Arithmétique et théorie des nombres :

Numération

Le système décimale nous est si familier qu’il nous paraît incongru de compter autrement. Et pourtant, bien d’autres systèmes sont ou ont été utilisés :

  • système binaire (base 2) utilisé dans des langues d'Amérique du Sud et d'Océanie, et utilisé de nos jours en informatique.
  • système quinaire (base 5) dont il reste des traces jusqu’au xxe siècle dans des langues africaines, mais aussi, partiellement, dans les notations tchouvache, suzhou, romaine et maya. Le nom des chiffres 6, 7, 8 et 9 dans de nombreuses langues témoignent de ce système quinaire : ils se disent 5+1, 5+2, 5+3 et 5+4 en wolof (langue de la famille nigéro-congolaise), en khmer (langue austro-asiatique), en nahuatl (langue uto-aztèque), et, dans de nombreuses langues austronésiennes telles qu’en lote ou en ngadha (sous forme partielle). La base quinaire apparait parfois comme base auxiliaire ou sous-base de la base décimale, comme dans le système romain, ou de la base vigésimale.

  • système duodécimal (base 12), déjà utilisé par les Sumériens et Assyro-babyloniens pour des mesures de longueur et de temps. On le retrouve dans un certain nombre de monnaies et d’unités de compte courantes en Europe au Moyen Âge, notamment dans le système impérial d’unités (il faut 12 pouces pour faire un pied), et dans le commerce. Il sert encore, par exemple, pour compter les mois, les heures, les fleurs, les huîtres et les œufs.

  • système hexadécimal (base 16), très couramment utilisé en électronique ainsi qu’en informatique. Son intérêt réside dans les conversions triviales avec la base 2, tout en permettant une écriture plus compacte des nombres.

  • système vigésimal (ou vicésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les Aztèques vers 1200 et, quoiqu’irrégulier, pour la numération maya. Il était aussi présent en vieux français, ce qui explique l’usage du mot quatre-vingts pour le nombre 80, ou encore le nom de l’hôpital des Quinze-Vingts, qui pouvait accueillir 300 patients.

note

Chiffres de Kaktovik :
Toutes les langues eskimo-aléoutes d’Alaska et du Canada utilisent un système vigésimal pour compter. Les chiffres arabes, qui ont été conçus pour un système décimal, sont inadéquats pour l’iñupiaq et les autres langues inuites. Pour remédier à ce problème, des élèves d’une école de Kaktovik, en Alaska, ont inventé un système à base 20 en 1994 (représenté ci-dessus), qui s’est répandu parmi les Iñupiat en Alaska et a été envisagé au Canada.

  • système sexagésimal (base 60) était utilisé pour la numération babylonienne et en Mésopotamie vers 3300 av. J.-C., ainsi que par les Indiens et les Arabes en trigonométrie. Il sert encore actuellement dans la mesure du temps et certaines mesures des angles.

Les chiffres et nombres mésopotamiens de 1 à 59 :

Source : Wikipedia

Une vidéo en hommage à la base 3 :


Nombres algébriques

Un nombre algébrique est un nombre réel ou complexe solution d’une équation polynomiale à coefficients dans le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels.

Traçons l’ensemble des racines des $2^{21}$ (≈ 2 millions) polynômes de degré 20 possible si chacun des coefficients vaut soit 1, soit -1.
Exemple d’un de ces polynômes : $-x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1$
Un polynôme de degré 20 a 20 racines complexes. On se retrouve donc avec 40 millions de points (dont beaucoup sont aux mêmes endroits)… Et cela donne ça :

Sont tracés ci-dessous les racines pour des degrés croissants de ces polynômes à coefficients unitaires.

note

Cette page pour en savoir plus. Ça parle même de dragons !

En représentant dans le plan complexe les racines d’un polynôme de degré 2 dont on fait varier chacun des trois coefficients entre -100 et 100, on obtient la jolie figure suivante (ici dans une zone centrée sur zéro et de rayon 1,7) :


Fractions continues

De l’algorithme d’Euclide à la théorie musicale en passant par les calendriers et les éclipses :


La jolie origine physico-mathématique de la présence du nombre d’or dans les plantes :


Algorithme d’Euclide

Une écriture récursive de l’algo en Python :

def pgcd(a,b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return pgcd(b,a%b)

Un des plus anciens algorithmes connus, très simple dans sa formulation mais qui recèle des surpises comme l’apparition du nombre d’or dans la détermination de sa complexité temporelle (nombre d’étapes de calcul en fonction des entiers a et b ).


L’étude de la complexité de l’algorithme d’Euclide fait joliment intervenir le nombre d’or :


Triplets pythagoriciens



Divisibilité et nombres premiers




Complexes et quaternions

note

Jolie série de vidéos sur les complexes.