Variables réduites sans dimension :
$\displaystyle \hat X = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,\hat{x} $
$\displaystyle \hat P = \frac{\hat{p}}{\sqrt{m\hbar\omega}} $
$\displaystyle [\hat X,\hat P] = \mathrm{i} $
Dans ces variables, le hamiltonien s’écrit :
$\displaystyle \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}\left(\hat X^2+\hat P^2\right) $
Les opérateurs d’échelle sont :
$\displaystyle \hat a = \frac{\hat X+\mathrm{i}\hat P}{\sqrt 2} $
$\displaystyle \hat a^\dagger = \frac{\hat X-\mathrm{i}\hat P}{\sqrt 2} $
$\displaystyle [\hat a,\hat a^\dagger] = 1 $
Action sur le hamiltonien :
En posant $\displaystyle \hat N = \hat a^\dagger \hat a $
$\displaystyle \hat H = \hbar\omega\left(\hat N+\frac12\right) $
$\displaystyle [\hat N,\hat a^\dagger] = +\,\hat a^\dagger \qquad [\hat N,\hat a] = -\,\hat a $
Tentons de donner un sens géométrique à ces dernières lignes, et à en déduire le spectre sans jamais réutiliser les commutateurs comme point de départ.
Pour s’y repérer dans le va et vient entre classique et quantique, les opérateurs quantiques ($\hat X$, $\hat P$, $\hat a$, $\hat a^\dagger$, $\hat N$, $\hat H$) seront systématiquement coiffés d’un chapeau et les fonctions classiques sur le plan de phase ($X$, $P$, et les combinaisons que nous en formerons) seront laissées nues. Ainsi $X$ est un nombre réel qui repère un point du plan, tandis que $\hat X$ est l’opérateur qui lui correspond. Le chapeau marque donc exactement l’endroit où l’on quantifie.
Reprenons les équations de Hamilton pour l’oscillateur, $\dot x = p/m$ et $\dot p = -m\omega^2 x$, et traduisons-les dans les variables réduites classiques. Il vient
$\displaystyle \begin{cases} \dot X = \omega P\\ \dot P = -\,\omega X \end{cases} $
Le flot classique est une rotation. Le système d’équations ci-dessus est exactement celui d’une rotation uniforme du plan $(X,P)$ à la vitesse angulaire $\omega$, dans le sens horaire.
La vitesse angulaire $\omega$ ne dépend d’aucune des deux coordonnées. Le plan tourne d’un bloc, comme un disque rigide. C’est l’isochronisme de l’oscillateur harmonique : la période ne dépend pas de l’amplitude. C’est une propriété très particulière, liée au fait que le hamiltonien est une forme quadratique. Dans un potentiel anharmonique, chaque orbite aurait sa propre période et rien de ce qui suit ne fonctionnerait.
Au bout d’une durée $T = 2\pi/\omega$, la rotation vaut $2\pi$, c’est-à-dire l’identité. Le plan revient exactement sur lui-même, point par point. Retenons ce fait, il est le seul ingrédient dont nous aurons besoin pour obtenir un entier.
Les équations du mouvement forment un système couplé, aucune des deux quantités n’évolue seule.
Face à un système linéaire couplé, la méthode standard est le découplage : chercher des combinaisons linéaires dont l’évolution ne fasse intervenir qu’elles-mêmes. Une telle combinaison $f$ vérifie une équation autonome, dont le second membre ne contient plus que $f$ :
$\displaystyle \dot f = \lambda f$
Les fonctions linéaires $f = uX+vP$ forment un espace vectoriel $\mathcal L$ de dimension 2, dont $(X,P)$ est une base : une telle fonction est entièrement décrite par son couple de coefficients $(u,v)$.
L’opération « dériver le long du mouvement », que nous noterons $\mathcal D : f \mapsto \dot f$, est linéaire, et elle envoie une fonction linéaire sur une fonction linéaire. C’est donc un endomorphisme de $\mathcal L$. Calculons-le :
$\displaystyle \dot f = u\dot X + v\dot P = u\,(\omega P) + v\,(-\omega X) = (-\omega v)\,X + (\omega u)\,P.$
Le couple $(u,v)$ est donc envoyé sur $(-\omega v,\ \omega u)$, autrement dit
$\displaystyle \mathcal D = \omega\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$
dans la base $(X,P)$. Et dès lors, la condition de découplage $\dot f = \lambda f$ se relit :
$\displaystyle \mathcal D f = \lambda f.$
Chercher une combinaison découplée, c’est chercher un vecteur propre de $\mathcal D$, et la constante $\lambda$ est sa valeur propre. Découpler un système différentiel linéaire et diagonaliser sa matrice sont une seule et même opération.
