La déviation du filet d’eau
C’est l’une des expériences les plus célèbres des cours de physique-chimie au lycée : on frotte une règle en plastique ou un ballon de bauderuche contre un pull en laine, on l’approche d’un mince filet d’eau s’écoulant d’un robinet, et (magie de l’électrostatique) le filet d’eau s’incurve franchement vers la règle, parfois de plusieurs centimètres !
Dans la quasi-totalité des manuels scolaires, cette expérience est présentée comme la preuve expérimentale directe du caractère polaire de la molécule d’eau ($\text{H}_2\text{O}$). L’histoire racontée est séduisante : les molécules d’eau étant de petits dipôles électriques permanents, elles s’orienteraient dans le champ électrique créé par la tige et seraient attirées vers les zones de champ fort.
Il n’y a qu’un seul problème avec cette explication : elle est physiquement fausse (d’au moins trois ordres de grandeur) !
Comment le vérifier par un calcul d’ordres de grandeur à partir des lois de l’électrostatique et de la physique statistique, et quel est le véritable mécanisme à l’œuvre ?
Le mythe des dipôles face à l’agitation thermique
Que vaut le champ électrique $E$ crée par une règle en plastique frottée à une distance typique de quelques centimètres ?
On sait que le champ produit à proximité immédiate de la règle est proche du champ disruptif de l’air $E_{\text{max}} \approx \pu{3e6 V/m}$ ($\pu{30 kV/cm}$ dans l’air sec, et plutôt $10$ à $\pu{20 kV/cm}$ dans l’air humide au voisinage d’un évier) puisqu’on peut parfois obtenir de petites étincelles en approchant le doigt. Un champ $E \sim \pu{10^5 V/m}$ (soit $\pu{1 kV/cm}$) à quelques centimètres ne semble donc pas une aberration… On verra dans la suite que cela n’a de toute façon pas d’importance pour l’argument.
Testons l’hypothèse des manuels scolaires. Une molécule d’eau possède un moment dipolaire électrique permanent $p_0 \approx \pu{1,85 D} \approx \pu{6,2e-30 C.m}$.
Que font nos molécules d’eau dans ce champ ? Dans les schémas des livres de lycée, on voit toutes les molécules d’eau s’aligner bien sagement le long du champ électrique comme des aiguilles de boussole. C’est oublier l’ennemi juré de l’ordre microscopique à température ambiante ($T = \pu{293 K}$) : l’agitation thermique !
L’énergie potentielle d’orientation d’un dipôle $\vec{p}_0$ dans le champ $\vec{E}$ vaut $U = -\vec{p}_0\cdot\vec{E}$, d’amplitude maximale $p_0 E$. Comparons-la à l’énergie thermique $k_B T$ :
$$ \begin{aligned} \frac{p_0 E}{k_B T} &= \frac{\pu{6,2e-30 C.m} \times \pu{1e5 V/m}}{\pu{1,38e-23 J/K} \times \pu{293 K}}\\ &\approx \pu{1,5e-4} \ll 1 \end{aligned} $$
L’énergie d’alignement électrostatique est près de dix mille fois plus faible que l’agitation thermique ! Les molécules d’eau sont bousculées en permanence par les chocs thermiques : seule une infime fraction statistique (environ une molécule sur dix mille) présente en moyenne une orientation préférentielle dans le sens du champ.
Calculons rigoureusement la force volumique qui s’exerce sur un fluide diélectrique polaire mais électriquement neutre placé dans un champ électrique inhomogène $\vec{E}(\vec{r})$ :
Le vecteur polarisation macroscopique $\vec{P}$ (qui représente le moment dipolaire par unité de volume) s’écrit :
$$ \vec{P} = \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1)\vec{E}_{\text{int}} $$
où $\vec{E}_{\text{int}}$ désigne le champ électrique à l’intérieur du cylindre d’eau et où la grande permittivité diélectrique relative expérimentale de l’eau, $\varepsilon_r \approx 80$ tient compte des fortes corrélations entre molécules voisines via le réseau de liaisons hydrogène dans l’eau liquide.
