Échaufaudage des nombres

Un ensemble est une collection d’éléments $\{\text{élément 1},\text{élément 2},\ldots\}$.

Une loi de composition interne $\star$ dans un ensemble $E$ est une opération entre deux éléments quelconques de $E$ donnant toujours un résultat dans $E$.

$$\forall (x,y)\in E^2,\quad x\star y \in E$$

L’élément neutre $e_\star$ de la loi de composition interne $\star$ est tel que l’opération entre n’importe quel nombre et $e_\star$ laisse le nombre inchangé.

$$\forall x\in E,\quad x\star e_\star = e_\star \star x = x$$

Le symétrique $x’$ d’un élément $x$ pour une loi de composition $\star$ dotée d’un élément neutre $e_\star$ est tel que la composition entre $x$ et $x’$ donne l’élément neutre :

$$ x’\star x = x\star x’=e_\star $$

Un groupe $(G,\star)$ est un ensemble $G$ muni d’une loi de composition interne $\star$ tel que :

• la loi est associative : pour tous éléments $a,b,c,$ $(a\star b)\star c = a\star (b\star c)$ ;
• il existe un élément neutre ;
• tout élément a un symétrique.

$(\mathbb{A},\star_1,\star_2)$ est un anneau commutatif si :

• $(\mathbb{A},\star_1)$ est un groupe commutatif ;
• $\star_2$ est distributive sur $\star_1$ : $a\star_2(b\star_1 c) = a\star_2 b \star_1 a\star_2 c$

En effet, la distributivité entraîne que l’élément neutre de la première opération $e_+=0$ soit absorbant pour la deuxième opération ($0 \times x = 0, \forall x$).

Preuve :
$0+0=0$ par définition de l’élément neutre $e_+$.
On multiplie par $x$ à gauche et à droite :
$x\times(0+0)=x\times 0$
On applique la distributivité :
$x\times 0 + x\times 0 = x\times 0$
Chaque élément possédant un symétrique pour l’addition (un opposé), on peut soustraire $x\times 0$ de chaque côté :
$x\times 0 + x\times 0 -x\times 0 = x\times 0 -x\times 0$
Ce qui donne :
$x\times 0 = 0$

La règle qui force l’addition et la multiplication à cohabiter fait donc de $e_+$ un élément absorbant !

Et que se passe-t-il si on donne un symétrique multiplicatif (un inverse) à un élément absorbant ?

Soit $0^{-1}$ tel que $0^{-1}\times 0 = e_\times = 1$.
Or $0^{-1}\times 0 = 0$ puisque $0$ est absorbant.
On en conclut que $e_+=e_\times$, soit $0=1$…

Or si $0=1$, l’anneau s’effondre sur lui-même !

En effet, prenons un élément quelconque $y$ de l’anneau.
$y=y\times 1$ puisque $1=e_\times$ est l’élément neutre de la multiplication.
En utilisant $1=0$ :
$y=y\times0$
Et comme $0$ est absorbant :
$y=0$

Conclusion : si l’élément neutre de l’addition $0$ possède un inverse, cela force tous les éléments à être égaux à $0$. L’ensemble se réduit à ce seul élément : $\{0\}$.

Dans ce micro-univers dégénéré, $0$ est effectivement son propre inverse ($e_+=e_\times=1$).

Si un anneau veut posséder plus d’un élément, $0$ est interdit d’inverse.

Dans un corps $(\mathbb{K},+,\times)$, les deux opérations sont (presque) symétriques :

• $(\mathbb{K},+)$ forme un groupe commutatif ;
• $(\mathbb{K}\backslash\{0\},\times)$ forme aussi un groupe commutatif.

Une relation d’ordre (notée $\leq$) sur un ensemble $E$ est une relation binaire qui permet de hiérarchiser ses éléments. Elle doit obligatoirement vérifier les trois axiomes suivant pour tous éléments $x$, $y$ et $z$ appartenant à $E$ :

• Soit $x\leq y$, soit $y\leq x$
• Si $x \leq y$ et $y \leq x$, alors $x = y$
• Si $x \leq y$ et $y \leq z$, alors $x \leq z$

Un ensemble ordonné $(E,\leq)$ est un ensemble $E$ muni d’une relation d’ordre $\leq$ formé d’un ensemble $E$ et d’une relation d’ordre $\leq$ définie sur cet ensemble.