Résolvons.
La condition $\dot f = \lambda f = \lambda(uX+vP)$ impose, en identifiant les coefficients de $X$ et de $P$ :
$\displaystyle -\,\omega v = \lambda u \quad$ et $\displaystyle\quad \omega u = \lambda v.$
En substituant, on obtient $\lambda^2 = -\omega^2$, donc $\lambda = \mp\,\mathrm{i}\omega$. Pour $\lambda = -\mathrm{i}\omega$, la première équation donne $v = \mathrm{i}u$, donc $f \propto X + \mathrm{i}P$. Pour $\lambda = +\mathrm{i}\omega$, elle donne $v = -\mathrm{i}u$, donc $f \propto X - \mathrm{i}P$.
Les seules fonctions linéaires sur le plan de phase dont l’évolution est une simple multiplication par un nombre sont, à un facteur près, $X+\mathrm{i}P$ et $X-\mathrm{i}P$, et
$\displaystyle (X+\mathrm{i}P)(t) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,(X+\mathrm{i}P)(0), \qquad (X-\mathrm{i}P)(t) = \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}\,(X-\mathrm{i}P)(0).$
Une rotation du plan réel ne laisse aucune direction réelle invariante ; c’est même à peu près sa définition. La matrice $\mathcal D$ n’est donc pas diagonalisable sur $\mathbb R$, et son polynôme caractéristique $\lambda^2+\omega^2$ n’y a pas de racine. Les deux directions propres n’existent qu’après complexification, et c’est la raison de fond pour laquelle des nombres complexes apparaissent dans un problème qui n’en contenait aucun au départ.
Une fois le découplage obtenu, l’équation s’intègre immédiatement :
$\displaystyle f(t) = \mathrm{e}^{\lambda t}\,f(0).$
La nature du mouvement dépend entièrement de $\lambda$, et trois cas se présentent.
La fermeture est une conséquence du caractère imaginaire pur de la valeur propre. Reste à comprendre pourquoi c’est ce cas-là qui se produit ici.
L’énergie interdit à $\lambda$ d’avoir une partie réelle.
Un calcul direct donne $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(X^2+P^2\right) = 2X\dot X + 2P\dot P = 2\omega XP - 2\omega PX = 0$. Si $\lambda$ avait une partie réelle, le module de $f$ croîtrait ou décroîtrait exponentiellement, donc $X^2+P^2$ aussi, donc l’énergie ne serait pas conservée.
Algébriquement, cela se lit sur la matrice : $\mathcal D$ est réelle et antisymétrique, et une matrice réelle antisymétrique a toujours ses valeurs propres imaginaires pures. L’antisymétrie est la traduction matricielle de la conservation de l’énergie.
Nous tenons les modes propres. Redescendons vers les variables de départ. En additionnant et en soustrayant les deux modes :
$\displaystyle X = \tfrac12\Big[(X+\mathrm{i}P) + (X-\mathrm{i}P)\Big]\quad$ donc $\displaystyle \quad X(t) = \tfrac12\Big[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}(X+\mathrm{i}P)(0) + \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}(X-\mathrm{i}P)(0)\Big].$
La variable réelle possède deux fréquences et non une seule.
Le prix à payer pour obtenir une fréquence unique est de renoncer à la réalité. C’est la raison de fond pour laquelle $\hat a$ n’est pas hermitien, donc n’est pas une observable au sens strict, et pour laquelle il n’apparaît jamais seul dans une grandeur physique mais toujours accompagné de $\hat a^\dagger$.
Cette superposition de deux fréquences contraires a une traduction visuelle immédiate. La partie réelle de $X-\mathrm{i}P$ est $X$ : la valeur de $X$ est donc l’ombre de celle de $X-\mathrm{i}P$, sa projection orthogonale sur l’axe réel. Marquons huit instants également espacés sur une période.
Sur le cercle, les huit instants se répartissent régulièrement. Une fois projetés, ils s’entassent aux bords, parce que c’est là que le mouvement circulaire devient tangent à l’axe. L’entassement n’est donc pas une propriété de $X$ : c’est le prix de la projection, c’est-à-dire de la superposition des deux fréquences opposées.
