Notes de lecture du livre Quantum field theory for the gifted amateur de Thomas Lancaster et Stephen Blundell.
L’électron entre en scène !
Jusqu’ici, nos champs étaient des scalaires (une composante, spin 0) ou des vecteurs (quatre composantes, spin 1). Or la matière ordinaire est faite de fermions de spin $\frac{1}{2}$, et aucun des objets que nous connaissons ne sait les décrire. Cette partie construit le troisième type de champ, le champ de spineurs, en suivant le chemin historique de Dirac : chercher une équation d’onde relativiste du premier ordre en temps pour guérir les maladies de Klein–Gordon. La récompense dépasse toutes les espérances : le spin, les antiparticules, la valeur $g = 2$ du moment magnétique et, en couplant le tout au photon, l’électrodynamique quantique (QED), avec ses premières sections efficaces calculables.
La confrontation de cette théorie à l’expérience, elle, demande de la renormaliser : c’est l’objet de la partie suivante, qui lui est entièrement consacrée.
Rappelons les deux maladies de l’équation de Klein–Gordon vue comme équation d’onde à une particule : des états d’énergie négative, et des probabilités négatives.
Dirac diagnostique une cause commune : l’équation est du second ordre en temps, parce qu’elle contient $\partial^2$. Son idée, qui lui vint dit-on en fixant la cheminée du salon de St John’s College, consiste à chercher une équation du premier ordre, c’est-à-dire à prendre la racine carrée de $(\partial^2 + m^2)$.
Naïvement, on aimerait factoriser comme avec des nombres :
$\displaystyle (\partial^2 + m^2) = (\sqrt{\partial^2} + \mathrm{i} m)(\sqrt{\partial^2} - \mathrm{i} m) $
mais $\sqrt{\partial^2}$ n’a aucun sens. L’analogie utile est celle de $\sqrt{-1}$ : quand une opération est impossible avec les objets disponibles, on invente de nouveaux objets qui la rendent possible. Ici, les nouveaux objets sont quatre quantités $\gamma^\mu$ qui anticommutent.
$\displaystyle \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2g^{\mu\nu} $
qui condense $(\gamma^0)^2 = 1$, $(\gamma^i)^2 = -1$ et $\gamma^\mu\gamma^\nu = -\gamma^\nu\gamma^\mu$ pour $\mu \neq \nu$.
Une telle structure s’appelle une algèbre de Clifford.
Le miracle algébrique tient en une ligne. Posons $\not{\!\!\partial} \equiv \gamma^\mu \partial_\mu$ (notation slash de Feynman) et développons son carré :
$\displaystyle (\not{\!\!\partial})^2 = \gamma^\mu\gamma^\nu \partial_\mu\partial_\nu = \frac{1}{2}\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\}\partial_\mu\partial_\nu = g^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu = \partial^2 $
où la deuxième égalité vient de la symétrie de $\partial_\mu\partial_\nu$ en $\mu \leftrightarrow \nu$ (seule la partie symétrique de $\gamma^\mu\gamma^\nu$ survit) et l’anticommutateur fait le reste. La factorisation devient légitime :
$\displaystyle (\partial^2 + m^2) = (\not{\!\!\partial} - \mathrm{i} m)(\not{\!\!\partial} + \mathrm{i} m) $
On garde le facteur avec le signe plus, on l’applique à une fonction d’onde $\psi(x)$, on multiplie par $\mathrm{i}$, et voici la célèbre équation.
$\displaystyle (\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu - m)\,\psi(x) = 0 $
soit encore $(\gamma^\mu \hat p_\mu - m)\psi = (\not{\!\!\hat p}_\mu - m)\psi = 0$ avec $\hat p_\mu = \mathrm{i}\partial_\mu$.
La relation de dispersion reste $E_{\boldsymbol p}^2 = \boldsymbol p^2 + m^2$ : les énergies négatives subsistent (on les réinterprétera comme antiparticules, à la Feynman), mais le problème des probabilités négatives est guéri.
Le prix à payer : la représentation la plus simple des $\gamma^\mu$ utilise des matrices $4\times 4$, donc $\psi$ possède quatre composantes. Tout le chapitre consiste à comprendre ce que ces quatre composantes racontent. Réponse courte, à garder en tête pour la suite : deux composantes pour le spin, fois deux pour la chiralité gauche/droite (et le prochain chapitre montrera que ce doublement est exigé par la parité).
Il n’y a pas de choix unique des $\gamma^\mu$ : toute famille de matrices satisfaisant l’algèbre de Clifford convient.
On adopte la représentation chirale (ou de Weyl), écrite en blocs $2\times 2$ :
$\displaystyle \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} $
$\displaystyle \boldsymbol\gamma = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol\sigma \\ -\boldsymbol\sigma & 0 \end{pmatrix} $
où $\boldsymbol\sigma$ regroupe les matrices de Pauli.
Pour compacter encore, on définit :
$\displaystyle \sigma^\mu = (I, \boldsymbol\sigma) $
$\displaystyle \bar\sigma^\mu = (I, -\boldsymbol\sigma) $
d'où $\displaystyle \gamma^\mu = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^\mu \\ \bar\sigma^\mu & 0 \end{pmatrix} $
On découpe la fonction d’onde en deux blocs de deux composantes, $\psi = \begin{pmatrix} \psi_L \ \psi_R \end{pmatrix}$, et l’équation de Dirac devient un système couplé :
$\displaystyle (\hat p^0 - \boldsymbol\sigma \cdot \hat{\boldsymbol p})\,\psi_R = m\,\psi_L $
$\displaystyle (\hat p^0 + \boldsymbol\sigma \cdot \hat{\boldsymbol p})\,\psi_L = m\,\psi_R $
Lisons cette structure avant de calculer, parce qu’elle contient toute la physique du chapitre : c’est la masse qui couple $\psi_L$ et $\psi_R$. Sans masse, les deux blocs vivent leur vie indépendamment ; avec masse, la particule oscille sans cesse entre les deux, à un rythme fixé par $m$.
Pour une particule au repos, les équations se réduisent à $\mathrm{i}\partial_0\psi_R = m\psi_L$ et $\mathrm{i}\partial_0\psi_L = m\psi_R$ : un système de deux oscillateurs couplés, le contenu « gauche » se déversant dans le contenu « droite » et réciproquement, comme deux pendules reliés par un ressort de raideur $m$.
Posons $m = 0$. Les équations se découplent et la nature semble contenir deux espèces indépendantes : des particules « gauches » décrites par $\psi_L$ (les deux composantes du haut) et des particules « droites » décrites par $\psi_R$ (les deux du bas). Pour rendre ce vocabulaire précis, on introduit un cinquième larron.
L’opérateur de chiralité est
$\displaystyle
\gamma^5 = \mathrm{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}
$
(en représentation chirale)
Un état purement gauche $\begin{pmatrix} \psi_L \ 0 \end{pmatrix}$ est état propre de $\gamma^5$ avec la valeur propre $-1$, un état purement droit avec $+1$.
Les projecteurs
$\displaystyle \hat P_L = \frac{1 - \gamma^5}{2} $
$\displaystyle \hat P_R = \frac{1 + \gamma^5}{2} $
extraient la partie gauche ou droite de n’importe quelle fonction d’onde.
