescrit un acte qui, pris isolément, n’est pas le meilleur.
On peut pousser l’expérience de pensée un cran plus loin. Comment le Prédicteur s’y prend-il ? S’il est un démon de Laplace, il connaît l’état de chaque particule de mon cerveau et déroule les équations. Autrement dit, il me simule.
Mais alors, au moment de choisir, comment savoir si je suis l’original, devant les vraies boîtes, ou la simulation, dont le choix va déterminer leur contenu ? Dans le second cas, mon choix cause bel et bien le contenu de B, et même le plus fervent partisan de la causalité devrait ne prendre qu’une boîte.
Le paradoxe de Newcomb finit ainsi par reposer une vieille question : que reste-t-il de la notion de « choix » pour un système dont le comportement est prévisible ?
Vous jouez au dilemme du prisonnier contre une copie exacte de vous-même. Coopérez-vous ? Le philosophe David Lewis a montré que c’est le même problème : votre copie fera ce que vous ferez, sans que vous puissiez agir sur elle.
La super série de Monsieur Phi :