$X$ et $P$ pris séparément ne sont donc pas de bonnes variables pour décrire un mouvement circulaire, exactement comme les coordonnées cartésiennes ne sont pas de bonnes variables pour décrire un cercle. $X\pm\mathrm{i}P$ en sont l’équivalent polaire.
Voilà l’origine de $\hat a$ et $\hat a^\dagger$ : ce sont les coordonnées normales de la rotation, l’analogue exact des vecteurs de polarisation circulaire $\hat{\mathbf e}_x \pm \mathrm{i}\hat{\mathbf e}_y$ pour une onde lumineuse. Le facteur $1/\sqrt2$ n’est qu’une normalisation, choisie pour que le commutateur vaille exactement $1$.
Le théorème précédent dit que $X-\mathrm{i}P$ est multipliée au cours du temps par $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}$, un nombre complexe de module $1$. Deux conséquences immédiates : son module ne change pas, et son argument avance linéairement avec le temps. La valeur de la fonction se déplace sur un cercle du plan complexe, à vitesse angulaire constante.
$X$ et $P$ sont les observables classiques élémentaires, position et impulsion en unités réduites. La combinaison $X-\mathrm{i}P$ est complexe, donc pas directement mesurable ; c’est un empaquetage de deux observables réelles, exactement comme l’amplitude complexe d’un circuit en régime sinusoïdal ou d’une onde lumineuse. Sa partie réelle est $X$, sa partie imaginaire vaut $-P$. On ne perd aucune information, on gagne le fait que l’évolution devient une multiplication.
Ce qui rend cette combinaison particulière, et qui a justifié tout le détour par les modes propres, est qu’elle ne porte qu’une seule fréquence. $X$ et $P$ mêlent $+\omega$ et $-\omega$ ; $X-\mathrm{i}P$ ne porte que $+\omega$, et $X+\mathrm{i}P$ que $-\omega$. C’est cette unicité qui rend un comptage possible : une phase qui avance à vitesse constante peut être comptée, une superposition de deux phases contraires ne le peut pas.
Donnons un nom à la vitesse à laquelle cette phase s’accumule.
Une fonction $f$ non nulle sur le plan de phase a le poids $k$ si, le long du mouvement classique,
$\displaystyle f(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\omega t}\,f(0).$
Le poids est donc un rapport de fréquences : la phase de $f$ tourne à la vitesse $k\omega$, le plan de phase tourne à la vitesse $\omega$, et $k$ est le quotient. Autrement dit, $k$ est le nombre de tours que fait la phase de $f$ pendant que le plan en fait un. Rien, pour l’instant, n’impose que ce quotient soit entier.
D’après le théorème précédent :
$\displaystyle k\left(X-\mathrm{i}P\right) = +1, \qquad k\left(X+\mathrm{i}P\right) = -1, \qquad k(1) = 0.$
Une propriété immédiate :
Les poids s’additionnent.
Si $f$ a le poids $k_1$ et $g$ le poids $k_2$, alors $fg$ a le poids $k_1+k_2$.
En particulier $\left(X-\mathrm{i}P\right)^n$ a le poids $n$. Voilà le mécanisme d’empilement : chaque facteur $X-\mathrm{i}P$ ajoute un tour au décompte.
Pourquoi $k$ ne pourrait-il pas valoir $0{,}37$ ou $\sqrt2$ ? La raison n’est ni physique ni algébrique, mais topologique.
Quantification du poids :
toute fonction de poids $k$ bien définie sur le plan de phase vérifie $k \in \mathbb Z$.
Prenons $t = T = 2\pi/\omega$. On a vu que le flot au temps $T$ est la rotation d’angle $2\pi$, c’est-à-dire l’identité : chaque point du plan est revenu exactement là où il était.
Or $f$ est une fonction du point. Si le point n’a pas bougé, la valeur de $f$ n’a pas changé. Donc, en tant que fonctions sur le plan,
$\displaystyle f(T) = f(0).$
Mais la définition du poids donne aussi $f(T) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\omega T}f(0) = \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k}f(0)$.
En comparant les deux, et puisque $f$ n’est pas identiquement nulle, il vient $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k} = 1$, c’est-à-dire $k\in\mathbb Z$.