Un dipôle $\vec{p}$ plongé dans un champ uniforme subit un couple, mais aucune force résultante puisque la force sur la charge $+q$ compense exactement celle sur la charge $-q$. Pour attirer un dipôle, il faut un gradient de champ électrique : la force sur un dipôle élémentaire vaut $\vec{f} = (\vec{p}\cdot\vec{\nabla})\vec{E}$.
C’est d’ailleurs l’argument expérimental développé dans l’article du Journal of Chemical Education référencé en fin de page : ils obtiennent une déviation du jet avec un champ électrique uniforme !
En supposant même dans un premier temps que $\vec{E}_{\text{int}} \approx \vec{E}$, la densité volumique de force par unité de volume de liquide sur un diélectrique linéaire (force de Kelvin) s’écrit :
$$ \begin{aligned} \vec{f}_{\text{dip}} &= (\vec{P}\cdot\vec{\nabla})\vec{E}\\ &= \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) (\vec{E}\cdot\vec{\nabla})\vec{E}\\ &= \frac{1}{2}\varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1)\vec{\nabla}\left(E^2\right) \end{aligned} $$
(où l’on a utilisé l’identité d’analyse vectorielle $\vec{\nabla}(E^2) = 2(\vec{E}\cdot\vec{\nabla})\vec{E} + 2\vec{E}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{E})$ avec $\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = \vec{0}$ en électrostatique).
Puisque le champ radial créé par la règle varie approximativement en $E(r) \propto 1/r$ à la distance $r$ de son axe, on a :
$$ \left|\vec{\nabla}\left(E^2\right)\right| = \left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(E^2\right)\right| = \frac{2 E^2}{r} $$
En divisant la force volumique $f_{\text{dip}}$ par la masse volumique de l’eau ($\rho = \pu{1000 kg/m3}$), on obtient la borne supérieure de l’accélération transversale $a_{\text{dip}}$ communiquée au filet d’eau par la polarité de ses molécules :
$$ \begin{aligned} a_{\text{dip}} &= \frac{f_{\text{dip}}}{\rho} = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) E^2}{\rho \, r}\\ &= \frac{\pu{8,85e-12 F/m} \times 79 \times (\pu{1e5 V/m})^2}{\pu{1000 kg/m3} \times \pu{0,02 m}}\\ &\approx \pu{0,35 m/s2} \end{aligned} $$
Et encore : ce calcul ignore le champ dépolarisant créé par les charges de polarisation sur les flancs du cylindre d’eau ! On a donc $E_\mathrm{int}<E$.
Combien de temps l’eau passe-t-elle au voisinage de la tige ? Pour un filet tombant en chute libre sur une hauteur d’interaction $h \approx \pu{5 cm}$ avec une vitesse typique $v_z \approx \pu{1 m/s}$, le temps de transit est $\Delta t \approx \pu{0,05 s}$.
Même avec la valeur surestimée $a_{\text{dip}} = \pu{0,35 m/s2}$, la déviation latérale $\Delta x_{\text{dip}}$ au sortir de la zone d’influence plafonne à :
$$ \Delta x_{\text{dip}} = \frac{1}{2} a_{\text{dip}} (\Delta t)^2 \approx 0,5 \times 0,35 \times (0,05)^2 \approx \pu{0,4 mm} $$
Pas vraiment spectaculaire, et pourtant…
Qui donc alors produit cette déviation ?
Le vrai coupable : la conduction ionique
Ce que l’explication « chimiste » oublie complètement, c’est que l’eau qui sort du robinet (et même l’eau distillée ou ultra-pure) n’est pas un isolant parfait, mais un conducteur électrolytique relié à la terre par la tuyauterie métallique (ou le réservoir) !
Dans l’eau du robinet, on trouve quantité d’ions dissous ($\text{Ca}^{2+}, \text{Mg}^{2+}, \text{Na}^+, \text{Cl}^-, \text{HCO}_3^-\dots$) qui lui confèrent une conductivité électrique $\sigma \approx \pu{5e-2 S/m}$. Et même dans une eau théoriquement pure à $100\,\%$, l’autoprotolyse de l’eau ($\ce{2 H2O <=> H3O+ + HO-}$) maintient en permanence une concentration de $\pu{10^{-7} mol/L}$ d’ions hydronium et hydroxyde, assurant une conductivité minimale $\sigma_{\text{pure}} \approx \pu{5,5e-6 S/m}$ (qui grimpe très vite à $\pu{10^{-4} S/m}$ dès que le dioxyde de carbone de l’air s’y dissout).
