Notes de lecture du livre Quantum field theory for the gifted amateur de Thomas Lancaster et Stephen Blundell.
La partie précédente a construit l’électrodynamique quantique et ses règles de Feynman. Mais dès qu’on dépasse l’ordre le plus bas, les intégrales divergent, et rien n’est encore comparable à une mesure de précision. Cette partie lève l’obstacle en appliquant à QED la machinerie de renormalisation développée aux parties 11 et 12, et en tire deux résultats qui ont fait sa réputation.
Le premier est que la charge électrique n’est pas une constante : le vide se comporte comme un diélectrique, écrante l’électron, et la valeur mesurée de $\alpha$ dépend de la distance à laquelle on regarde. Le second est le moment magnétique anormal de l’électron : la valeur $g = 2$ que Dirac avait déduite de la relativité reçoit une correction, calculable à partir d’un unique diagramme, et vérifiée aujourd’hui sur une dizaine de chiffres significatifs.
Ces deux résultats ont ceci de commun qu’ils sont des tests au sens fort : la théorie sans champ quantifié y prédit des valeurs nettes (exactement $2$, exactement une dégénérescence, exactement une constante), et l’expérience les contredit toutes les trois. On mènera donc les calculs jusqu’au nombre, et un tableau de confrontation clôt la partie.
Conventions inchangées : $\hbar = c = 1$, métrique $(+,-,-,-)$, notations de L&B, et $\gamma \cdot a \equiv \gamma^\mu a_\mu$ en lieu et place de la notation « slash » de Feynman.
Le sommet de la partie, et l’un des sommets du livre. Les boucles électron–positron divergent ; la renormalisation de la partie VIII s’applique, et elle ne se contente pas d’éponger les infinis : elle prédit deux effets mesurés. Un, la charge électrique n’est pas une constante. Deux, $g$ n’est pas tout à fait 2.
QED est renormalisable avec exactement trois contretermes, un par fonction de Green divergente :
Les conditions de renormalisation fixent le sens physique des paramètres : $\tilde\Sigma(\gamma\cdot p = m) = 0$ (la masse de l’électron est $m$, la vraie), $\tilde\Pi^{\mu\nu}(q = 0) = 0$ (le photon reste sans masse) et $\tilde\Gamma^\mu(p’ - p = 0) = \gamma^\mu$ (la charge est $Q|e|$, la vraie, mesurée à transfert nul). Toute la physique nouvelle vient de ce que ces conditions ne peuvent être imposées qu’en un point : ailleurs, les fonctions bougent, et ce mouvement est mesurable.
Concentrons-nous sur le photon. Sa self-énergie 1PI $\mathrm{i}\tilde\Pi^{\mu\nu}(q)$ rassemble tous les diagrammes insérables dans une ligne de photon : le photon arrache des paires électron–positron au vide et les y rend. La resommation géométrique habituelle (Dyson, chapitre 33) donne le propagateur habillé. L’identité de Ward garantit $q_\nu\tilde\Pi^{\mu\nu} = 0$, donc la self-énergie a la structure tensorielle $\tilde\Pi^{\mu\nu}(q) = (q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu),\tilde\Pi(q)$, et la resommation se referme sur
$$\tilde D_{\mu\nu}(q) = \frac{-\mathrm{i},g_{\mu\nu}}{q^2\left[1 - \tilde\Pi(q)\right]}$$
(plus un terme en $q_\mu q_\nu$ qui, couplé à des courants conservés, ne contribue jamais). Le pôle reste en $q^2 = 0$ : le photon ne prend pas de masse, l’invariance de jauge y veille, et c’est la condition $\tilde\Pi(0) = 0$ (imposée par le contreterme $C$) qui l’exprime.
Où est la physique ? Chaque vertex apporte un facteur $|e_0|$ (charge nue). Empaquetons les deux facteurs qui encadrent chaque propagateur de photon :
$$\tilde D_{\mu\nu}(q) = \frac{-\mathrm{i} g_{\mu\nu}}{q^2}\left(\frac{e_0^2}{1 - [\tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0)]}\right).$$
La parenthèse se lit comme le carré d’une charge effective dépendant de l’impulsion :
$$|e(q)| = \frac{|e_0|}{\sqrt{1 - [\tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0)]}}.$$
La « constante » de couplage électromagnétique dépend du transfert d’impulsion du photon qui véhicule la force.