Un corps ordonné est muni d'une relation d'ordre vérifiant les axiomes de compatibilité suivant :

• compatibilité avec l'addition :
  si $y≤z$, alors $x+y≤x+z$
• compatibilité avec la multiplication :
  si $0≤x$ et $0≤y$, alors $0≤x\times y$

Le corps des rationnels est ordonné.

• la symétrie par rapport à l'addition a créé les nombres négatifs ($\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$) et a permis de définir la soustraction ;
• le symétrie par rapport à la multiplication a créé les fractions ($\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}$) et a permis de définir la division.

La démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ est un grand classique. C’est une preuve par contradiction : on suppose que $\sqrt{2}$ est une fraction et on aboutit à une contradiction.

Supposons donc que $\sqrt{2}$ peut s’exprimer sous la forme d’une fraction. Toute fraction peut se réduire en simplifiant numérateur et dénominateur jusqu’à ce qu’il n’aient plus de diviseurs communs.
Posons donc $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p\wedge q = 1$.
On prend le carré de cette équation : $2=\frac{p^2}{q^2}\Leftrightarrow p^2=2\times q^2\Leftrightarrow p\times p = q\times q \times 2$.
Comme $q$ ne divise pas $p$ par hypothèse ($p\wedge q =1$), $p$ doit être divisible par $2$.
Le numérateur $p$ est donc pair et on peut écrire $p=2\times r$.
On a alors : $2=\frac{p^2}{q^2}=\frac{4\times r^2}{q^2}\Leftrightarrow q^2 = 2\times r^2$. Et comme $r$ divise $p$, il ne peut pas diviser aussi $q$. Par conséquent, $q$ est pair lui aussi…

On est parti de l’hypothèse que $p$ et $q$ n’ont pas de diviseurs communs (autres que 1) et pourtant, on vient de montrer que $2$ divise à la fois $p$ et $q$. Cela montre finalement qu’on ne peut pas écrire $\sqrt{2}$ sous la forme d’une fraction.

Propriété de la borne supérieure :

Toute partie non vide majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure (un plus petit majorant).

Soit $E$ l’ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à $2$ : $E=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}$.

• $E$ est non vide (il contient $1$, entre autres).
• $E$ est majoré (tous ces éléments sont inférieurs à $1,5$ par exemple).

Mais y a-t-il un plus petit majorant de $E$ dans $\mathbb{Q}$ ? Non !
Comme $\sqrt{2}$ n’appartient pas à $\mathbb{Q}$, tout ce qu’on pourra faire, c’est s’en approcher indéfiniment ($1,5\rightarrow 1,42\rightarrow 1,415\rightarrow\ldots$).

Propriété des segments emboîtés

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère un intervalle fermé $I_n = [a_n, b_n] = \{x \in \mathbb{R} \mid a_n \leq x \leq b_n\}$ . Supposons que ces intervalles soient emboîtés les uns dans les autres, c’est-à-dire que $I_{n+1} \subseteq I_n$ pour tout $n$. $$I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \dots$$ Alors, l’intersection de tous ces intervalles n’est pas vide :

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$$

Le but est de prouver qu’il existe au moins un nombre réel $x$ qui survit à toutes ces réductions et reste piégé dans tous les intervalles à la fois.

Considérons l’ensemble $A$ constitué de toutes les bornes inférieures (les “bords gauches”) de nos intervalles :

$$A = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$$

Cet ensemble $A$ est non vide. De plus, à cause de l’emboîtement, aucun bord gauche ne pourra jamais dépasser un bord droit. N’importe quel $b_n$ est donc un majorant de $A$.
Puisque $A$ est non vide et majoré, la propriété de la borne supérieure nous garantit l’existence d’un plus petit majorant.

Soit $x := \sup(A)$ cette borne supérieure.

Pour montrer que $x$ appartient à l’intersection, il faut prouver que pour un entier $n$ quelconque, on a bien $a_n \leq x \leq b_n$.

• $a_n \leq x$
  $x$ est un majorant de l'ensemble $A$, il est donc par définition supérieur ou égal à tous les $a_n$.
• $x \leq b_n$
  Nous avons établi que $b_n$ majore l'ensemble $A$. Or, $x$ est défini comme étant le plus petit des majorants. Par conséquent, $x$ est obligatoirement inférieur ou égal à $b_n$.