Pour un état sans masse d’énergie $E_{\boldsymbol p} = |\boldsymbol p|$, les équations découplées donnent
$\displaystyle \frac{\boldsymbol\sigma \cdot \hat{\boldsymbol p}}{|\boldsymbol p|}\,\psi_R = +\psi_R $
$\displaystyle \frac{\boldsymbol\sigma \cdot \hat{\boldsymbol p}}{|\boldsymbol p|}\,\psi_L = -\psi_L $
L’opérateur qui apparaît mesure la projection du spin sur la direction du mouvement : c’est l’hélicité $\hat h = \boldsymbol\sigma\cdot\hat{\boldsymbol p}/|\boldsymbol p|$.
Donc pour une particule sans masse, chiralité et hélicité coïncident : droite $\Leftrightarrow$ spin parallèle à l’impulsion ($h = +1$), gauche $\Leftrightarrow$ antiparallèle ($h = -1$).
Il faut absolument distinguer les deux notions dans le cas massif, et c’est un piège classique.
Pour les antiparticules (les solutions d’énergie négative, réinterprétées), les mêmes équations donnent le résultat inversé : une antiparticule droite a l’hélicité $-1$, une antiparticule gauche l’hélicité $+1$.
Imaginons une interaction qui ne se couple qu’aux états de chiralité gauche. Dans la limite ultra-relativiste, où chiralité $=$ hélicité, seuls les particules d’hélicité $-1$ et les antiparticules d’hélicité $+1$ interagiraient. C’est exactement ce que fait l’interaction faible : le champ $W^\mu$ ne se couple qu’aux fermions gauches. Conséquences concrètes :
Vocabulaire, maintenant que la structure est claire.
On sépare les solutions de fréquence positive (particules) et négative (antiparticules), en choisissant les conventions pour que les énergies physiques soient toujours positives :
$$\text{particules :}\quad u(p),\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}, \qquad \text{antiparticules :}\quad v(p),\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}, \qquad p^0 = E_{\boldsymbol p} > 0.$$
Les spineurs d’impulsion $u(p)$ et $v(p)$ satisfont les équations de Dirac en impulsion
$$(\not{!!p} - m),u(p) = 0, \qquad (\not{!!p} + m),v(p) = 0.$$
Au repos, $p^\mu = (m, \boldsymbol 0)$, la première équation devient $\begin{pmatrix} -m & m \ m & -m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_L \ u_R \end{pmatrix} = 0$, c’est-à-dire $u_L = u_R$ : au repos, gauche et droite sont indiscernables (aucune impulsion pour définir une hélicité, aucun boost pour les séparer). La solution s’écrit
$$u(p_0) = \sqrt{m}\begin{pmatrix} \xi \ \xi \end{pmatrix}, \qquad v(p_0) = \sqrt{m}\begin{pmatrix} \eta \ -\eta \end{pmatrix},$$
où $\xi$ et $\eta$ sont des vecteurs colonnes à deux composantes normalisés ($\xi^\dagger\xi = 1$), et le facteur $\sqrt{m}$ est une convention de normalisation (il donnera $\bar u u = 2m$). Voilà le décompte des degrés de liberté : les quatre composantes du spineur ne portent que deux informations indépendantes, les deux composantes de $\xi$ (ou $\eta$), qui codent le spin. Une particule de spin up selon $z$ a $\xi = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$, spin down $\xi = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$.
Attention au point le plus contre-intuitif du chapitre : pour les antiparticules, les conventions s’inversent. Une antiparticule de spin physique up selon $z$ est décrite par $\eta = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ (de sorte que $\hat S_z,\eta = -\frac{1}{2}\eta$), et spin physique down par $\eta = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$. La raison profonde apparaîtra au chapitre 38 : dans le champ quantifié, $v(p)\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}$ accompagne un opérateur de création d’antiparticule, et tous les nombres quantiques se lisent « à l’envers ».
Pour une impulsion quelconque, le résultat (justifié proprement au chapitre 37 par un boost explicite) est :
$$u(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma};\xi \ \sqrt{p\cdot\bar\sigma};\xi \end{pmatrix}, \qquad v(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma};\eta \ -\sqrt{p\cdot\bar\sigma};\eta \end{pmatrix},$$
où $p\cdot\sigma = p_\mu\sigma^\mu$ est une matrice $2\times 2$ et sa racine carrée s’entend racine positive de chaque valeur propre.
Exemple qui rend tout concret : pour $p^\mu = (E_{\boldsymbol p}, 0, 0, |\boldsymbol p|)$ (mouvement selon $+z$), $p\cdot\sigma = \mathrm{diag}(E_{\boldsymbol p} - |\boldsymbol p|,; E_{\boldsymbol p} + |\boldsymbol p|)$ et $p\cdot\bar\sigma = \mathrm{diag}(E_{\boldsymbol p} + |\boldsymbol p|,; E_{\boldsymbol p} - |\boldsymbol p|)$. Prenons le spin up, $\xi = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ (hélicité $+1$) :
$$u(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{E_{\boldsymbol p} - |\boldsymbol p|}\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \ \sqrt{E_{\boldsymbol p} + |\boldsymbol p|}\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \xrightarrow{;\text{boost infini};} \sqrt{2E_{\boldsymbol p}}\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}.$$
Dans la limite ultra-relativiste, la composante gauche s’éteint : une particule d’hélicité $+1$ devient purement droite, comme annoncé. Le calcul analogue pour les trois autres cas (spin down, et les deux antiparticules) confirme le tableau de la figure des hélicités ci-dessus.
Pour utiliser les spineurs comme base de développement, il faut une notion de produit scalaire. Le candidat naïf échoue instructivement : on montre que $u^\dagger(p)u(p) = 2E_{\boldsymbol p},\xi^\dagger\xi$, quantité qui dépend du référentiel (elle est proportionnelle à une énergie). La bonne quantité utilise le spineur adjoint.
En choisissant la base de spin $\xi^1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$, $\xi^2 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ avec $\xi^{s\dagger}\xi^r = \delta^{sr}$, on obtient le jeu complet de relations, qu’on rassemble ici parce qu’il servira sans arrêt aux chapitres 38 et 40 :
$$\bar u^s(p),u^r(p) = 2m,\delta^{sr}, \qquad \bar v^s(p),v^r(p) = -2m,\delta^{sr}, \qquad \bar u^r(p),v^s(p) = \bar v^r(p),u^s(p) = 0.$$
Toute solution « particule » de l’équation de Dirac se développe alors comme
$$\psi_-(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^{3/2}},\frac{1}{(2E_{\boldsymbol p})^{1/2}} \sum_{s=1}^{2} a_{s\boldsymbol p}, u^s(p),\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x},$$
et de même pour les antiparticules avec $b^*_{s\boldsymbol p},v^s(p),\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}$. Cette écriture deviendra le développement en modes du champ quantique au chapitre 38, avec $a$ et $b$ promus opérateurs.