Cette démonstration n’utilise à aucun moment la mécanique quantique. Elle n’utilise pas $\hbar$. Elle n’utilise même pas le hamiltonien, sinon pour savoir que son flot est une rotation. Elle utilise une seule chose : une rotation de $2\pi$ est l’identité, autrement dit le groupe des rotations du plan est un cercle, un objet qui se referme.
C’est très exactement l’argument qui quantifie le moment cinétique d’une particule sur un anneau, ou qui impose des indices entiers aux séries de Fourier. Une fonction sur un cercle se décompose en $\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}$ avec $m$ entier, jamais avec $m$ fractionnaire, sous peine de ne pas se recoller après un tour.
Le verbe « quantifier » a deux sens en physique : passer d’une description classique à une description quantique, et obtenir un ensemble discret de valeurs. Nous venons d’obtenir le second sans faire le premier. Le caractère entier n’est pas sorti d’un calcul quantique ; il était déjà inscrit dans la forme du plan de phase classique, et attendait qu’on le lise.
Traduisons le poids en langage quantique.
Traduction quantique du poids
Un opérateur $\hat O$ correspondant à une fonction classique de poids $k$ vérifie, en représentation de Heisenberg, $\hat O(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\omega t}\hat O$, ce qui équivaut à
$\displaystyle \left[\hat H, \hat O\right] = k\,\hbar\omega\,\hat O\quad$ c'est-à-dire $\displaystyle \quad [\hat N,\hat O] = k\,\hat O.$
En représentation de Heisenberg, $\hat O(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\,\hat O\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$.
Dérivons cette expression par rapport au temps. Les deux exponentielles se dérivent en faisant descendre $\pm\,\mathrm{i}\hat H/\hbar$ :
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}\hat O}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat H\hat O\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat O\hat H\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} = \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\left[\hat H,\hat O\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}.$
En $t=0$ les exponentielles valent l’identité, donc
$\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\hat O}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\hat O\right].$
Dérivons maintenant l’autre écriture, $\hat O(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\omega t}\hat O$, où seule l’exponentielle scalaire dépend du temps :
$\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\hat O}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = \mathrm{i}k\omega\,\hat O.$
En identifiant les deux, $\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\hat O\right] = \mathrm{i}k\omega\,\hat O$, soit $\left[\hat H,\hat O\right] = k\hbar\omega\,\hat O$.
La réciproque est immédiate : si cette relation est vérifiée, alors $\hat O(t)$ satisfait l’équation différentielle $\dot{\hat O} = \mathrm{i}k\omega\hat O$ avec la condition initiale $\hat O(0)=\hat O$, dont la solution est unique et vaut $\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\omega t}\hat O$.
Enfin, avec $\hat H = \hbar\omega\left(\hat N+\frac12\right)$, le terme $\frac12$ est un multiple de l’identité et commute avec tout : $\left[\hat H,\hat O\right] = \hbar\omega\left[\hat N,\hat O\right]$. En divisant par $\hbar\omega$, il reste $\left[\hat N,\hat O\right] = k\hat O$.
Vérification immédiate : pour $\hat O = \hat a^\dagger$, on retrouve $[\hat N,\hat a^\dagger] = +\hat a^\dagger$, donc $k=+1$. Pour $\hat O=\hat a$, on retrouve $[\hat N,\hat a]=-\hat a$, donc $k=-1$. Les commutateurs dont nous étions partis ne sont donc rien d’autre que l’énoncé des poids. L’algèbre rejoint la géométrie.
Règle de sélection
Si $|\nu\rangle$ est vecteur propre de $\hat N$ pour la valeur propre $\nu$, et si $\hat O$ a le poids $k$, alors $\hat O|\nu\rangle$ est soit nul, soit vecteur propre de $\hat N$ pour la valeur propre $\nu+k$.
On écrit $\hat N\hat O = \hat O\hat N + [\hat N,\hat O] = \hat O\hat N + k\hat O$, puis on applique à $|\nu\rangle$ :
$\displaystyle \hat N\left(\hat O|\nu\rangle\right) = \hat O\,\hat N|\nu\rangle + k\,\hat O|\nu\rangle = (\nu+k)\left(\hat O|\nu\rangle\right).$
Assemblons. Les poids disponibles sont les entiers, et rien d’autre. Donc les seules valeurs propres de $\hat N$ que l’on peut atteindre à partir d’une valeur propre donnée sont celles qui en diffèrent d’un entier. Le spectre de $\hat N$ est une progression arithmétique de raison $1$, et celui de $\hat H = \hbar\omega\left(\hat N+\frac12\right)$ une progression arithmétique de raison $\hbar\omega$. Les niveaux d’énergie sont donc équidistants.