Conclusion : Pour tout $n$, on a $a_n \leq x \leq b_n$. Le nombre réel $x$ appartient donc à tous les intervalles $I_n$. L’intersection infinie contient au moins le nombre $x$, elle n’est donc pas vide.

On considère $T$, l’ensemble de tous les nombres réels dont le carré est strictement inférieur à $2$ :

$$T = \{t \in \mathbb{R} \mid t^2 < 2\}$$

• Cet ensemble n'est pas vide (il contient $1$, car $1^2 < 2$).
• Il est majoré (par exemple par $2$, car pour tout $t \ge 2$, on a $t^2 \ge 4$, donc ces $t$ ne sont pas dans $T$).

Puisque $T$ est non vide et majoré, il possède obligatoirement un plus petit majorant dans $\mathbb{R}$ (propriété de la borne supérieure) qu’on va appeler $\alpha$ :

$$\alpha := \sup(T)$$

Montrons que $\alpha^2 = 2$ en évacuant par l’absurde les deux autres possibilités : $\alpha^2 <2$ et $\alpha^2>2$. Pour cela, on va utiliser les deux parties de la définition d’un plus petit majorant.

• $\alpha^2 < 2$ viole le fait que $\alpha$ soit un majorant de $T$.

On suppose $\alpha^2 < 2$.

Posons :

$$ \begin{aligned} \left(\alpha + \frac{1}{n}\right)^2 &= \alpha^2 + \frac{2\alpha}{n} + \frac{1}{n^2} \\ &< \alpha^2 + \frac{2\alpha + 1}{n} \end{aligned} $$

Comme $\alpha^2 <2$, il reste un peu de place entre $\alpha^2$ et $2$ pour y caler $ \frac{2\alpha + 1}{n}$. Il suffit de prendre un $n$ suffisamment grand.

$\alpha + \frac{1}{n}$ appartient donc à l’ensemble $T$. $\alpha + \frac{1}{n} + \alpha>\alpha$ entre en contradiction avec le fait que $\alpha$ soit défini comme un majorant de $T$.

• $\alpha^2 > 2$ viole le fait que $\alpha$ soit le plus petit des majorants de $T$.

Posons :

$$ \begin{aligned} \left(\alpha - \frac{1}{n}\right)^2 &= \alpha^2 - \frac{2\alpha}{n} + \frac{1}{n^2} \\ &> \alpha^2 - \frac{2\alpha}{n}\\ \end{aligned} $$

Comme $\alpha^2 >2$, il reste un peu de place entre $\alpha^2$ et $2$ pour y caler $\frac{2\alpha}{n}$. Il suffit de prendre un $n$ suffisamment grand.

On aura alors $\left(\alpha-\frac 1 n\right)^2 >2$, donc $\alpha - \frac{1}{n}$ est un majorant de $T$, or $\alpha - \frac{1}{n}<\alpha$, ce qui implique qu’on ait trouvé un plus petit majorant que le plus petit majorant…

Propriété d’Archimède

• Pour tout nombre réel $x \in \mathbb{R}$, il existe un entier naturel $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > x$.
• Pour tout nombre réel $y > 0$, il existe un entier naturel $n \in \mathbb{N}$ tel que $\frac{1}{n} < y$.

• : on procède par l'absurde.

Supposons qu’il existe un nombre réel $x$ qui est plus grand que tous les entiers naturels.
Puisque $\mathbb{N}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ non vide et (par supposition) majoré, il doit posséder un plus petit majorant :

$$\alpha := \sup(\mathbb{N})$$

Si $\alpha$ est le plus petit majorant, alors le nombre $\alpha - 1<\alpha$ ne peut pas être un majorant.
Puisque $\alpha - 1$ ne majore pas $\mathbb{N}$, il existe forcément au moins un entier naturel $n$ qui le dépasse :

$$n>\alpha-1$$

En ajoutant $1$ des deux côtés, on obtient :

$$n+1>\alpha$$

Or $n+1$ est lui-même un entier naturel ! On vient donc de trouver un entier naturel strictement supérieur au majorant de tous les entiers. Contradiction.