Enfin, l’outil de calcul le plus utilisé de toute la suite. Quand on mesure une section efficace, on ne connaît généralement pas les polarisations : on moyenne sur les spins entrants et on somme sur les spins sortants. Ces sommes se font toutes avec le théorème suivant.
$$\sum_{s=1}^{2} u^s(p),\bar u^s(p) = \not{!!p} + m, \qquad \sum_{s=1}^{2} v^s(p),\bar v^s(p) = \not{!!p} - m.$$
Ce sont des matrices $4\times 4$ (produit d’une colonne par une ligne).
$$\sum_s u^s\bar u^s = \sum_s \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma},\xi^s \ \sqrt{p\cdot\bar\sigma},\xi^s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi^{s\dagger}\sqrt{p\cdot\bar\sigma} & \xi^{s\dagger}\sqrt{p\cdot\sigma} \end{pmatrix},$$
où l’ordre $(\bar\sigma, \sigma)$ de la ligne vient du $\gamma^0$ de l’adjoint qui échange les blocs. La relation de fermeture $\sum_s \xi^s\xi^{s\dagger} = I$ élimine les $\xi$ :
$$\sum_s u^s\bar u^s = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma}\sqrt{p\cdot\bar\sigma} & \sqrt{p\cdot\sigma}\sqrt{p\cdot\sigma} \ \sqrt{p\cdot\bar\sigma}\sqrt{p\cdot\bar\sigma} & \sqrt{p\cdot\bar\sigma}\sqrt{p\cdot\sigma} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & p\cdot\sigma \ p\cdot\bar\sigma & m \end{pmatrix} = \not{!!p} + m,$$
où l’on a utilisé $(p\cdot\sigma)(p\cdot\bar\sigma) = p^2 = m^2$ (identité de Pauli : $(\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol a)(\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol b) = \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b + \mathrm{i}\boldsymbol\sigma\cdot(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)$, appliquée avec $\boldsymbol a = \boldsymbol b = \boldsymbol p$ et les signes croisés de $\sigma$, $\bar\sigma$), donc $\sqrt{p\cdot\sigma}\sqrt{p\cdot\bar\sigma} = m$. $\square$
On entend souvent que l’équation de Dirac est « nécessaire pour décrire le spin ». Formulation trompeuse : à basse énergie, l’équation de Pauli fait très bien l’affaire. Le vrai énoncé, plus beau : l’équation de Pauli, avec le bon facteur gyromagnétique, émerge automatiquement de la limite non relativiste de Dirac.
La méthode est la même qu’au chapitre 12 : on factorise l’énergie de masse, qui domine tout à basse vitesse, en posant $\psi_{L,R}(t, \boldsymbol x) = \phi_{L,R}(t, \boldsymbol x),\mathrm{e}^{-\mathrm{i} mt}$. En notant $\hat E = \mathrm{i}\partial_0$ (qui, agissant sur $\phi$, mesure l’énergie au-dessus de $m$, donc petite), les équations couplées deviennent
$$-m\phi_L + (m + \hat E - \boldsymbol\sigma\cdot\hat{\boldsymbol p})\phi_R = 0, \qquad (m + \hat E + \boldsymbol\sigma\cdot\hat{\boldsymbol p})\phi_L - m\phi_R = 0.$$
La seconde donne $\phi_R = \left(1 + \frac{\hat E}{m} + \frac{\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\boldsymbol p}}{m}\right)\phi_L$ : à basse énergie, $\phi_R \approx \phi_L$ à des corrections en $1/m$ près. On injecte dans la première :
$$\left(2\hat E + \frac{\hat E^2}{m} - \frac{(\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\boldsymbol p})^2}{m}\right)\phi_L = 0.$$
Le terme $\hat E^2/m$ est doublement petit (deux facteurs de la petite énergie $\hat E$) et se néglige, d’où l’équation de Pauli :
$$\hat E,\phi_L = \frac{(\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\boldsymbol p})^2}{2m},\phi_L.$$
Branchons maintenant l’électromagnétisme par couplage minimal, $\hat{\boldsymbol p} \to \hat{\boldsymbol p} - q\boldsymbol A$ et $\hat E \to \hat E - qA^0$, et développons le carré avec l’identité $\sigma^i\sigma^j = \delta^{ij} + \mathrm{i}\epsilon^{ijk}\sigma^k$. Le point délicat, à faire une fois dans sa vie en écrivant $\hat{\boldsymbol p} = -\mathrm{i}\boldsymbol\nabla$ : $\hat{\boldsymbol p}$ et $\boldsymbol A(\boldsymbol x)$ ne commutent pas, et le terme croisé antisymétrique produit exactement $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol A = \boldsymbol B$. Résultat :
$$(\hat E - qA^0),\phi = \left[\frac{(\hat{\boldsymbol p} - q\boldsymbol A)^2}{2m} - \frac{q}{2m},\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol B\right]\phi.$$
Comparons le terme magnétique à la forme attendue $\hat H = -g,\frac{q}{2m},\hat{\boldsymbol S}\cdot\boldsymbol B$ avec $\hat{\boldsymbol S} = \frac{1}{2}\boldsymbol\sigma$ : l’identification donne
$$\boxed{,g = 2,}.$$
Historiquement, ce résultat fut décisif pour asseoir l’équation de Dirac : le facteur 2, mystérieux dans la théorie de Pauli où on le mettait à la main, sort ici du formalisme sans qu’on lui demande rien. L’expérience donne $g = 2{,}002,319,304\ldots$ ; l’écart n’est pas une imperfection de Dirac mais le signal que $\psi$ n’est pas une fonction d’onde à une particule : c’est un champ, dont les fluctuations quantiques corrigent $g$. Le chapitre 41 calculera la première correction et retrouvera les décimales.
$$\text{1er ordre en } \partial_t ;\Rightarrow; {\gamma^\mu, \gamma^\nu} = 2g^{\mu\nu} ;\Rightarrow; (\mathrm{i}\not{!!\partial} - m)\psi = 0 ;\Rightarrow; \psi = \begin{pmatrix} \psi_L \ \psi_R \end{pmatrix} \text{ couplés par } m ;\Rightarrow; \gamma^5,\ \hat h ;\Rightarrow; u, v,\ \textstyle\sum_s u\bar u = \not{!!p} + m ;\Rightarrow; \text{Pauli et } g = 2$$
Les différents types de champs se classent par leurs propriétés de transformation sous les rotations et les boosts. La transformation générale s’écrit
$$D(\boldsymbol\theta, \boldsymbol\phi) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol J\cdot\boldsymbol\theta + \mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi},$$
où $\boldsymbol J$ engendre les rotations (angle $\boldsymbol\theta$), $\boldsymbol K$ les boosts (rapidité $\boldsymbol\phi$, avec $\tanh\phi^i = \beta^i$), et le choix des matrices $\boldsymbol J$, $\boldsymbol K$ dépend de l’objet transformé, sous la seule contrainte des relations de commutation du groupe de Lorentz :
$$[J^i, J^j] = \mathrm{i}\epsilon^{ijk}J^k, \qquad [J^i, K^j] = \mathrm{i}\epsilon^{ijk}K^k, \qquad [K^i, K^j] = -\mathrm{i}\epsilon^{ijk}J^k.$$
Pour les scalaires, $\boldsymbol J = \boldsymbol K = 0$. Pour les vecteurs, ce sont les matrices $4\times 4$ familières. Pour les spineurs, il faut autre chose : les rotations d’objets à deux composantes de spin $\frac{1}{2}$ sont engendrées, comme le prouva Wigner, par le groupe $SU(2)$ et ses générateurs $\boldsymbol J = \frac{1}{2}\boldsymbol\sigma$. La matrice de rotation d’un spineur de Weyl est donc
$$D(\boldsymbol\theta) = \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{2}\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol\theta},$$
la même pour $\psi_L$ et $\psi_R$ : gauche et droite tournent identiquement. Exemple utile (rotation d’angle $\theta^3$ autour de $z$) : $D(\theta^3) = \mathrm{diag}!\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta^3/2}, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta^3/2}\right)$ ; on y lit le fameux facteur $\frac{1}{2}$ qui fait qu’une rotation de $2\pi$ multiplie un spineur par $-1$.