L’image physique est celle d’un diélectrique. Un diélectrique ordinaire se polarise autour d’une charge et l’écrante : de loin, on voit une charge affaiblie. Le vide de QED fait pareil : les paires virtuelles $e^+e^-$ se comportent comme des dipôles fugaces, orientés par le champ de la charge centrale, qui l’habillent d’un nuage d’écrantage. Sonder à grand $|q|$, c’est regarder de près, à l’intérieur du nuage : la charge apparente augmente. C’est la polarisation du vide.
Quantitativement, la boucle à un ordre (avec son contreterme) donne
$$\tilde\pi(q) - \tilde\pi(0) = -\frac{e_0^2}{2\pi^2}\int_0^1\mathrm{d} x,(x - x^2),\ln!\left(\frac{m^2}{m^2 - (x - x^2),q^2}\right),$$
et dans la limite statique ($q^2 = -\boldsymbol q^2$) à petit $|\boldsymbol q|$, le propagateur corrigé, transformé de Fourier inverse, livre le potentiel créé par un électron :
$$V(\boldsymbol r) = -\left{\frac{\alpha}{|\boldsymbol r|} + \frac{4\alpha^2}{15 m^2},\delta^{(3)}(\boldsymbol r)\right}.$$
Coulomb, plus une correction de contact (dans cette limite : la version exacte, le potentiel d’Uehling, est une correction à courte portée $\sim 1/m$) : l’écrantage ne se fait sentir que si l’on pénètre le nuage. Et ceci se mesure.
Dans l’hydrogène, seuls les états $l = 0$ ont $\psi(0) \neq 0$ et tâtent donc le terme de contact : l’orbitale $2S_{1/2}$ est déplacée, l’orbitale $2P_{1/2}$ ne l’est pas. Le calcul se mène jusqu’au bout sans difficulté.
Le terme de contact se traite en perturbation au premier ordre ; la distribution de Dirac ne laisse survivre que la valeur de la fonction d’onde à l’origine :
$$\Delta E = \left\langle -\frac{4\alpha^2}{15m^2},\delta^{(3)}(\boldsymbol r)\right\rangle = -\frac{4\alpha^2}{15m^2},|\psi(0)|^2.$$
Pour l’orbitale $2S$ de l’hydrogène, $|\psi_{2S}(0)|^2 = \dfrac{1}{8\pi a_0^3}$, et le rayon de Bohr vaut $a_0 = 1/(\alpha m)$ en unités naturelles, d’où $|\psi_{2S}(0)|^2 = \dfrac{\alpha^3m^3}{8\pi}$. En reportant, les puissances de $m$ se simplifient :
$$\Delta E = -\frac{4\alpha^2}{15m^2}\cdot\frac{\alpha^3m^3}{8\pi} = -\frac{\alpha^5,m}{30\pi}.$$
Un résultat d’ordre $\alpha^5,m c^2$ : la structure fine est en $\alpha^4 mc^2$, cet effet est donc plus petit d’un facteur $\alpha$, ce qui annonce déjà l’ordre de grandeur du mégahertz. Numériquement, avec $\alpha^5 = 2{,}069\times10^{-11}$ et $mc^2 = 511{,}0$ keV :
$$\Delta E = -1{,}122\times10^{-7}\ \mathrm{eV} \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta\nu = \frac{\Delta E}{h} = -27{,}1\ \mathrm{MHz}.$$
La polarisation du vide décale donc la transition $2S_{1/2} \to 2P_{1/2}$ de $-27$ MHz. C’est une petite partie du déplacement de Lamb total ($+1057$ MHz, dominé par la self-énergie de l’électron), et de signe opposé à l’ensemble ; mais c’est une partie calculée et vérifiée séparément. La mesure de Lamb et Retherford en 1947 fut l’événement qui convainquit les physiciens de prendre les photons virtuels au sérieux et déclencha la course à la renormalisation.