Conclusion : il y aura toujours un entier naturel $n$ pour dépasser n’importe quel réel $x$.

• est une conséquence de (i).

Soit un réel $y > 0$. Puisque $y$ est strictement positif, son inverse $\frac{1}{y}$ est un nombre réel bien défini.

D’après le point (i) que l’on vient de prouver, il existe forcément un entier naturel $n$ tel que :

$$n > \frac{1}{y}$$

Comme $n$ et $y$ sont strictement positifs, on peut inverser l’inégalité (ce qui change le sens de l’ordre) pour obtenir exactement :

$$\frac{1}{n} < y$$

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$, il existe un nombre rationnel $r \in \mathbb{Q}$ tel que $a < r < b$.

L’objectif est de construire explicitement une fraction de la forme $\frac{m}{n}$ coincée entre $a$ et $b$.

1. Choisir le bon dénominateur $n$ (dilater l'intervalle pour que sa largeur soit supérieure à 1)

Puisque $a < b$, la distance qui les sépare est strictement positive : $b - a > 0$.
D’après la Propriété d’Archimède (point ii), on peut trouver un entier naturel $n \in \mathbb{N}$ suffisamment grand pour que l’écart $\frac{1}{n}$ soit plus petit que cette distance :

$$\frac{1}{n} < b - a$$

En multipliant tout par $n$, on obtient $1 < nb - na$, ce qui donne :

$$na + 1 < nb$$

2. Choisir le numérateur $m$ (trouver l'entier dans l'intervalle)

Maintenant que l’intervalle entre $na$ et $nb$ est assez large, cherchons l’entier $m$ qui va tomber dedans.
On choisit $m$ comme étant le tout premier entier qui dépasse $na$. Puisque $m$ est le plus petit entier strictement supérieur à $na$, l’entier juste avant lui ($m-1$) est, par définition, inférieur ou égal à $na$. On a donc l’encadrement :

$$m - 1 \leq na < m$$

3. Coincer l'entier $m$ pour conclure

Nous avons d’un côté $na < m$.
De l’autre, à partir de $m - 1 \leq na$, on ajoute $1$ pour obtenir $m \leq na + 1$.
Or, notre étape 1 nous a garanti que $na + 1 < nb$.
On trouve donc :

$$na < m \leq na + 1 < nb$$

Ce qui se résume en :

$$na < m < nb$$

Il ne reste plus qu’à diviser toute l’inégalité par $n$ (qui est positif) :

$$a < \frac{m}{n} < b$$

Le nombre $r = \frac{m}{n}$ est un rationnel, et il est strictement compris entre $a$ et $b$.

On appelle coupure de Dedekind une partition de l’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ en deux sous-ensembles $A$ et $B$ qui respecte les quatre conditions suivantes :

1. Non-vacuité : $A \neq \emptyset$ et $B \neq \emptyset$ (on ne coupe pas "en dehors" de la droite).
2. Partition : $A \cup B = \mathbb{Q}$ et $A \cap B = \emptyset$ (chaque rationnel est d'un côté ou de l'autre de la coupure).
3. Ordre : Pour tout $a \in A$ et tout $b \in B$, on a $a < b$ (le morceau $A$ est strictement à gauche du morceau $B$).
4. Convention de la frontière : l'ensemble $A$ ne possède pas de plus grand élément.

L’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est alors défini comme l’ensemble de toutes les coupures de Dedekind possibles.

Une coupure de Dedekind $A_x$ (alias un nombre réel) est une partie de $\mathbb{Q}$ :

1. non vide ;
2. différente de $\mathbb{Q}$ ;
3. fermée vers le bas (si un nombre $p$ appartient à $A$, alors tout nombre $q$ strictement inférieur à $p$ doit aussi appartenir à $A$) ;
4. sans maximum.

1. L'ordre ($≤$)

Comment dire que $x \leq y$ quand $x$ et $y$ sont des ensembles ? Grâce à l’inclusion :

$$x \leq y \iff A_x \subseteq A_y$$

Intuition : si la lame des ciseaux tombe plus à gauche pour $x$ que pour $y$, l’ensemble de gauche de $x$ est forcément inclus dans celui de $y$ (fermeture vers le bas). Cette définition confère immédiatement à $\mathbb{R}$ un ordre total.