L’écart vaut $\hbar\omega$ parce que $\omega$ est la vitesse de rotation du plan de phase, que $\hbar$ convertit une fréquence en énergie, et que le seul nombre autorisé entre les deux est un entier.
On a une progression arithmétique, mais on ne sait pas où elle commence, ni même si elle commence. Il faut un ingrédient de plus, et il est quantique.
Positivité
Pour tout état $|\psi\rangle$, on a $\langle\psi|\hat N|\psi\rangle = \langle\psi|\hat a^\dagger \hat a|\psi\rangle = \left\lVert \hat a|\psi\rangle\right\rVert^2 \geqslant 0$. Le spectre de $\hat N$ est donc positif.
Une progression arithmétique de raison $1$ et minorée est nécessairement finie vers le bas. Il existe donc un état $|\nu_0\rangle$ dont on ne peut plus descendre, c’est-à-dire tel que $\hat a|\nu_0\rangle = 0$. En appliquant $\hat a^\dagger$, il vient $\hat N|\nu_0\rangle = \hat a^\dagger \hat a|\nu_0\rangle = 0$, donc $\nu_0 = 0$.
Le spectre de $\hat N$ est donc exactement $\mathbb N$, et celui de $\hat H$ vaut $E_n = \hbar\omega\left(n+\frac12\right)$.
Nous verrons plus loin que ce plancher, obtenu ici par un argument de norme, admet lui aussi une lecture topologique.
Nous avons parlé du poids des fonctions classiques, parlons maintenant des états quantiques.
L’état $|n\rangle$ est vecteur propre de $\hat H$ pour la valeur propre $E_n$. En reportant dans l’équation de Schrödinger $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t|\psi\rangle = \hat H|\psi\rangle$ l’écriture $|\psi(t)\rangle = c(t)\,|n\rangle$, il vient $\mathrm{i}\hbar\,\dot c = E_n c$, donc $c(t) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_nt/\hbar}$. Un état propre n’évolue donc que par une phase, et cette phase tourne à la vitesse angulaire
$\displaystyle \frac{E_n}{\hbar} = \left(n+\frac12\right)\omega.$
Comparons cette vitesse à celle du plan de phase, qui vaut $\omega$ pour tous les états sans exception. Le rapport est $n+\frac12$ : pendant que le plan de phase fait un tour, la phase de l’état $|n\rangle$ en fait $n+\frac12$.
Il y a donc deux rotations :
| rotation | vitesse | dépend de $n$ ? |
|---|---|---|
| le plan de phase (mouvement classique) | $\omega$ | non, isochronisme |
| la phase quantique de l’état (l’horloge interne) | $\left(n+\frac12\right)\omega$ | oui, linéairement |
$\hat a^\dagger$ n’accélère pas le plan, il ajoute un tour d’horloge interne par tour de plan. Le nombre quantique $n$ est un rapport de fréquences, et l’énergie s’en déduit en multipliant par $\hbar\omega$.
Le $\frac12$ est un décalage fixe, identique pour tous les états, issu de la non-commutation : en écrivant $\frac12(\hat X^2+\hat P^2) = \hat a^\dagger \hat a + \frac12$, le $\frac12$ n’est autre que le commutateur $[\hat a,\hat a^\dagger]$. Il ne participe à aucun écart.
Nous allons maintenant rendre le décompte des tours entièrement explicite. Pour cela, il faut d’abord voir que les formules définissant $\hat a$ et $\hat a^\dagger$ disent quelque chose de très concret sur la géométrie du plan.
Un point du plan de phase est un couple $(X,P)$ de réels. Or un couple de réels, c’est un nombre complexe. Le plan de phase est le plan complexe, et sa coordonnée naturelle est
$\displaystyle \alpha = \frac{X+\mathrm{i}P}{\sqrt2}, \qquad \bar\alpha = \frac{X-\mathrm{i}P}{\sqrt2}.$
Les formules de départ ne disent donc rien d’autre que ceci : $\hat a$ est la quantification de la coordonnée complexe du plan de phase, et $\hat a^\dagger$ celle de sa conjuguée.