Que se passe-t-il lorsqu’on approche une tige chargée (disons négativement, $Q < 0$) d’un conducteur relié à la terre ? C’est le phénomène classique d’électrisation par influence :
- Tant que le filet d'eau est continu depuis le bec du robinet, le champ électrique de la tige attire les ions positifs (cations) vers la surface du filet d'eau faisant face à la tige, et repousse les ions négatifs (anions) vers le robinet (la terre).
- Le filet d'eau acquiert donc une charge électrique nette non nulle (ici positive, de signe opposé à la tige) par unité de longueur !
- Au lieu de subir une minuscule force en gradient de champ sur des dipôles neutres, cette portion chargée du filet d'eau subit directement la force de Coulomb $\vec{F} = q\vec{E}$ !
Vérifions par le calcul que les ions ont le temps de migrer et évaluons l’accélération de Coulomb correspondante :
Le temps de relaxation électrique $\tau_e$
Dans un milieu de conductivité $\sigma$ et de permittivité $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$, la combinaison de la loi d’Ohm locale ($\vec{j} = \sigma \vec{E}$), de la conservation de la charge ($\vec{\nabla}\cdot\vec{j} + \frac{\partial \rho_e}{\partial t} = 0$) et de l’équation de Maxwell-Gauss ($\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho_e}{\varepsilon}$) donne l’évolution temporelle de la densité de charge libre :
$$ \frac{\partial \rho_e}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon_r \varepsilon_0}\rho_e = 0 \quad \Longrightarrow \quad \rho_e(t) = \rho_e(0)\,\mathrm{e}^{-t/\tau_e} $$
Le temps caractéristique $\displaystyle \tau_e = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0}{\sigma}$ est appelé temps de relaxation de Maxwell.
Il mesure la durée nécessaire aux porteurs de charge pour migrer vers la surface et annuler le champ électrique à l’intérieur du conducteur.
- Pour l’eau du robinet ($\sigma \approx \pu{5e-2 S/m}$) : $$\tau_e = \frac{80 \times \pu{8,85e-12}}{\pu{5e-2}} \approx \pu{1,4e-8 s} = \pu{14 ns}$$
- Pour l’eau ultra-pure ($\sigma \approx \pu{5,5e-6 S/m}$) : $$\tau_e = \frac{80 \times \pu{8,85e-12}}{\pu{5,5e-6}} \approx \pu{1,3e-4 s} = \pu{0,13 ms}$$
Dans tous les cas, ce temps de relaxation $\tau_e$ est beaucoup plus court que le temps de chute ($\Delta t \approx \pu{50 ms}$) ! Même l’eau déminéralisée se comporte donc, à l’échelle de l’expérience, comme un conducteur parfait équipotentiel au potentiel de la terre ($V = 0$).
Calcul de la force de Coulomb sur la charge induite
Modélisons le filet d’eau continu de rayon $a \approx \pu{1 mm}$ comme un cylindre conducteur au potentiel $V = 0$ situé à la distance $r \approx \pu{2 cm}$ de la règle portée à un potentiel $V_0 \approx \pu{10 kV}$ (on a bien ainsi $E \sim \frac{V_0}{r \ln(r/a)} \approx \pu{1e5 V/m}$).
