Nombres complexes
Très belle série de vidéos présentant les complexes.
Comme on l’a vu ici, les complexes sont la clôture algébrique des réels, une extension permettant à tout polynôme d’avoir ses racines dans l’ensemble.
Et chez les complexes, ces racines peuvent tracer de jolies figures comme on va le voir dans la suite.
Entiers algébriques
Un nombre algébrique est un nombre réel ou complexe solution d’une équation polynomiale à coefficients dans le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels. Et si les coefficient sont entiers, on parle d’entiers algébriques.
Traçons l’ensemble des racines des $2^{21}$ (≈ 2 millions) polynômes de degré 20 possible si chacun des coefficients vaut soit 1, soit -1.
Exemple d’un de ces polynômes : $-x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1$
Un polynôme de degré 20 a 20 racines complexes. On se retrouve donc avec 40 millions de points (dont beaucoup sont aux mêmes endroits)… Et cela donne ça :
Sont tracés ci-dessous les racines pour des degrés croissants de ces polynômes à coefficients unitaires.
Cette page pour en savoir plus. Ça parle même de dragons !
En représentant dans le plan complexe les racines d’un polynôme de degré 2 dont on fait varier chacun des trois coefficients entiers entre -100 et 100, on obtient la jolie figure suivante (ici dans une zone centrée sur zéro et de rayon 1,7) :
Pour avoir des racines ailleurs que sur l’axe des abscisses, il faut un discriminant négatif. On obtient alors des solutions complexes conjuguées : $z_\pm = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$.
- Qu'obtient-on si on fixe $a$ et $b$ et qu'on fait varier $c$ ?
On obtient des droites verticales plantées aux abscisses $-\frac{b}{2a}$.
- Qu'obtient-on si on fixe $a$ et $c$ et qu'on fait varier $b$ ?
Prenons le module au carré de nos racines complexes :
$$|z|^2 = \left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 + 4ac - b^2}{4a^2} = \frac{c}{a}$$
Le module est donc $|z| = \sqrt{\frac{c}{a}}$. Cela signifie que pour un couple $(a, c)$ fixé, toutes les racines obtenues en faisant varier $b$ se trouvent sur un cercle centré à l’origine. Les rayons visibles sont donc des racines de fractions rationnelles ($\sqrt{1}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{1/2}$, etc.).
- Et si on fixe $b$ et $c$ et qu'on fait varier $a$ ?
En injectant $z = x + iy$ dans $az^2+bz+c=0$, on obtient :
$$a(x + iy)^2 + b(x + iy) + c = 0$$
$$a(x^2 - y^2 + 2ixy) + bx + iby + c = 0$$
En séparant les parties réelle et imaginaire, on aboutit au système suivant :
$$ \begin{cases} a(x^2 - y^2) + bx + c = 0 & \text{(partie réelle)} \\ 2axy + by = 0 \implies y(2ax + b) = 0 & \text{(partie imaginaire)} \end{cases} $$
Comme on étudie les racines complexes, $y ≠ 0$, ce qui impose la condition :
$$2ax + b = 0 \implies a = -\frac{b}{2x}$$
Substituons cette expression de $a$ dans l’équation de la partie réelle :
$$\left(-\frac{b}{2x}\right)(x^2 - y^2) + bx + c = 0$$
Multiplions tout l’équation par $-2x$ (pour $x \neq 0$) :
$$b(x^2 - y^2) - 2bx^2 - 2cx = 0$$ $$-bx^2 - by^2 - 2cx = 0$$
En multipliant par $-1/b$ (pour $b ≠ 0$), on obtient une équation de cercle caractéristique :
$$x^2 + y^2 + \frac{2c}{b}x = 0$$ En mettant sous forme canonique (complétion du carré) :
$$\left(x + \frac{c}{b}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{c}{b}\right)^2$$
Équation de cercles dont le centre est situé sur l’axe des réels à la coordonnée $\left(-\frac{c}{b}, 0\right)$ et de rayon $R = \left|\frac{c}{b}\right|$.
Puisque la distance du centre à l’origine est égale au rayon, tous ces cercles sont tangents à l’axe imaginaire à l’origine $(0,0)$.
- Quid des zones d'exclusion ?