2. L'addition

Pour additionner deux réels $x$ et $y$, on additionne tous les éléments de leurs ensembles $A_x$ et $A_y$ :

$$A_{x+y} := \{a + b \mid a \in A_x, b \in A_y\}$$

Il faut ensuite démontrer rigoureusement que ce nouvel ensemble $A_{x+y}$ vérifie bien les propriétés d’une coupure (non vide, pas égal à $\mathbb{Q}$, fermé vers le bas, sans maximum). Puis on prouve que cette opération est commutative, associative, et que la coupure correspondant au nombre $0$ agit bien comme élément neutre¹.

3. La multiplication

C’est la partie la plus laborieuse. On ne peut pas juste multiplier les ensembles comme on les a additionnés, à cause de la règle des signes (multiplier deux nombres négatifs donne un positif, ce qui empêche la fermeture vers le bas de la coupure).
On doit donc :

• définir la multiplication uniquement pour les réels positifs (les coupures où $0 \in A$).
• traiter les réels négatifs par des cas particuliers en utilisant l'opposé.

En résumé, on ne “démontre” pas que $A$ a les propriétés d’un nombre. On construit les lois $+$, $\times$ et $\leq$ sur ces ensembles pour les forcer à se comporter comme un corps.

La magie de la définition de Dedekind est qu’elle permet de démontrer simplement la propriété clé que toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.

Soit $E$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$, non vide et majoré.

• Chaque élément $x \in E$ est une coupure, donc un sous-ensemble $A_x \subset \mathbb{Q}$.
• Puisque $E$ est majoré, il existe une coupure $M$ (un réel) telle que pour tout $x \in E$, on ait $x \leq M$. En termes d'ensembles, cela signifie : $\forall x \in E, A_x \subseteq A_M$ .

On cherche un bon candidat pour incarner cette borne supérieure. Puisque les réels sont des ensembles, l’idée est de tous les unir.
On définit ainsi l’ensemble $S$ comme la réunion de toutes les coupures appartenant à $E$ :

$$S := \bigcup_{x \in E} A_x$$

On procède maintenant en trois temps pour montrer que $S$ est la borne supérieure attendue.

1. Prouvons que $S$ est bien un nombre réel (une coupure valide).

Il faut vérifier les quatre propriétés de la coupure sur notre ensemble $S \subset \mathbb{Q}$ :

• Non vide :
  Comme $E$ n'est pas vide, il contient au moins une coupure $A_{x_0}$. Comme cette coupure n'est pas vide, la réunion $S$ n'est pas vide.
• Différent de $\mathbb{Q}$ :
  On sait que pour tout $x \in E$, $A_x \subseteq A_M$. Par définition de la réunion, on a donc $S \subseteq A_M$. Comme $M$ est une coupure valide, $A_M \neq \mathbb{Q}$. Donc $S \neq \mathbb{Q}$.
• Fermé vers le bas :
  Soit un rationnel $p \in S$ et soit $q \in \mathbb{Q}$ tel que $q < p$. Puisque $p \in S$, il existe par définition de la réunion au moins une coupure $A_x$ telle que $p \in A_x$. Or, $A_x$ est une vraie coupure, donc elle est fermée vers le bas : on a donc $q \in A_x$. Par conséquent, $q \in S$.
• Pas de plus grand élément :
  Soit $p \in S$. Il appartient à un certain $A_x$. Comme $A_x$ est une coupure, elle n'a pas de maximum, donc il existe $r \in A_x$ tel que $p < r$. Ce $r$ appartient évidemment à $S$. Donc $S$ n'a pas de maximum.

Conclusion : l’ensemble $S$ est bien une coupure de Dedekind. Il représente donc un nombre réel.

2. Prouvons que $S$ est un majorant de $E$

Soit $x$ un élément quelconque de $E$. Par définition même de la réunion d’ensembles, on a trivialement :

$$A_x \subseteq \bigcup_{k \in E} A_k = S$$

Et comme l’inclusion traduit l’ordre ($A_x \subseteq S \iff x \leq S$), on en déduit que $x \leq S$. Conclusion : $S$ majore bien l’ensemble $E$.