Pour les boosts, on cherche $\boldsymbol K$ compatible avec les relations de commutation, sachant $\boldsymbol J = \frac{1}{2}\boldsymbol\sigma$. Le troisième commutateur, $[K^i, K^j] = -\mathrm{i}\epsilon^{ijk}J^k$ avec son signe moins, suggère un $\boldsymbol K$ imaginaire, et le calcul confirme que
$$\boldsymbol K = \pm\frac{\mathrm{i}\boldsymbol\sigma}{2}$$
marche pour les deux signes. Il existe donc deux représentations spinorielles inéquivalentes du groupe de Lorentz : deux espèces de spineurs, qui tournent pareil mais se boostent différemment. Au repos, rien ne les distingue (les boosts ne servent pas) ; ce sont exactement les $\psi_L$ et $\psi_R$ tombés de l’équation de Dirac.
La manière propre de voir les deux espèces : définir $\boldsymbol J_\pm = \frac{1}{2}(\boldsymbol J \pm \mathrm{i}\boldsymbol K)$. Un calcul direct montre que les $\boldsymbol J_+$ commutent avec les $\boldsymbol J_-$ et que chacun satisfait séparément l’algèbre de $SU(2)$ :
$$[J_+^i, J_+^j] = \mathrm{i}\epsilon^{ijk}J_+^k, \qquad [J_-^i, J_-^j] = \mathrm{i}\epsilon^{ijk}J_-^k, \qquad [J_+^i, J_-^j] = 0.$$
L’algèbre de Lorentz est donc « deux $SU(2)$ indépendants », et ses représentations se cataloguent par un couple de spins $(j_-, j_+)$. Les cas les plus simples :
Le spineur de Dirac est la somme directe $(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})$ : une représentation réductible du groupe de Lorentz, mais irréductible dès qu’on exige en plus la parité (voir plus bas).
Le résultat opérationnel, celui qu’on utilisera dans tous les calculs :
$$\begin{pmatrix} \psi_L \ \psi_R \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} D_L(\boldsymbol\theta, \boldsymbol\phi) & 0 \ 0 & D_R(\boldsymbol\theta, \boldsymbol\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_L \ \psi_R \end{pmatrix}, \qquad \begin{aligned} D_L &= \mathrm{e}^{\frac{\boldsymbol\sigma}{2}\cdot(-\mathrm{i}\boldsymbol\theta - \boldsymbol\phi)}, \ D_R &= \mathrm{e}^{\frac{\boldsymbol\sigma}{2}\cdot(-\mathrm{i}\boldsymbol\theta + \boldsymbol\phi)}. \end{aligned}$$
Rotations identiques, boosts opposés : pour un pur boost, $\psi_L \to \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol\phi}\psi_L$ et $\psi_R \to \mathrm{e}^{+\frac{1}{2}\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol\phi}\psi_R$.
Vérifions sur un boost selon $z$ que tout est cohérent avec le chapitre 36. Les exponentielles se resomment comme des rotations hyperboliques :
$$\mathrm{e}^{\pm\frac{1}{2}\sigma^3\phi^3} = I\cosh\frac{\phi^3}{2} \pm \sigma^3\sinh\frac{\phi^3}{2},$$
et en identifiant $\cosh\phi^3 = \gamma = E/m$, $\sinh\phi^3 = |\boldsymbol p|/m$ (avec $\mathrm{e}^{\pm\phi^3/2} = \sqrt{\cosh\phi^3 \pm \sinh\phi^3}$), la matrice de boost $4\times 4$ devient
$$\frac{1}{\sqrt m},\mathrm{diag}!\left(\sqrt{E - |\boldsymbol p|},; \sqrt{E + |\boldsymbol p|},; \sqrt{E + |\boldsymbol p|},; \sqrt{E - |\boldsymbol p|}\right).$$
Appliquée au spineur au repos $\sqrt m\begin{pmatrix} \xi \ \xi \end{pmatrix}$, elle redonne exactement la formule $u(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma},\xi \ \sqrt{p\cdot\bar\sigma},\xi \end{pmatrix}$ admise au chapitre précédent. Boucle bouclée.
Avec ces outils, l’équation de Dirac se redémontre en trois pas, et cette dérivation révèle sa vraie nature.
Pas 1. Au repos, gauche $=$ droite : $u_L(p_0) = u_R(p_0)$. Comme $\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \ I & 0 \end{pmatrix}$ échange les deux blocs, cette condition s’écrit
$$(\gamma^0 - 1),u(p_0) = 0.$$
Pas 2. On montre l’identité de conjugaison $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi},\gamma^0,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi} = \frac{\not{!!p}}{m}$ : booster la matrice $\gamma^0$ la transforme en $\not{!!p}/m$ (calcul par blocs, avec les $D_{L,R}$ ci-dessus et $D_R^{-1},D_R = I$ intercalé).
Pas 3. On boost l’équation du pas 1 : en insérant $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi} = I$ et en notant $u(p) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi}u(p_0)$,
$$0 = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol K\cdot\boldsymbol\phi}(\gamma^0 - 1)u(p_0) = \left(\frac{\not{!!p}}{m} - 1\right)u(p), \qquad \text{soit} \qquad (\not{!!p} - m),u(p) = 0.$$
Morale : l’équation de Dirac n’est rien d’autre que l’énoncé « au repos, les deux chiralités coïncident », écrit de façon covariante. Toute la dynamique est dans la cinématique du groupe de Lorentz.
Reste la question laissée en suspens : puisque le spin ne demande que deux degrés de liberté, et qu’un spineur de Weyl suffit à les porter, pourquoi la nature (et l’équation de Dirac) utilise-t-elle les deux espèces à la fois ?
Réponse : la parité. L’opération $P$ renverse $\boldsymbol x \to -\boldsymbol x$ et $\boldsymbol v \to -\boldsymbol v$. Sur les générateurs, cela donne
$$P^{-1}\boldsymbol K P = -\boldsymbol K, \qquad P^{-1}\boldsymbol J P = +\boldsymbol J$$
($\boldsymbol K$ est un vecteur, $\boldsymbol J$ un pseudovecteur, comme le moment cinétique $\boldsymbol x\times\boldsymbol p$ qui prend deux signes moins). Or les deux espèces de spineurs se distinguent précisément par le signe de $\boldsymbol K$ : la parité échange donc les deux représentations,
$$P,\psi_L \to \psi_R, \qquad P,\psi_R \to \psi_L.$$
Un monde décrit par un seul spineur de Weyl violerait la parité de façon irrémédiable (c’est le cas de l’interaction faible, et le neutrino s’accommode très bien d’un spineur gauche seul). Mais l’électromagnétisme et l’interaction forte respectent la parité : pour les décrire, il faut embarquer $\psi_L$ et $\psi_R$ dans un même objet. D’où les quatre composantes du spineur de Dirac, et l’opérateur de parité explicite
$$P \equiv \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \ I & 0 \end{pmatrix},$$
qui échange bien les blocs haut et bas.
$$\boldsymbol J = \tfrac{1}{2}\boldsymbol\sigma ;\Rightarrow; \boldsymbol K = \pm\tfrac{\mathrm{i}\boldsymbol\sigma}{2} ;\Rightarrow; \text{deux espèces } \psi_L\ (\tfrac{1}{2}, 0),\ \psi_R\ (0, \tfrac{1}{2}) ;\Rightarrow; \text{boost} \Rightarrow u(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma},\xi \ \sqrt{p\cdot\bar\sigma},\xi \end{pmatrix} ;\Rightarrow; P!: L \leftrightarrow R ;\Rightarrow; \text{4 composantes}$$
Fin de l’échafaudage « une particule » : les électrons sont des excitations d’un champ, et il faut quantifier. La recette habituelle démarre d’un lagrangien classique. L’idée qu’un champ de fermions ait une limite classique est déroutante (aucun système de masses et de ressorts ne fabrique un fermion), mais on procède sans état d’âme : on cherche la densité lagrangienne dont les équations d’Euler–Lagrange redonnent Dirac, et c’est
$$\mathcal L = \bar\psi,(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu - m),\psi, \qquad \bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0.$$
Varier par rapport à $\bar\psi$ (qui n’apparaît pas dérivé) donne directement l’équation de Dirac pour $\psi$.