C’est là toute la chair des définitions $\hat a = (\hat X+\mathrm{i}\hat P)/\sqrt2$ et $\hat a^\dagger = (\hat X-\mathrm{i}\hat P)/\sqrt2$. Elles ne font que nommer la coordonnée du plan, et sa conjuguée. Le module $|\alpha|$ est le rayon de l’orbite, l’argument est la position sur l’orbite, et le mouvement classique se réduit à $\alpha(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\alpha(0)$.
Reste à savoir de quoi un état peut bien être une fonction. Une fonction d’onde ne dépend jamais de toutes les variables de l’espace des phases : $\psi$ dépend de $x$, ou de $p$, mais jamais des deux à la fois, faute de quoi on violerait la relation d’incertitude. Il faut donc choisir une moitié des variables. Dans le langage complexe, la moitié à retenir se choisit ainsi :
Une fonction $f$ qui dépend de $z$ mais pas de $\bar z$ est dite holomorphe. La condition s’écrit $\partial f/\partial\bar z = 0$ ; ce sont les relations de Cauchy-Riemann.
L’holomorphie est donc la version complexe de « ne dépendre que de la moitié des variables ». Choisir des fonctions holomorphes plutôt que des fonctions de $x$, c’est choisir une autre moitié, adaptée à la rotation plutôt qu’à la position.
Laquelle des deux coordonnées prendre comme variable ? Nous voulons compter des tours dans le sens du mouvement classique, et que multiplier par la variable ajoute un tour. Il faut donc prendre celle de poids $+1$, c’est-à-dire $\bar\alpha$. Notons-la $z$.
La variable de Bargmann
On pose $z = \bar\alpha \propto X-\mathrm{i}P$, la coordonnée complexe de poids $+1$, et l’on représente les états par des fonctions holomorphes de $z$.
Il reste à construire cette représentation, et tout se déduit d’un seul choix.
Puisque $\hat a^\dagger$ doit ajouter une unité de poids, et que sur les fonctions de $z$ l’opération qui ajoute exactement une unité de degré est la multiplication par $z$, posons $\hat a^\dagger = \times\,z$. Le reste suit :
Le vide a le poids $0$ : c’est donc la fonction constante, que l’on normalise à $1$.
Les états excités s’obtiennent par $|n\rangle = \dfrac{\left(\hat a^\dagger\right)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle$, ce qui donne, en appliquant $n$ fois la multiplication par $z$ à la constante $1$ :
$\displaystyle |n\rangle \longleftrightarrow \frac{z^n}{\sqrt{n!}}.$
Enfin, un état quelconque $|\psi\rangle = \sum_n c_n|n\rangle$ correspond par linéarité à
$\displaystyle f(z) = \sum_{n\geqslant 0} c_n\,\frac{z^n}{\sqrt{n!}}.$
La base de Fock est donc simplement la base des monômes, et le développement d’un état sur les niveaux d’énergie est son développement en série entière. Le coefficient $c_n$ est à la fois l’amplitude de probabilité de trouver $n$ quanta et le $n$-ième coefficient de Taylor.
Il reste à identifier l’opérateur d’annihilation. Nous n’allons pas le postuler : il est entièrement déterminé.
Dans cette représentation,
$\displaystyle \hat a^\dagger = \times\,z \qquad \hat a = \frac{\partial}{\partial z} \qquad \hat N = z\frac{\partial}{\partial z}$
Cherchons un opérateur $\hat D$ qui baisse le degré d’une unité, donc de la forme $\hat D\left(z^n\right) = d_n z^{n-1}$.
Première contrainte, la régularité : appliqué à la constante, $\hat D$ ne peut pas produire $z^{-1}$, qui explose à l’origine. Donc $d_0 = 0$.
Seconde contrainte, le commutateur canonique $\left[\hat a,\hat a^\dagger\right]=1$, c’est-à-dire $\left[\hat D, \times z\right] = \mathrm{id}$. Appliquons-le à $z^n$ :
$\displaystyle \hat D\left(z^{n+1}\right) - z\,\hat D\left(z^n\right) = d_{n+1}z^n - d_n z^n = \left(d_{n+1}-d_n\right)z^n,$
et cette quantité doit valoir $z^n$. Donc $d_{n+1}-d_n = 1$ pour tout $n$, ce qui joint à $d_0=0$ donne $d_n = n$.