La capacité linéique entre le filet et son environnement vaut approximativement $C_\ell \approx \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(r/a)}$. La densité linéique de charge libre $\lambda_q$ induite sur le filet d’eau est alors :
$$ |\lambda_q| \approx C_\ell V_0 \approx 2\pi\varepsilon_0 E \, r $$
La force électrostatique de Coulomb par unité de longueur de filet vaut $F_\ell = |\lambda_q| E \approx 2\pi\varepsilon_0 r E^2$. En divisant par la masse linéique du filet d’eau ($\mu = \rho \pi a^2$), on obtient l’accélération transversale $a_{\text{ion}}$ due aux charges libres induites :
$$ \begin{aligned} a_{\text{ion}} &= \frac{F_\ell}{\mu} = \frac{2\pi\varepsilon_0 r E^2}{\rho \pi a^2} = \frac{2\varepsilon_0 r E^2}{\rho \, a^2}\\ &= \frac{2 \times \pu{8,85e-12 F/m} \times \pu{0,02 m} \times (\pu{1e5 V/m})^2}{\pu{1000 kg/m3} \times (\pu{1e-3 m})^2}\\ &\approx \pu{3,5 m/s2} \end{aligned} $$
On remarque d’ailleurs que le rapport entre la vraie accélération ionique $a_{\text{ion}}$ et l’accélération dipolaire réelle $a_{\text{dip}}$ ne dépend même pas de l’intensité du champ électrique $E$ puisque les deux sont proportionnelles à $E^2$.
Sur un temps de vol total de $\pu{0,15 s}$ jusqu’au bas de l’évier, la déviation latérale atteint alors :
$$ \Delta x_{\text{ion}} = \frac{1}{2} a_{\text{ion}} t^2 \approx 0,5 \times 3,5 \times (0,15)^2 \approx \pu{4 cm} $$
On retrouve enfin quelque chose de compatible avec l’observation !
Coup de grâce : la charge des goutelettes
Lorsqu’un fin filet d’eau s’écoule d’un robinet ou d’une burette, il ne reste pas cylindrique indéfiniment : au bout de quelques centimètres (typiquement $10$ à $\pu{15 cm}$), la tension superficielle amplifie les petites perturbations de surface et fragmente la colonne continue en un train de gouttelettes isolées. C’est l’instabilité de Plateau-Rayleigh.
Cette rupture du jet fournit le test expérimental ultime pour départager les deux théories :
- Si l’on place la tige chargée en haut (face à la partie continue du jet) : les ions migrent depuis le robinet, chargent le bas de la colonne continue, et lorsque les gouttes se détachent à la hauteur de rupture, chaque goutte emporte avec elle une charge électrique nette piégée ($q_{\text{goutte}} \neq 0$) ! Si l’on recueille l’eau déviée dans un bécher posé sur un électromètre (cylindre de Faraday), l’électromètre s’affole et mesure une charge électrique considérable (c’est d’ailleurs le principe exact du générateur électrostatique à gouttes d’eau de Lord Kelvin).
- Si l’on approche la tige uniquement en bas (face aux gouttes déjà formées), en prenant soin de blinder la partie haute continue par un tube métallique relié à la terre : chaque gouttelette étant désormais isolée dans l’air, elle ne peut plus échanger d’ions avec le robinet et sa charge nette reste strictement nulle ($q_{\text{goutte}} = 0$). Or, chaque gouttelette contient toujours autant de molécules d’eau polaires ! Si la théorie des manuels scolaires était vraie, les gouttes devraient être tout autant déviées. En pratique, on n’observe aucune déviation.
La présence d’ions dans l’eau étant grandement favorisée par la polarité des molécules d’eau, on peut en partie sauver la face de l’interprétation classique : on ne prouve certes pas la polarité, mais quand même l’une de ses conséquences.
La même erreur d’interprétation touche une autre expérience célèbre d’introduction à l’électrostatique : l’attraction de petits bouts de papier par une règle frottée ! Là encore, ce n’est pas la polarisation diélectrique de la cellulose du papier qui permet de soulever les confettis contre la gravité, mais la légère conductivité électrique du papier (due à son humidité résiduelle au contact de la table) qui permet de les charger par influence avant qu’ils ne décollent.
Bruno Jech, « Sur l’expérience de Desaguliers de la déviation d’un filet d’eau par une tige électrisée », Le Bup, vol. 106, no 946, juillet-août-septembre 2012, p. 737-760.🌐
M. Ziaei-Moayyed, E. Goodman & P. Williams, « Electrical Deflection of Polar Liquid Streams: A Misunderstood Demonstration », Journal of Chemical Education, vol. 77, no 11, 2000, p. 1520. 🌐