Écart-type expérimental
Définition de l’écart-type expérimental, ou écart-type non biaisé, ou écart-type échantillon :
$$S_{n-1}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2}$$
Pourquoi “non biaisé” ? Et pourquoi passer de “$n$” à “$n-1$" ?
Notre problème est qu’on ne connaît plus la valeur vraie de la moyenne $\mu$ mais seulement son estimation $m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.
Et en substituant $m$ à $\mu$ dans la variance, on biaise son espérance…
En effet :
$$
\begin{aligned}
E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2\right) &= E \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - m^2 \right) &&\text{car } -2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\times m = -2 m^2\\
& = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(x_i^2)-E(m^2)\\
& = E(x^2)-E(m^2) &&\text{car }E(x_i)=E(x)\text{ ne dépend pas de }i\\
&= \left(V(x)+E(x)^2\right)-\left(V(m)+E(m)^2\right)&&\text{car }V(x)=E(x^2)-E(x)^2\\
&= \left(V(x)+E(x)^2\right)-\left(\frac{1}{n}V(x)+E(x)^2\right)&&\text{car }V(m)=\frac{1}{n}V(x)\\
&= \frac{n-1}{n}V(x)
\end{aligned}
$$
Par conséquent, on multiplie par $\frac{n}{n-1}$ pour se débarrasser du biais…