Le moment conjugué de $\psi$ se calcule normalement : $\Pi^0_\psi = \frac{\delta\mathcal L}{\delta(\partial_0\psi)} = \mathrm{i}\bar\psi\gamma^0 = \mathrm{i}\psi^\dagger$, et $\Pi^0_{\bar\psi} = 0$. Le hamiltonien $\mathcal H = \Pi^0_\psi,\partial_0\psi - \mathcal L$ vaut $\mathcal H = \psi^\dagger(-\mathrm{i}\gamma^0\boldsymbol\gamma^i\partial_i + m\gamma^0)\psi$, et en utilisant l’équation du mouvement elle-même il se compacte en
$$\mathcal H = \psi^\dagger,\mathrm{i}\partial_0,\psi.$$
Vient le moment décisif. Pour les champs scalaires, on imposait des commutateurs. Ici, on impose des anticommutateurs à temps égaux :
$${\hat\psi_a(t, \boldsymbol x),, \hat\psi_b^\dagger(t, \boldsymbol y)} = \delta^{(3)}(\boldsymbol x - \boldsymbol y),\delta_{ab}, \qquad {\hat\psi_a, \hat\psi_b} = {\hat\psi_a^\dagger, \hat\psi_b^\dagger} = 0,$$
où $a, b$ étiquettent les quatre composantes spinorielles. Le développement en modes reprend les bases du chapitre 36 :
$$\hat\psi(x) = \int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{1}{(2E_{\boldsymbol p})^{1/2}}\sum_{s=1}^{2}\left[u^s(p),\hat a_{s\boldsymbol p},\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x} + v^s(p),\hat b^\dagger_{s\boldsymbol p},\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}\right],$$
avec ${\hat a_{s\boldsymbol p}, \hat a^\dagger_{r\boldsymbol q}} = {\hat b_{s\boldsymbol p}, \hat b^\dagger_{r\boldsymbol q}} = \delta^{(3)}(\boldsymbol p - \boldsymbol q),\delta_{sr}$. En insérant dans le hamiltonien, les relations d’orthonormalisation des spineurs ($u^{s\dagger}u^r = 2E_{\boldsymbol p}\delta^{sr}$) font tout le travail, et après ordre normal :
$$\hat H = \int\mathrm{d}^3 p,\sum_{s=1}^{2} E_{\boldsymbol p}\left(\hat a^\dagger_{s\boldsymbol p}\hat a_{s\boldsymbol p} + \hat b^\dagger_{s\boldsymbol p}\hat b_{s\boldsymbol p}\right).$$
L’énergie est la somme des énergies (positives !) des particules et des antiparticules : le champ quantifié guérit définitivement la maladie des énergies négatives.
Ce choix n’est pas esthétique, il est forcé. Refaisons le calcul du hamiltonien en imposant des commutateurs (comme pour un boson). Le point technique : en réordonnant le terme en $\hat b,\hat b^\dagger$ pour le mettre en ordre normal, les anticommutateurs donnent $\hat b\hat b^\dagger = -\hat b^\dagger\hat b + \text{constante}$, et ce signe moins compense un autre signe moins issu de la normalisation $\bar v v = -2m$ des spineurs d’antiparticules. Avec des commutateurs, pas de compensation, et on obtient
$$\hat H_{\text{faux}} = \int\mathrm{d}^3 p,\sum_s E_{\boldsymbol p}\left(\hat a^\dagger_{s\boldsymbol p}\hat a_{s\boldsymbol p} - \hat b^\dagger_{s\boldsymbol p}\hat b_{s\boldsymbol p}\right).$$
Catastrophe : chaque antiparticule créée abaisse l’énergie de $E_{\boldsymbol p}$. Le vide s’effondrerait en créant une avalanche infinie d’antiparticules : pas d’état fondamental, pas de monde stable. La quantification fermionique par anticommutateurs est la seule issue, et avec elle le principe de Pauli ($(\hat a^\dagger)^2 = \frac{1}{2}{\hat a^\dagger, \hat a^\dagger} = 0$ : impossible d’empiler deux fermions identiques). C’est un aperçu du théorème spin-statistique : spin demi-entier $\Rightarrow$ anticommutateurs, sous peine d’instabilité du vide.
Le lagrangien est invariant sous la transformation globale $U(1)$ : $\psi \to \psi,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$, $\bar\psi \to \bar\psi,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}$ (les exponentielles se compensent terme à terme). La machinerie de Noether, identique au cas du champ scalaire complexe, livre le courant et la charge :
$$\hat J^\mu_{\mathrm{Nc}} = \hat{\bar\psi},\gamma^\mu,\hat\psi, \qquad \hat Q_{\mathrm{Nc}} = \int\mathrm{d}^3 p,\sum_s\left(\hat a^\dagger_{s\boldsymbol p}\hat a_{s\boldsymbol p} - \hat b^\dagger_{s\boldsymbol p}\hat b_{s\boldsymbol p}\right).$$
La charge conservée compte les particules moins les antiparticules. Ce courant jouera un rôle vedette : c’est lui qui deviendra le courant électromagnétique.
Pour faire de la diffusion, il faut le propagateur. Deux routes possibles : le calcul direct de $G_0(x, y) = \langle 0|T,\hat\psi(x)\hat{\bar\psi}(y)|0\rangle$ avec les sommes de spin (exercice 38.4), ou l’intégrale de chemin. Prenons la seconde, qui recycle les nombres de Grassmann du chapitre 28 : les champs $\psi$, $\bar\psi$ de l’intégrale fonctionnelle anticommutent, chacun se couple à sa propre source ($\eta$ pour $\bar\psi$, $\bar\eta$ pour $\psi$), et la gaussienne fermionique donne la fonctionnelle génératrice normalisée
$$\mathcal Z[\bar\eta, \eta] = \mathrm{e}^{-\int\mathrm{d}^4 x,\mathrm{d}^4 y;\bar\eta(x),\mathrm{i} S(x - y),\eta(y)}, \qquad (\mathrm{i}\not{!!\partial} - m),\mathrm{i} S(x) = \mathrm{i}\delta^{(4)}(x).$$
Le propagateur est la fonction de Green de l’opérateur de Dirac, et sa transformée de Fourier s’écrit
$$\tilde G_0(p) = \frac{\mathrm{i}}{\not{!!p} - m + \mathrm{i}\epsilon} = \frac{\mathrm{i},(\not{!!p} + m)}{p^2 - m^2 + \mathrm{i}\epsilon},$$
où l’écriture $1/(\not{!!p} - m)$ désigne l’inverse de la matrice $4\times 4$, et la seconde forme s’obtient en multipliant haut et bas par $(\not{!!p} + m)$ puis en utilisant $(\not{!!p})^2 = p^2$.