Ainsi $\hat D\left(z^n\right) = n z^{n-1}$, qui est exactement la dérivation. Enfin $\hat N = \hat a^\dagger \hat a = z\,\partial_z$.
Le calcul ci-dessus peut se lire à l’envers : dériver un produit $zf$ fait tomber exactement un facteur $z$, $\partial_z(zf) = f + z\,\partial_z f$, c’est-à-dire $\left[\partial_z, \times z\right] = \mathrm{id}$. La relation de commutation canonique, qui semble si mystérieuse en mécanique quantique, est ici une formule de dérivation apprise au lycée.
Lisons maintenant ces trois formules.
$\hat N = z\partial_z$ est l’opérateur d’Euler : appliqué à un monôme, il rend son degré. Le nombre de quanta est le degré. Or le degré est aussi le nombre de tours que fait l’argument de $z^n$ quand $z$ parcourt un cercle, puisque $\arg\left(z^n\right) = n\arg z$. Degré, enroulement, rapport de fréquences, nombre de quanta : quatre noms pour un seul entier.
$\hat a^\dagger = \times z$ : multiplier par $z$ transforme $z^n$ en $z^{n+1}$ et ajoute donc exactement un tour. C’est la loi d’addition des poids, écrite sur les fonctions.
$\hat a = \partial_z$ : dériver transforme $z^n$ en $nz^{n-1}$ et retire donc exactement un tour. Le facteur $n$ compte de combien de façons on peut retirer l’un des $n$ facteurs identiques ; c’est lui qui devient le $\sqrt n$ de $\hat a|n\rangle = \sqrt n\,|n-1\rangle$ une fois la normalisation $\sqrt{n!}$ prise en compte.
Reste une question naturelle : pourquoi dérouler par une dérivée, et non par une division par $z$, qui semblerait plus symétrique ?
Le plancher est topologique
Un état est une fonction qui doit rester finie partout sur le plan de phase, et en particulier à l’origine, qui est un point parfaitement ordinaire. Son développement autour de $0$ ne contient donc que des puissances positives ou nulles de $z$. Comme le poids est la puissance, aucun état ne peut avoir un poids négatif.
Autrement dit : une fonction régulière possède un développement de Taylor $c_0 + c_1z + c_2z^2+\cdots$, sans aucun terme en $z^{-1}$. Un enroulement négatif exigerait précisément un tel terme, donc une fonction qui explose à l’origine, ce qui n’est pas un état.
C’est aussi ce qui rend la dérivée obligatoire. Toute opération qui baisse le poids d’une unité en préservant la régularité doit envoyer la constante sur quelque chose de régulier de poids $-1$ ; or un tel objet n’existe pas, donc elle annule nécessairement la constante. La division par $z$ ne l’annule pas, elle fabrique le pôle interdit. La dérivation, elle, l’annule d’office : $\partial_z 1 = 0$. La fonction constante est le vide, l’unique fonction sans enroulement, et la descente s’y arrête d’elle-même. On ne peut pas descendre en dessous de zéro tour, non pas parce que l’énergie serait négative, mais parce qu’il n’existe pas de motif régulier faisant un nombre négatif de tours.
Cela explique enfin pourquoi $\hat a$ et $\hat a^\dagger$ ne peuvent pas être unitaires. L’enroulement est un invariant topologique : aucune transformation qui déplace le système sans le déformer ne peut le changer. Changer $n$ exige donc un opérateur non unitaire, et cette non-unitarité n’est pas un défaut technique, c’est une nécessité.
Illustration interactive. Le bloc ci-dessous colorie le plan de phase par la teinte correspondant à $\arg\left(z^n\right)$. Le disque tourne à la vitesse $\omega$, identique pour tous les états ; le capteur, lui, reste fixe. On lit directement les deux compteurs, et la bande du bas déroule le cercle pour permettre de compter les enroulements.
Il reste à comprendre pourquoi l’orbite classique associée au niveau $n$ s’agrandit, et à quelle vitesse.
Le mouvement classique d’énergie $E$ s’écrit $x(t) = A\cos\omega t$ avec $E = \frac12 m\omega^2A^2$, et $p(t) = m\dot x = -m\omega A\sin\omega t$.
Action d’une période
Pour l’oscillateur harmonique,
$\displaystyle \oint p\,\mathrm{d}x = E\,T$
où $T = 2\pi/\omega$ est la période.