3. Prouvons que $S$ est le plus petit des majorants

Soit $M’$ un autre majorant de $E$. Cela signifie que pour tout $x \in E$, $x \leq M’$, c’est-à-dire $A_x \subseteq A_{M’}$.
Puisque tous les ensembles $A_x$ (pour $x \in E$) sont inclus dans $A_{M’}$, leur réunion totale est nécessairement incluse dans $A_{M’}$.
On a donc :

$$S \subseteq A_{M’}$$

Ce qui se traduit par $S \leq M’$.
Conclusion : n’importe quel autre majorant $M’$ est obligatoirement plus grand ou égal à $S$. $S$ est bien la borne supérieure.

Une suite $(u_n)$ est de Cauchy si, pour tout écart $\epsilon$ strictement positif (aussi petit soit-il), il existe un rang $N$ à partir duquel la distance entre deux termes quelconques $u_p$ et $u_q$ est inférieure à cet écart.

Formellement, cela s’écrit :

Deux suites de Cauchy $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites équivalentes si la limite de leur différence tend vers $0$ :

En appelant $\mathcal{C}$ l’ensemble de toutes les suites de Cauchy à valeurs dans $\mathbb{Q}$, le corps des nombres réels $\mathbb{R}$ est défini comme l’ensemble quotient :

$$\mathbb{R} = \mathcal{C} / \sim$$

L’ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ est défini comme l’ensemble des couples de nombres réels $\mathbb{R}^2 = \{(a, b) \mid a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}$ , muni de deux lois de composition interne définies ainsi pour tous couples $(a,b)$ et $(c,d)$ :

• l'addition : $(a, b) + (c, d) := (a+c, b+d)$
• La multiplication : $(a, b) \times (c, d) := (ac - bd, ad + bc)$

Deux couples sont égaux si et seulement si leurs composantes respectives sont égales : $(a,b) = (c,d) \iff a=c$ et $b=d$.

$\mathbb{C}$ est un corps commutatif.

Il faut vérifier (c’est long) que cet ensemble muni de ces deux opérations coche toutes les cases d’un corps commutatif. Ce faisant, on découvre notamment que :

• l'élément neutre de l'addition est le couple $(0, 0)$ ;
• le symétrique additif (l'opposé) de $(a, b)$ est $(-a, -b)$ ;
• Le symétrique multiplicatif (l'inverse) de $(a, b)$ avec $(a,b) \neq (0,0)$ est $\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)$.

L’ensemble $\mathbb{R}$ est l’axe des abscisses de $\mathbb{R}^2$.

Si on les additionne ou si on multiplie entre eux des couples dont la deuxième coordonnée est nulle, on obtient :

• $(a, 0) + (c, 0) = (a+c, 0)$
• $(a, 0) \times (c, 0) = (ac - 0, 0 + 0) = (ac, 0)$

On constate que ces couples se comportent exactement comme les nombres réels habituels. On décide donc de les identifier et on pose :

$$ a := (a, 0) $$

$$i := (0, 1)$$

$$i^2 = -1$$

Calculons le carré du couple $(0,1)$ avec notre loi de multiplication :

$i^2 = (0, 1) \times (0, 1) = (0\times0 - 1\times1, 0\times1 + 1\times0) = (-1, 0)$

Or, d’après notre convention précédente, le couple $(-1, 0)$ est identifié au nombre réel $-1$.

$$(a, b) \equiv a + ib$$

On peut démontrer très facilement par l’absurde que le corps $\mathbb{C}$ refuse les axiomes de compatibilité vus plus haut.

Dans tout corps ordonné, le carré d’un nombre non nul est toujours strictement positif (conséquence directe du deuxième axiome).
Or, dans $\mathbb{C}$, on a $i \neq 0$ et $i^2 = -1$.
Si $\mathbb{C}$ était un corps ordonné, on aurait donc $-1 > 0$. Pourquoi pas…
En ajoutant $1$ des deux côtés, on obtiendrait (axiome de compatibilité avec l’addition) $0 > 1$.
Et comme $-1$ est ici positif, l’axiome de compatibilité avec la multiplication nous assure que : $(-1)\times(-1)>0$. Ce qui donne : $1>0$.
Nous voilà devant une belle contradiction.

Tout polynôme de degré $n$ (avec $n ≥ 1$) à coefficients complexes possède exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (en comptant leurs multiplicités).