Insistons : le propagateur du fermion est une matrice $4\times 4$. En représentation chirale,
$$\tilde G_0(p) = \frac{\mathrm{i}}{p^2 - m^2 + \mathrm{i}\epsilon}\begin{pmatrix} m & p^0 - \boldsymbol p\cdot\boldsymbol\sigma \ p^0 + \boldsymbol p\cdot\boldsymbol\sigma & m \end{pmatrix},$$
et cette structure de blocs raconte une histoire. Le propagateur est formé de $\hat\psi(x)\hat{\bar\psi}(y)$, donc ses blocs sont les quatre combinaisons $\psi_{L,R}(x),\psi^\dagger_{R,L}(y)$ : chaque case dit « quelle chiralité entre, quelle chiralité sort ». Les cases hors diagonale (chiralité conservée) portent le terme cinétique $p^0 \mp \boldsymbol p\cdot\boldsymbol\sigma$ ; les cases diagonales (chiralité renversée) portent… la masse $m$, exactement comme les équations couplées du chapitre 36 l’annonçaient. En resommant la série $G = G_0 + G_0 V G_0 + \ldots$, chaque case devient une superposition de toutes les histoires d’oscillations $L \to R \to L \to \ldots$ compatibles avec les chiralités d’entrée et de sortie : une particule de Dirac massive se propage en clignotant entre gauche et droite, et chaque clignotement coûte une insertion de masse.
La fonctionnelle génératrice fournit les règles de Feynman, qu’on liste (en espace des impulsions) :
Mise en jambes : la théorie de Yukawa $\mathcal L_{\mathrm I} = -g,\bar\psi\psi,\phi$ (électrons échangeant des « phions » scalaires massifs), version spinorielle du calcul du chapitre 20. Pour la diffusion électron–électron, le canal $t$ donne
$$\mathrm{i}\mathcal M_1 = (-\mathrm{i} g)^2,\bar u^{s’}(p’),u^s(p),\frac{\mathrm{i}}{(p’ - p)^2 - m_\phi^2},\bar u^{r’}(k’),u^r(k),$$
et le canal $u$ (particules sortantes échangées) porte un signe moins global, trace de l’anticommutation des opérateurs dans l’élément de matrice $S$ : première manifestation concrète de la statistique dans un calcul. Dans la limite non relativiste pour particules discernables (seul le canal $t$ contribue), $\bar u^{s’}(p)u^s(p) = 2m_{\mathrm e},\delta^{s’s}$ : la diffusion ne peut pas retourner le spin, et on retrouve
$$\mathrm{i}\mathcal M = \frac{4\mathrm{i} g^2 m_{\mathrm e}^2}{(\boldsymbol p - \boldsymbol p’)^2 + m_\phi^2},\delta^{s’s},\delta^{r’r},$$
le potentiel de Yukawa attractif du chapitre 20, augmenté des deltas de conservation du spin. Bon signe : le formalisme spinoriel redonne les résultats scalaires quand le spin ne fait que passer.
Dernier acte, le plus important du chapitre. L’invariance globale $\psi \to \psi,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ donnait un courant conservé. Promouvons-la en invariance locale, $\psi(x) \to \psi(x),\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x)}$, exactement comme au chapitre 14 : le terme $\partial_\mu\psi$ produit un $\partial_\mu\alpha$ parasite, qu’on absorbe en introduisant un champ de jauge $A_\mu(x)$ via la dérivée covariante
$$D_\mu = \partial_\mu + \mathrm{i} q A_\mu(x), \qquad A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{q}\partial_\mu\alpha.$$
Le lagrangien de Dirac jaugé s’écrit $\mathcal L = \bar\psi(\mathrm{i}\gamma^\mu D_\mu - m)\psi$, et en développant :
$$\mathcal L = \bar\psi(\mathrm{i}\not{!!\partial} - m)\psi - q,\bar\psi\gamma^\mu\psi,A_\mu.$$
Le couplage minimal nous dicte l’interaction : $\mathcal L_{\mathrm I} = -q,\bar\psi\gamma^\mu A_\mu\psi$, c’est-à-dire $\mathcal L_{\mathrm I} = -J^\mu_{\mathrm{em}}A_\mu$ avec l’identification $J^\mu_{\mathrm{em}} = q,J^\mu_{\mathrm{Nc}} = q,\bar\psi\gamma^\mu\psi$ : le courant électromagnétique qui source le champ de Maxwell est le courant de Noether du fermion, multiplié par la charge. Conservation garantie par construction. En ajoutant le terme de Maxwell, on obtient l’équation-monument :
$$\mathcal L_{\mathrm{QED}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar\psi,(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu - m),\psi - q,\bar\psi\gamma^\mu\psi,A_\mu.$$
Trois termes : le photon libre, l’électron libre, et leur interaction, entièrement fixée par la symétrie de jauge $U(1)$.
$$\mathcal L = \bar\psi(\mathrm{i}\not{!!\partial} - m)\psi ;\Rightarrow; {\hat\psi, \hat\psi^\dagger} = \delta ;\Rightarrow; \hat H = \sum E_{\boldsymbol p}(\hat n^{(a)} + \hat n^{(b)}) ;\Rightarrow; \tilde G_0 = \frac{\mathrm{i}}{\not{!!p} - m} ;\Rightarrow; \text{règles de Feynman} ;\Rightarrow; U(1) \text{ locale} ;\Rightarrow; \mathcal L_{\mathrm{QED}}$$
QED n’est pas soluble exactement : le programme du chapitre est de rassembler tout ce qu’il faut pour la perturbation, à savoir le propagateur du photon, les règles de Feynman, et la garantie que l’invariance de jauge survit aux diagrammes.
Pour le propagateur du photon, tentons la limite $m \to 0$ du propagateur du champ vectoriel massif (chapitre 24) :
$$\tilde D_{0\mu\nu}(k) = \lim_{m\to 0}\frac{\mathrm{i}\left(-g_{\mu\nu} + k_\mu k_\nu/m^2\right)}{k^2 - m^2 + \mathrm{i}\epsilon}.$$
Le terme $k_\mu k_\nu/m^2$ menace d’exploser. La résolution, admise ici et justifiée en fin de chapitre : l’invariance de jauge (via l’identité de Ward) rend ce terme inoffensif, car il ne contribue à aucune amplitude physique. On peut donc le jeter :
$$\tilde D_{0\mu\nu}(k) = \frac{-\mathrm{i},g_{\mu\nu}}{k^2 + \mathrm{i}\epsilon}.$$
Avant d’accepter ce propagateur, vérifions qu’il contient la bonne physique. Faisons interagir deux courants électriques $J^\mu_a$ et $J^\nu_b$ par échange d’un photon : l’amplitude est $\mathcal A = J^\mu_a\left(\frac{-\mathrm{i} g_{\mu\nu}}{k^2}\right)J^\nu_b$. Plaçons-nous dans un référentiel où $k^\mu = (k^0, 0, 0, k^3)$ et utilisons la conservation du courant $k_\mu J^\mu = 0$, soit $k^0 J^0 = k^3 J^3$, pour éliminer $J^3$ :
$$\mathcal A = \mathrm{i},\frac{J^0_a J^0_b}{(k^3)^2} + \mathrm{i},\frac{J^1_a J^1_b + J^2_a J^2_b}{(k^0)^2 - (k^3)^2}.$$
Deux morceaux, deux physiques :
Un seul objet, $-\mathrm{i} g_{\mu\nu}/k^2$, contient donc à la fois l’électrostatique et la lumière.