Calculons la distance au carré entre une racine complexe $z = x + iy$ et un point rationnel quelconque $\frac{p}{q}$ situé sur l’axe des abscisses (où $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$).
$$\left|z - \frac{p}{q}\right|^2 = \left(x - \frac{p}{q}\right)^2 + y^2$$
Nous savons d’autre part que $x = -\frac{b}{2a}$ et $y^2 = \frac{4ac - b^2}{4a^2}$. Injectons ces expressions :
$$ \begin{aligned} \left|z - \frac{p}{q}\right|^2 &= \left(-\frac{b}{2a} - \frac{p}{q}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2}\\ & =\frac{(bq + 2ap)^2 + q^2(4ac - b^2)}{4a^2q^2} \end{aligned} $$
Développons le numérateur :
$$b^2q^2 + 4abpq + 4a^2p^2 + 4acq^2 - b^2q^2 = 4a^2p^2 + 4abpq + 4acq^2$$
En simplifiant par $4a^2$ au numérateur et au dénominateur, on obtient :
$$\left|z - \frac{p}{q}\right|^2 = \frac{ap^2 + bpq + cq^2}{aq^2}$$
Posons $I = ap^2 + bpq + cq^2$. Puisque $a, b, c, p, q$ sont tous des entiers, $I$ est obligatoirement un entier.
De plus, si $I = 0$, cela signifierait que le nombre rationnel $\frac{p}{q}$ est une solution exacte de l’équation $at^2 + bt + c = 0$. Or, nous avons posé comme condition initiale que l’équation possède des racines strictement complexes ($\Delta < 0$). Le polynôme n’admet donc aucune racine réelle. Par conséquent, $I$ ne peut pas être nul :
$$I \in \mathbb{Z}^* \implies |I| \ge 1$$
On en déduit l’inégalité fondamentale suivante :
$$\left|z - \frac{p}{q}\right|^2 \ge \frac{1}{a q^2}$$
Comme les coefficients de la figure sont bornés par $N = 100$, la valeur maximale de $a$ est $100$. On obtient donc le rayon d’exclusion minimal théorique autour de n’importe quelle fraction $\frac{p}{q}$ :
$$\left|z - \frac{p}{q}\right| \ge \frac{1}{q\sqrt{100}} = \frac{1}{10q}$$
Conclusion :
Autour de $0$ ($\frac{0}{1}$) : Le rayon d’exclusion est de $\frac{1}{10 \times 1} = 0,1$. C’est le grand trou central.
Autour de $1$ et $-1$ ($\frac{1}{1}$ et $\frac{-1}{1}$) : le rayon d’exclusion minimum est également de $\frac{1}{10 \times 1} = 0,1$, mais en pratique, le fait que la partie réelle vale $-\frac{b}{2a}=\pm 1$ impose $|b|=2|a|$ et donc $a$ se ballade jusqu’à 50 seulement rendant le trou $\sqrt{2}$ fois plus gros.
Cette loi en $\frac{1}{10q}$ explique pourquoi la taille des zones d’exclusion décroît de manière fractale à mesure que le dénominateur de la fraction augmente.
Ensemble de Mandelbrot
L’ensemble de Mandelbrot est une des fractales les plus célèbres.
Il est défini par une suite récurrente.
Pour chaque point $c$ du plan complexe :
$$z_{0} = 0$$
$$z_{n+1} = z_{n}^2 + c$$
Pour chaque point $c$ (qui correspond à un pixel de l’image) :
- Si la suite converge, le point appartient à l'ensemble.
- Si la suite diverge, la couleur correspond à la vitesse de divergence (le nombre d'itérations nécessaires pour que le module de $z_n$ dépasse une certaine valeur seuil, 2 ici). Plus la divergence sera rapide, plus le point sera blanc.
La vidéo montre une zone à la frontière de l’ensemble appelée vallée des hippocampes pour un nombre d’iteration croissant.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def mandelbrot(c, max_iter):
z = complex(0, 0)
for n in range(max_iter):
if abs(z) > 2.0:
# Calcul pour lisser la couleur
log_zn = np.log(z.real*z.real + z.imag*z.imag) / 2.0
nu = np.log(log_zn / np.log(2)) / np.log(2) if log_zn > 0 else 0
n = n + 1 - nu
break
z = z*z + c
return n / max_iter # Normalisation pour assurer une transition douce
centre = (-0.06783611264225832-0.0025,0.6617460391250546+0.0005)
# Paramètres de l'image
width, height = 2000, 1000
x_min, x_max = centre[0]-0.004, centre[0]+0.004
y_min, y_max = centre[1]-0.002, centre[1]+0.002
# Création de l'image
for i in range(27,301): # Générer 20 images avec des itérations croissantes
img = np.zeros((height, width))
for x in range(width):
for y in range(height):
c = complex(x_min + (x / width) * (x_max - x_min),
y_min + (y / height) * (y_max - y_min))
m = mandelbrot(c, i)
img[y, x] = m
#img = (img - np.min(img)) / (np.max(img) - np.min(img)) # Normalisation
plt.imsave(f'mandelbrot/mandelbrot_{i:03d}.png', img, cmap='Blues')
print(i)
Triplets pythagoriciens
Les nombres complexes vont nous aider à mettre la main sur tous les triplets pythagoriciens, ces triplets d’entiers $(a,b,c)$ tels que $a^2+b^2=c^2$.
Code utilisé :