Branchons le groupe de renormalisation du chapitre 34. La fonction $\beta = \mu\frac{\mathrm{d}|e|}{\mathrm{d}\mu}$ se calcule en dérivant la charge courante à grand $\mu$ ($\mu \gg m$, où le logarithme de la boucle devient $\ln(\mu^2/m^2)$ à des constantes près) :
$$\beta = \mu\frac{\mathrm{d}|e|}{\mathrm{d}\mu} = +\frac{|e|^3}{12\pi^2}.$$
Le signe plus est l’information capitale : le couplage électromagnétique croît avec l’échelle d’énergie, c’est-à-dire quand on regarde de plus près. Cohérence parfaite avec l’image de l’écrantage : s’approcher de l’électron, c’est traverser le nuage de paires et voir la charge grossir.
Confrontons à l’expérience, mais soigneusement, car il y a un piège.
En intégrant la fonction $\beta$ ci-dessus, on obtient la forme la plus commode, qui est linéaire en $\ln\mu$ pour l’inverse du couplage :
$$\frac{1}{\alpha(\mu)} = \frac{1}{\alpha(m_e)} - \frac{2}{3\pi}\ln\frac{\mu}{m_e}.$$
Au pôle du $Z^0$, $\mu = M_Z = 91{,}19$ GeV, et $\ln(M_Z/m_e) = 12{,}09$, d’où
$$\frac{1}{\alpha(M_Z)} = 137{,}04 - \frac{2}{3\pi}\times 12{,}09 = 137{,}04 - 2{,}57 = 134{,}5.$$
Or la mesure donne $\alpha^{-1}(M_Z) \simeq 128{,}9$. L’écart est réel et n’est pas une imprécision : c’est un manque de physique.
La boucle d’électron n’est en effet pas la seule : toute particule chargée peut apparaître dans la boucle de polarisation du vide, à condition que l’énergie sondée dépasse le seuil de création de sa paire. Entre $m_e$ et $M_Z$, il faut donc ajouter le muon, le tau, et les cinq quarks accessibles (chacun comptant trois fois pour la couleur, et avec sa charge au carré). La fonction $\beta$ devient
$$\mu\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}\mu} = \frac{2\alpha^2}{3\pi}\sum_f N_c^{(f)},Q_f^2,$$
la somme portant sur les fermions déjà « allumés » à l’échelle $\mu$. On comprend alors que la fonction $\beta$ compte les degrés de liberté chargés de la théorie, et que sa mesure est une façon de les recenser.
Le résultat de la confrontation est le suivant. La boucle d’électron seule prédit $\alpha^{-1}(M_Z) = 134{,}5$ ; en ajoutant tous les leptons et quarks accessibles, on tombe sur la valeur mesurée au LEP par diffusion Bhabha, $\alpha^{-1}(M_Z) = 128{,}9$. Numériquement, la « constante » de structure fine passe donc de $1/137$ aux grandes distances à environ $1/129$ à l’échelle électrofaible : un effet de six pour cent, mesuré, et prédit à condition de compter correctement les particules.
Retenir le raisonnement, car il se retourne spectaculairement ailleurs. En chromodynamique quantique, les gluons portent eux-mêmes la charge de couleur, et leurs boucles contribuent à la fonction $\beta$ avec le signe moins, qui l’emporte : le couplage fort décroît à courte distance. C’est la liberté asymptotique (Gross, Politzer, Wilczek, Nobel 2004) : les quarks sont quasi libres au cœur du proton et inséparables de loin. Anti-écrantage : le vide de QCD se comporte comme un milieu paramagnétique plutôt que diélectrique. Même mathématique, physique inversée, et l’on comprend pourquoi le signe de $\beta$ est la première chose qu’on calcule dans une théorie de jauge.