L’interaction, héritée du chapitre 38, est $\hat{\mathcal H}{\mathrm I} = q,\hat{\bar\psi}\gamma^\mu\hat\psi,\hat A\mu$ avec $q = Q|e|$. Un seul vertex, dont la traduction en français tient en une phrase, « les fermions peuvent émettre ou absorber des photons virtuels », gouverne toute la théorie.
Premier processus complet : $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$, l’annihilation électron–positron en paire de muons (canal $s$ : les particules entrantes s’annihilent en photon virtuel qui rematérialise la paire sortante). Les règles donnent
$$\mathrm{i}\mathcal M = \bar v^{s’}(p’),(-\mathrm{i}|e|\gamma^\mu),u^s(p);\frac{-\mathrm{i} g_{\mu\nu}}{q^2};\bar u^r(k),(-\mathrm{i}|e|\gamma^\nu),v^{r’}(k’).$$
Plutôt qu’un calcul de traces (réservé au chapitre 40), le livre fait ici quelque chose de plus instructif : le calcul en amplitudes d’hélicité, dans la limite ultra-relativiste où chiralité $=$ hélicité. Prenons un $e^-$ droit (hélicité $+1$, impulsion selon $+z$) et un $e^+$ gauche (hélicité $+1$ aussi, souvenons-nous de l’inversion des antiparticules) : leurs spineurs boostés n’ont qu’une composante non nulle, et le courant entrant se calcule en une ligne :
$$\bar v(p’)\gamma^\mu u(p) = -2E,(0, 1, \mathrm{i}, 0).$$
Ce quadrivecteur décrit le spin total de la paire entrante (les deux spins up selon $z$ : la combinaison $x + \mathrm{i} y$ est celle d’un moment cinétique $+1$ selon $z$). Le courant sortant des muons est le même objet, conjugué et tourné d’un angle $\theta$ dans le plan $x$–$z$ : $\bar u(k)\gamma^\mu v(k’) = -2E,(0, \cos\theta, -\mathrm{i}, -\sin\theta)$. Le produit scalaire des deux courants, divisé par $q^2 = (2E)^2$, donne
$$\mathcal M(e^-_R e^+_L \to \mu^-_R \mu^+_L) = -e^2,(1 + \cos\theta).$$
Le facteur $(1 + \cos\theta)$ se comprend sans calcul : c’est l’amplitude de recouvrement entre un état de moment cinétique $J_z = +1$ le long de l’axe des électrons et le même état le long de l’axe des muons. Les autres combinaisons d’hélicités donnent $-e^2(1 \pm \cos\theta)$ ou zéro (les configurations interdites par le couplage vectoriel, qui conserve la chiralité à chaque vertex). En moyennant sur les spins entrants et sommant sur les sortants (exercice 39.2, dont le résultat servira au chapitre 40) :
$$\frac{1}{4}\sum_{\mathrm{spins}}|\mathcal M|^2 = e^4,(1 + \cos^2\theta).$$
Cette distribution angulaire en $1 + \cos^2\theta$ est un classique absolu des collisionneurs : elle a été vérifiée avec grande précision, et sa déformation à haute énergie fut l’une des signatures du $Z^0$.
Reste la dette contractée au début : pourquoi a-t-on le droit de jeter $k_\mu k_\nu$ ? La réponse tient dans un triangle de concepts : invariance de jauge $\Leftrightarrow$ conservation du courant $\Leftrightarrow$ identité de Ward, cette dernière étant la version « diagrammes de Feynman » des deux autres.
$$k_\mu,\mathcal M^\mu(k, p_1, p_2, \ldots) = 0.$$
Conséquence immédiate : dans le propagateur, tout terme proportionnel à $k_\mu k_\nu$ se contracte toujours avec un $\mathcal M^\mu$ de ce type, donc donne zéro. Le fantôme $k_\mu k_\nu/m^2$ était inoffensif. La version physique du même argument (exemple 39.3 du livre) : l’amplitude d’émission d’un photon par une source $J^\mu$ contient un terme en $k_\mu\tilde J^\mu(k)/m^2$ qui explose quand $m \to 0$, sauf si $k_\mu\tilde J^\mu = 0$, qui est exactement la conservation du courant $\partial_\mu J^\mu = 0$ écrite en Fourier. Un photon ne peut se coupler qu’à un courant conservé, et cette conservation désamorce la divergence.
Il y a un retournement élégant : puisque les termes en $k_\mu k_\nu$ ne contribuent jamais, on peut aussi en rajouter à volonté. D’où la famille de propagateurs
$$\tilde D_{0\mu\nu}(k) = \frac{-\mathrm{i}\left(g_{\mu\nu} + (1 - \xi),k_\mu k_\nu/k^2\right)}{k^2 + \mathrm{i}\epsilon},$$
paramétrée par $\xi$ arbitraire : $\xi = 1$ est la jauge de Feynman (la plus simple), $\xi = 0$ la jauge de Landau. L’exercice 39.1 montre que ce propagateur sort directement du lagrangien muni d’un terme de fixation de jauge $-\frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2$, indispensable car sans lui les équations du mouvement de $A^\mu$ ne sont pas inversibles (l’opérateur $k^2 g^{\mu\nu} - k^\mu k^\nu$ est un projecteur, donc singulier) : la liberté de jauge doit être fixée pour définir un propagateur, et $\xi$ mesure la liberté résiduelle. Qu’aucune quantité mesurable ne dépende de $\xi$ est un test de cohérence redoutable, qu’on utilisera en pratique pour vérifier les calculs.
$$\lim_{m\to 0}\frac{k_\mu k_\nu}{m^2}\ \text{menace} ;\Rightarrow; \text{Ward}\ k_\mu\mathcal M^\mu = 0 ;\Rightarrow; \tilde D_{0\mu\nu} = \frac{-\mathrm{i} g_{\mu\nu}}{k^2} ;\Rightarrow; \text{Coulomb} + 2\ \text{polarisations} ;\Rightarrow; \text{vertex}\ {-\mathrm{i} q\gamma^\mu} ;\Rightarrow; \mathcal M(e^+e^-!\to\mu^+\mu^-) \propto e^2(1 \pm \cos\theta)$$
Chapitre d’entraînement, où la machinerie tourne à plein régime sur trois processus historiques : Rutherford (la découverte du noyau), Mott (sa version relativiste) et Compton (la nature corpusculaire de la lumière). Au passage, on collecte la boîte à outils des traces, utilisée dans toute application sérieuse de QFT.
Un électron diffuse sur un noyau très lourd de charge $Z|e|$. Le noyau bouge si peu qu’on le remplace par un potentiel classique statique $A^\mu_{\mathrm{cl}}(x)$ : la règle de Feynman du vertex correspondant est $-\mathrm{i} Q|e|\gamma_\mu\tilde A^\mu_{\mathrm{cl}}(q)$, l’électron interagissant avec la transformée de Fourier du potentiel. Pour le potentiel de Coulomb $A^0_{\mathrm{cl}}(\boldsymbol r) = \frac{Z|e|}{4\pi|\boldsymbol r|}$, on a $\tilde A^0_{\mathrm{cl}}(\boldsymbol q) = \frac{Z|e|}{\boldsymbol q^2}$, d’où l’amplitude (électron : $Q = -1$)
$$\mathrm{i}\mathcal M = \mathrm{i},\frac{Z e^2}{\boldsymbol q^2},\bar u(p’),\gamma^0,u(p).$$
La cinématique élastique donne $\boldsymbol q^2 = 4\boldsymbol p^2\sin^2\frac{\theta}{2}$ (petit calcul : $|\boldsymbol p’| = |\boldsymbol p|$, donc $|\boldsymbol q|^2 = |\boldsymbol p’ - \boldsymbol p|^2 = 2\boldsymbol p^2(1 - \cos\theta)$). Dans la limite non relativiste, $\bar u(p’)\gamma^0 u(p) = 2m,\xi^\dagger\xi = 2m$, et avec la formule de section efficace sur potentiel $\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{|\mathcal M|^2}{(4\pi)^2}$ :
$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{Z^2\alpha^2}{4m^2 v^4\sin^4(\theta/2)}.$$
La divergence en $\theta \to 0$ (portée infinie du Coulomb) et le $\sin^{-4}$ qui autorise des rétrodiffusions rares mais réelles : tout y est, y compris le fait remarquable que le calcul quantique redonne exactement le résultat classique de Rutherford.
