Nombres complexes
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Jolie série de vidéos présentant les complexes.
Comme on l’a vu ici, les complexes sont la clôture algébrique des réels, une extension permettant que tout polynôme trouve ses racines dans l’ensemble.
Et chez les complexes, ces racines peuvent tracer de jolies figures.
Nombre algébriques
Un nombre algébrique est un nombre réel ou complexe solution d’une équation polynomiale à coefficients dans le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels.
Traçons l’ensemble des racines des $2^{21}$ (≈ 2 millions) polynômes de degré 20 possible si chacun des coefficients vaut soit 1, soit -1.
Exemple d’un de ces polynômes : $-x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1$
Un polynôme de degré 20 a 20 racines complexes. On se retrouve donc avec 40 millions de points (dont beaucoup sont aux mêmes endroits)… Et cela donne ça :
Sont tracés ci-dessous les racines pour des degrés croissants de ces polynômes à coefficients unitaires.
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Cette page pour en savoir plus. Ça parle même de dragons !
En représentant dans le plan complexe les racines d’un polynôme de degré 2 dont on fait varier chacun des trois coefficients entre -100 et 100, on obtient la jolie figure suivante (ici dans une zone centrée sur zéro et de rayon 1,7) :
Triplets pythagoriciens
Les nombres complexes vont nous aider à mettre la main sur tous les triplets pythagoriciens, ces triplets d’entiers $(a,b,c)$ tels que $a^2+b^2=c^2$.