Second grand résultat, côté vertex. La fonction de vertex complète $\tilde\Gamma^\mu(p, p’)$ se décompose, pour des raisons de symétrie (le photon a $J^P = 1^-$, et la paire $e^+e^-$ peut l’accommoder de deux façons, $L = 0$ ou $L = 2$ avec $S = 1$), en deux facteurs de forme :
$$\tilde\Gamma^\mu(p, p’) = \gamma^\mu,F_1(q) + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m},F_2(q), \qquad q = p’ - p, \quad \sigma^{\mu\nu} = \frac{\mathrm{i}}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu].$$
$F_1$ (facteur de forme de Dirac) est la transformée de Fourier de la distribution de charge, avec $F_1(0) = 1$ à tous les ordres (c’est la condition de renormalisation de la charge) ; $F_2$ (facteur de forme de Pauli) est la nouveauté, nulle à l’ordre le plus bas.
Le lien avec $g$ se fait en quatre pas, qu’on résume en gardant la logique et les jalons du calcul :
Pas I. On couple le vertex à un potentiel classique : $\mathrm{i}\mathcal M = -\mathrm{i} Q|e|,\bar u(p’)\tilde\Gamma^\mu u(p),\tilde A^{\mathrm{cl}}_\mu(q)$.
Pas II. On élimine le $\gamma^\mu$ du terme en $F_1$ grâce à la décomposition de Gordon (exercice 36.7) :
$$\bar u(p’)\gamma^\mu u(p) = \bar u(p’)\left[\frac{p’^\mu + p^\mu}{2m} + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}\right]u(p),$$
qui sépare proprement une partie « orbitale » (indépendante du spin, le courant de convection) et une partie de spin. En regroupant, la partie dépendante du spin de l’amplitude porte le facteur $F_1(q) + F_2(q)$.
Pas III. Limite non relativiste ($u(p) \approx \sqrt m\begin{pmatrix} \xi \ \xi \end{pmatrix}$, formes explicites de $\sigma^{\mu\nu}$) : la partie de spin devient, à $q \to 0$, proportionnelle à $\left[\xi’^\dagger\sigma^k\xi\right]\tilde B^k(\boldsymbol q),{1 + F_2(0)}$, où $\boldsymbol B = \boldsymbol\nabla\times\boldsymbol A$ apparaît via $\mathrm{i}\epsilon^{ijk}q^i\tilde A^{\mathrm{cl},j} = \tilde B^k$. L’extraction du potentiel par Born (en divisant par la normalisation relativiste $2m$) donne
$$V(\boldsymbol x) = -\frac{Q|e|}{m},{1 + F_2(0)},\langle\hat{\boldsymbol S}\rangle\cdot\boldsymbol B(\boldsymbol x),$$
et la comparaison avec $V = -g\frac{Q|e|}{2m}\langle\hat{\boldsymbol S}\rangle\cdot\boldsymbol B$ livre l’identification centrale :
$$g = 2\left[1 + F_2(0)\right].$$
Pas IV. Reste à calculer $F_2(0)$. Il n’y a rien à l’ordre le plus bas (le vertex nu est un pur $\gamma^\mu$, donc $F_2 = 0$), et rien à l’ordre suivant. La première contribution vient de l’ordre $e^3$, et d’un unique diagramme : l’électron émet un photon virtuel avant d’atteindre le vertex et le réabsorbe après, le photon d’interaction s’accrochant entre les deux. C’est le diagramme de Schwinger, et il fait l’objet de la section suivante.
Voici, à mon sens, le plus beau calcul de la partie. Rien n’y est nouveau : tout le matériel a été construit dans les chapitres précédents, à savoir les règles de Feynman de QED (chapitre 39), l’algèbre des matrices $\gamma$ et ses identités de contraction (chapitre 40), les paramètres de Feynman et le décalage d’impulsion (chapitre 32), et la décomposition de Gordon (chapitre 36). Et pourtant, au bout de l’assemblage, il sort un nombre pur, sans masse, sans coupure et sans logarithme, qui prédit une décimale mesurée. Voyons-le en cinq étapes.