Refaisons le calcul relativiste. La difficulté est le terme spinoriel $|\bar u^{s’}(p’)\gamma^0 u^s(p)|^2$, moyenné sur $s$ et sommé sur $s’$ (faisceaux non polarisés, détecteurs aveugles au spin). La technique est la technique de QED, qu’il faut posséder ; on la déroule en entier une fois.
Le mécanisme général, à mémoriser comme un algorithme : (1) écrire $|\mathcal M|^2 = \mathcal M\mathcal M^*$ et conjuguer avec l’astuce 1 ; (2) écrire tous les indices spinoriels explicitement, ce qui autorise à réordonner les facteurs ; (3) effectuer les sommes de spin avec l’astuce 2, ce qui soude les spineurs en propagateurs numériques $\not{!!p} + m$ ; (4) reconnaître que la chaîne d’indices bouclée est une trace ; (5) évaluer la trace avec les identités. Ici :
$$\frac{1}{2}\sum_{s,s’}|\bar u^{s’}(p’)\gamma^0 u^s(p)|^2 = \frac{1}{2},\mathrm{Tr}\left[\gamma^0(\not{!!p} + m),\gamma^0(\not{!!p}’ + m)\right] = 2\left(E_{\boldsymbol p}^2 + \boldsymbol p\cdot\boldsymbol p’ + m^2\right),$$
où la trace s’est scindée (parité du nombre de $\gamma$) en $\mathrm{Tr}[\gamma^0(\not{!!p})\gamma^0(\not{!!p}’)] = 4(E_{p’}E_p + \boldsymbol p’\cdot\boldsymbol p)$ et $m^2,\mathrm{Tr}[(\gamma^0)^2] = 4m^2$. La cinématique élastique transforme le résultat en $4E_{\boldsymbol p}^2(1 - \beta^2\sin^2\frac{\theta}{2})$, et au bout du compte :
$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{Z^2\alpha^2}{4\boldsymbol p^2\beta^2\sin^4(\theta/2)}\left(1 - \beta^2\sin^2\frac{\theta}{2}\right).$$
Lecture physique du facteur correctif $(1 - \beta^2\sin^2\frac{\theta}{2})$ : il éteint la rétrodiffusion ($\theta = \pi$) dans la limite ultra-relativiste $\beta \to 1$. C’est l’hélicité qui parle : à haute énergie l’hélicité est quasi conservée, or une rétrodiffusion à $180°$ renverserait l’impulsion sans pouvoir renverser le spin (le potentiel coulombien, scalaire, ne sait pas faire basculer un spin), donc renverserait l’hélicité. Interdit, donc supprimé.
Le processus $e^- + \gamma \to e^- + \gamma$ reçoit deux diagrammes au plus bas ordre : le canal $s$ (l’électron absorbe le photon, se propage hors couche, réémet) et le canal $u$ (l’électron émet le photon final avant d’absorber l’initial). Les règles donnent, pour le canal $s$ :
$$\mathrm{i}\mathcal M_s = \bar u(p’),(\mathrm{i}|e|\gamma^\nu),\epsilon^*{\nu\lambda’}(k’);\frac{\mathrm{i}}{\not{!!p} + \not{!!k} - m + \mathrm{i}\epsilon};\epsilon{\mu\lambda}(k),(\mathrm{i}|e|\gamma^\mu),u(p),$$
et l’expression analogue en canal $u$ avec $p - k’$ dans le propagateur. L’évaluation complète donne la formule de Klein–Nishina ; le livre se contente, et nous aussi, de la limite ultra-relativiste ($m$ négligeable, donc $p^2 = k^2 = 0$), où l’algorithme des traces déroulé ci-dessus (avec en plus l’astuce photon) livre pour le canal $s$ :
$$\frac{1}{4}\sum|\mathcal M_s|^2 = \frac{e^4}{s^2},\mathrm{Tr}\left[(\not{!!k})(\not{!!p})(\not{!!k})(\not{!!p}’)\right] = -\frac{2e^4 u}{s},$$
avec les variables de Mandelstam $s = (p + k)^2 = 2p\cdot k$ et $u = (p’ - k)^2 = -2p’\cdot k$. Le canal $u$ contribue $-2e^4 s/u$, sans terme d’interférence, d’où le résultat compact :
$$\frac{1}{4}\sum_{\mathrm{spins,,polar.}}|\mathcal M|^2 = -2e^4\left(\frac{u}{s} + \frac{s}{u}\right),$$
quantité positive puisque $u < 0$.
Cadeau final du formalisme. L’interprétation de Feynman des antiparticules comme particules remontant le temps autorise à « plier » les pattes d’un diagramme : une particule entrante $\phi$ d’impulsion $p$ devient une antiparticule sortante $\bar\phi$ d’impulsion $k = -p$ (et de charge opposée), et l’amplitude est la même fonction :
$$\mathcal M(\phi(p) + \ldots \to \ldots) = \mathcal M(\ldots \to \ldots + \bar\phi(k)), \qquad p = -k.$$
Exemple : croiser le canal $s$ de $e^-e^+ \to \mu^-\mu^+$ (plier le $e^+$ entrant et le $\mu^+$ sortant) donne le processus $e^-\mu^- \to e^-\mu^-$, en canal $t$ ; dans les amplitudes exprimées en variables de Mandelstam, le croisement se résume à l’échange $s \leftrightarrow t$. Un calcul, plusieurs processus : les exercices croisent ainsi Møller ($e^-e^- \to e^-e^-$) en Bhabha ($e^-e^+ \to e^-e^+$). Prudence tout de même sur les facteurs de flux et les domaines cinématiques (les variables changent de signe) : le livre recommande, et nous avec, de consulter Peskin & Schroeder avant de croiser « en conditions réelles ».
$$\tilde A^0_{\mathrm{cl}} = \frac{Z|e|}{\boldsymbol q^2} ;\Rightarrow; \text{Rutherford} ;\Rightarrow; \text{sommes de spin} + \text{traces} ;\Rightarrow; \text{Mott}\ (1 - \beta^2\sin^2\tfrac{\theta}{2}) ;\Rightarrow; \text{Compton}\ {-2e^4}!\left(\tfrac{u}{s} + \tfrac{s}{u}\right) ;\Rightarrow; \text{croisement}\ s \leftrightarrow t$$
Et maintenant ? Nous avons la théorie, ses règles de Feynman et ses premières sections efficaces. Mais aucun de ces calculs n’a encore été poussé jusqu’à un nombre comparable à une mesure de précision, et les corrections d’ordre supérieur divergent toutes. La partie suivante lève l’obstacle en renormalisant QED, et en tire les deux résultats qui ont fait sa réputation : la charge électrique qui dépend de l’échelle, et le moment magnétique anormal de l’électron.