On paramètre par le temps :
$\displaystyle \oint p\,\mathrm{d}x = \int_0^T p\,\dot x\,\mathrm{d}t = \int_0^T m\omega^2A^2\sin^2(\omega t)\,\mathrm{d}t = m\omega^2A^2\,\frac{T}{2}.$
Comme $m\omega^2A^2 = 2E$, il vient $\oint p\,\mathrm{d}x = ET$.
L’action d’une période est simplement le produit de l’énergie par la période.
Divisons l’action par $h$ et lisons le résultat de trois façons.
Première lecture, une aire
L’intégrale $\oint p\,\mathrm{d}x$ est, par définition d’une intégrale curviligne fermée, l’aire enfermée par l’orbite dans le plan $(x,p)$. Donc $\oint p\,\mathrm{d}x/h$ est le nombre de cellules d’aire $h$ contenues dans l’orbite.
Deuxième lecture, un décompte de longueurs d’onde
En un point $x$ du trajet, la longueur d’onde de de Broglie locale vaut $\lambda(x) = h/|p(x)|$. Le nombre de longueurs d’onde qui tiennent le long du trajet spatial complet, aller et retour, est donc
$\displaystyle \oint \frac{\mathrm{d}x}{\lambda(x)} = \frac{1}{h}\oint |p|\,\mathrm{d}x = \frac{1}{h}\oint p\,\mathrm{d}x$
C’est la même intégrale. Le trajet spatial aller-retour entre les deux points de rebroussement est précisément un tour complet dans le plan de phase : la branche aller est le demi-plan $p>0$, la branche retour le demi-plan $p<0$. L’aire dans l’espace des phases n’est pas l’analogue du décompte spatial, elle en est la valeur.
Troisième lecture, un décompte de tours d’horloge
En utilisant $\oint p\,\mathrm{d}x = ET$ :
$\displaystyle \frac{1}{h}\oint p\,\mathrm{d}x = \frac{ET}{h} = \frac{E/\hbar}{2\pi/T} = \frac{\text{vitesse de l'horloge interne}}{\text{vitesse du plan}}.$
C’est exactement le rapport de fréquences de la section précédente.
Les trois décomptes coïncident. Le nombre de cellules d’aire $h$ enfermées par l’orbite, le nombre de longueurs d’onde de de Broglie le long du trajet spatial, et le nombre de tours d’horloge interne par tour de plan sont un seul et même nombre, à savoir $n+\frac12$.
Puisque nous savons déjà que ce nombre s’incrémente d’une unité à chaque application de $\hat a^\dagger$, nous obtenons du même coup : chaque niveau ajoute une longueur d’onde de de Broglie au trajet spatial, et une cellule d’aire $h$ à l’orbite. Ce sont deux énoncés du même fait.
Il ne reste plus qu’à convertir en rayon. L’aire vaut $h\left(n+\frac12\right)$, et en variables réduites l’orbite est un cercle de rayon $R$ dont l’aire physique vaut $\hbar\,\pi R^2$, puisque $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}p = \hbar\,\mathrm{d}X\,\mathrm{d}P$. On en déduit $\pi R^2 = 2\pi\left(n+\frac12\right)$, soit
$\displaystyle R_n = \sqrt{2n+1}.$
Le rayon croît donc comme $\sqrt n$, et les cercles se resserrent. C’est l’aire qui est le compteur linéaire. La raison en est visible sur la deuxième lecture : quand l’orbite grandit, le trajet s’allonge, mais l’impulsion augmente aussi, donc la longueur d’onde raccourcit. Les deux effets se multiplient, et le décompte croît comme $R^2$.
Enfin le $\frac12$. L’orbite du vide enferme une aire $h/2$ et non $0$ : l’origine du plan de phase, où le système serait au repos exact, est interdite par la relation d’incertitude $\Delta X\,\Delta P \geqslant \frac12$. Le vide occupe la plus petite orbite compatible avec cette contrainte, $R_0 = 1$. Ce décalage est le même pour tous les niveaux et disparaît de tout écart d’énergie ; il n’est pas un tour d’horloge mais un décalage de l’origine du comptage.
L’enchaînement complet, débarrassé de ses justifications :
L’énergie n’est donc pas la grandeur première. La grandeur première est un entier topologique, et l’énergie s’en déduit par $E = \hbar\omega\,n$ à un décalage près, où $\omega$ vient de la géométrie du flot et $\hbar$ de la conversion.