On applique les règles de Feynman de QED en suivant la ligne fermionique à rebours de la flèche. En notant $k$ l’impulsion du fermion avant le vertex et $k’ = k + q$ après, le photon virtuel porte $p - k$ :
$$ \bar u(p’),\delta\Gamma^\mu,u(p) = \int!\frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4}; \frac{-\mathrm i g_{\nu\rho}}{(k-p)^2+\mathrm i\epsilon}; \bar u(p’),(-\mathrm ie\gamma^\nu), \frac{\mathrm i,(\gamma\cdot k’+m)}{k’^2-m^2+\mathrm i\epsilon}, \gamma^\mu, \frac{\mathrm i,(\gamma\cdot k+m)}{k^2-m^2+\mathrm i\epsilon}, (-\mathrm ie\gamma^\rho),u(p) $$
Trois propagateurs au dénominateur (deux fermions, un photon), deux vertex de plus qu’à l’arbre : c’est bien une correction d’ordre $e^2$ relative, donc $\alpha$.
L’indice $\nu$ du photon virtuel est contracté entre les deux extrémités de l’arc, ce qui prend en sandwich toute la chaîne. Les identités de contraction du chapitre 40 s’en chargent.
$$\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma_\nu = -2\gamma^\mu, \qquad \gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma_\nu = 4g^{\alpha\beta}, \qquad \gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\beta\gamma_\nu = -2\gamma^\beta\gamma^\mu\gamma^\alpha$$
Le numérateur à traiter est $\gamma^\nu(\gamma\cdot k’+m)\gamma^\mu(\gamma\cdot k+m)\gamma_\nu$. En développant le produit, quatre morceaux apparaissent :
En rassemblant, et en comptant les facteurs $\mathrm i$ des propagateurs et des vertex (soit $(-\mathrm i)\times(-\mathrm ie)^2\times\mathrm i^2 = -\mathrm ie^2$, multiplié par le $-2$ commun) :
$$ \bar u(p’),\delta\Gamma^\mu,u(p) = 2\mathrm ie^2!\int!\frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{\bar u(p’)\big[(\gamma\cdot k)\gamma^\mu(\gamma\cdot k’) + m^2\gamma^\mu - 2m(k+k’)^\mu\big]u(p)} {\big((k-p)^2+\mathrm i\epsilon\big)\big(k’^2-m^2+\mathrm i\epsilon\big)\big(k^2-m^2+\mathrm i\epsilon\big)} $$
Le numérateur ne contient plus que trois structures, et l’on notera déjà que la troisième, $(k+k’)^\mu$, n’a aucune matrice $\gamma$ : c’est elle qui alimentera $F_2$ après passage par Gordon.
Trois facteurs différents au dénominateur interdisent toute intégration. Le remède est celui du chapitre 32 : les paramètres de Feynman, qui les fusionnent en un seul au prix d’intégrales supplémentaires sur des variables auxiliaires.
L’identité à trois facteurs s’écrit
$$\frac{1}{ABC} = \int_0^1!\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz;\delta(x+y+z-1);\frac{2}{[xA+yB+zC]^3}$$
Avec $A = k^2-m^2$, $B = k’^2-m^2$ et $C = (k-p)^2$, le crochet devient, après regroupement,
$$k^2 + 2k\cdot(yq - zp) + yq^2 - (x+y-z)m^2$$
On complète alors le carré en posant
$$\boxed{\ \ell = k + yq - zp\ }$$
qui est le décalage d’impulsion : la variable d’intégration devient $\ell$, ce qui est licite puisque l’intégrale porte sur tout l’espace. Le dénominateur prend sa forme définitive, ne dépendant plus de $\ell$ que par $\ell^2$ :
$$\big[\ell^2 - \Delta\big]^3 \qquad\text{avec}\qquad \Delta = (1-z)^2m^2 - xy,q^2$$
en ayant utilisé $p^2 = p’^2 = m^2$ et $p\cdot q = -q^2/2$. Cette quantité $\Delta$ est positive et joue le rôle d’une masse effective : c’est elle qui apparaîtra au dénominateur du résultat final.
C’est l’étape décisive. Le décalage $k = \ell - yq + zp$ étant reporté dans le numérateur, celui-ci devient un polynôme en $\ell$, et il faut le ranger selon les deux structures autorisées par la symétrie, $\gamma^\mu$ et $\sigma^{\mu\nu}q_\nu$.
Trois simplifications font tout le travail :
Après le tri, le numérateur se met sous la forme
$$ \bar u(p’)\left[ \gamma^\mu\left(-\frac{\ell^2}{2} + (1-x)(1-y)q^2 + (1-2z-z^2)m^2\right)
Observons attentivement les deux coefficients, car toute la suite en découle. Le coefficient de $\gamma^\mu$ contient un terme en $\ell^2$ ; celui de $\sigma^{\mu\nu}q_\nu$ n’en contient aucun. Or c’est précisément le $\ell^2$ qui, intégré contre $1/(\ell^2-\Delta)^3$, produit une divergence logarithmique. La divergence est donc tout entière dans $F_1$, et $F_2$ est fini d’emblée.
Il ne reste qu’à intégrer, d’abord sur $\ell$, puis sur les paramètres de Feynman.
La partie $F_2$ n’ayant pas de $\ell$ au numérateur, une seule intégrale est nécessaire, et elle est convergente :
$$\int!\frac{\mathrm d^4\ell}{(2\pi)^4},\frac{1}{(\ell^2-\Delta)^3} = \frac{-\mathrm i}{32\pi^2,\Delta}$$
En rassemblant les préfacteurs ($2\mathrm ie^2$ de l’étape 2, le facteur 2 de l’identité de Feynman, et le $-\mathrm i/32\pi^2$ ci-dessus), on obtient
$$2\mathrm ie^2 \times 2 \times \frac{-\mathrm i}{32\pi^2} = \frac{e^2}{8\pi^2} = \frac{\alpha}{2\pi}$$
d’où le facteur de forme de Pauli à tout $q$ :
$$ F_2(q^2) = \frac{\alpha}{2\pi}\int_0^1!\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz;\delta(x+y+z-1);\frac{2m^2 z(1-z)}{(1-z)^2m^2 - xy,q^2} $$
Posons maintenant $q = 0$, puisque c’est le moment magnétique statique qui nous intéresse. Alors $\Delta = (1-z)^2m^2$, et une simplification spectaculaire se produit : le $m^2$ disparaît, et l’un des deux facteurs $(1-z)$ aussi.
$$F_2(0) = \frac{\alpha}{2\pi}\int!\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz;\delta(x+y+z-1);\frac{2z(1-z)}{(1-z)^2} = \frac{\alpha}{\pi}\int!\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz;\delta(x+y+z-1);\frac{z}{1-z}$$
La distribution $\delta$ sert à faire l’intégrale sur $x$ ; il reste $y$ à parcourir de $0$ à $1-z$, ce qui fournit exactement un facteur $(1-z)$ :
$$F_2(0) = \frac{\alpha}{\pi}\int_0^1!\mathrm dz;(1-z),\frac{z}{1-z} = \frac{\alpha}{\pi}\int_0^1 z,\mathrm dz$$
Le facteur $(1-z)$ gênant s’annule contre celui du volume d’intégration, et il ne reste que l’intégrale la plus simple des mathématiques.
Tout se referme sur $\int_0^1 z,\mathrm dz = \tfrac12$ :
$$F_2(0) = \frac{\alpha}{2\pi} \qquad\Longrightarrow\qquad g = 2\left(1 + \frac{\alpha}{2\pi} + \ldots\right) = 2{,}00232\ldots$$
Reprenons la mesure de ce qui vient d’être fait. Une intégrale sur quatre dimensions d’impulsion, un numérateur de seize termes matriciels, trois propagateurs, une divergence. Et au bout, $\int_0^1 z,\mathrm dz$. Aucun ingrédient nouveau n’a été introduit : les règles de Feynman, l’algèbre des $\gamma$, les paramètres de Feynman et la décomposition de Gordon suffisaient. C’est ce que la théorie quantique des champs a de plus convaincant : la machinerie, assemblée pièce par pièce et pour d’autres raisons, produit sans qu’on l’y invite un nombre que l’on peut aller vérifier au laboratoire.
L’accord avec l’expérience de l’époque valut à Schwinger une salve d’applaudissements spontanée au congrès de l’APS de 1948, et le $\frac{\alpha}{2\pi}$ est gravé sur sa tombe.
L’anomalie est définie par $a_e = (g-2)/2$. Le calcul ci-dessus donne
$$a_e^{(1)} = \frac{\alpha}{2\pi} = 1{,}161,410\times10^{-3}$$
alors que la mesure donne
$$a_e^{\text{mes}} = 1{,}159,652,181\times10^{-3}$$
Le premier terme seul est donc juste à 0,15 % près, ce qui est déjà remarquable pour un unique diagramme. L’écart résiduel est comblé par les ordres supérieurs, calculés jusqu’à $\alpha^5$ (des milliers de diagrammes), et l’accord final porte sur une dizaine de chiffres significatifs.
C’est ce qui fait de QED la théorie la plus précisément testée de toute la physique. Le cousin muonique $a_\mu$, plus sensible aux particules lourdes virtuelles puisque l’effet croît comme $m_\mu^2/M^2$, fait couler beaucoup d’encre comme sonde de physique au-delà du modèle standard.
Relisons enfin l’histoire complète du facteur $g$, car elle résume toute la partie précédente et celle-ci : Pauli le met à la main ($g = 2$ postulé) ; Dirac le déduit de la relativité ($g = 2$ exact, chapitre 36) ; le champ quantique le corrige ($g = 2 + \frac{\alpha}{\pi}$, parce que l’électron n’est jamais nu : il traîne son nuage de photons virtuels, qui participe au moment magnétique). Chaque étage de la théorie laisse son empreinte dans les décimales d’un seul nombre mesurable.
| Grandeur | Sans QED | Avec QED | Mesure |
|---|---|---|---|
| $g$ de l’électron | Dirac : exactement $2$ | $2\left(1+\dfrac{\alpha}{2\pi}+\ldots\right)$ | $2{,}002,319,304,362$ |
| $a_e = (g-2)/2$ | $0$ | $1{,}159,652,181\times10^{-3}$ (jusqu’à $\alpha^5$) | $1{,}159,652,181\times10^{-3}$ |
| Lamb : $2S_{1/2} - 2P_{1/2}$ | Dirac : $0$, les deux niveaux sont dégénérés | $+1058$ MHz, dont $-27$ MHz de polarisation du vide | $1057{,}8$ MHz |
| $\alpha^{-1}$ à l’échelle $M_Z$ | constante : $137{,}04$ | $128{,}9$ (toutes particules chargées) | $128{,}9 \pm 0{,}1$ |
Les trois lignes ne testent pas la même chose, et c’est ce qui rend le tableau instructif. Le $g$ de l’électron teste le vertex et la structure du couplage. Le déplacement de Lamb teste la self-énergie de l’électron (pour l’essentiel) et la polarisation du vide (pour la petite part calculée ici), avec la particularité de porter sur une dégénérescence que la théorie de Dirac prédisait exacte : sans champ quantifié, l’effet serait rigoureusement nul. Et la course de $\alpha$ teste le groupe de renormalisation lui-même, en vérifiant qu’une constante fondamentale n’en est pas une.
$$\tilde\Pi^{\mu\nu} = (q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)\tilde\Pi ;\Rightarrow; \tilde D = \frac{-\mathrm{i} g_{\mu\nu}}{q^2(1 - \tilde\Pi)} ;\Rightarrow; e(q) ;\Rightarrow; \text{Lamb},\ \alpha(M_Z)$$
$$\tilde\Gamma^\mu = \gamma^\mu F_1 + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}F_2 ;\Rightarrow; g = 2[1+F_2(0)] ;\Rightarrow; F_2(0) = \frac{\alpha}{\pi}\int_0^1 z,\mathrm dz = \frac{\alpha}{2\pi}$$ \nearrow,\ \beta = +\frac{e^3}{12\pi^2} ;\Rightarrow; \text{Lamb } (-27\ \mathrm{MHz}) ;\Big/; \tilde\Gamma^\mu = \gamma^\mu F_1 + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}F_2 ;\Rightarrow; g = 2\left(1 + \frac{\alpha}{2\pi}\right)$$
Et maintenant ? Nous possédons la théorie quantique des champs de l’électromagnétisme et de la matière chargée, renormalisée et confrontée à l’expérience. La partie suivante la fait travailler là où elle est née une seconde fois : la matière condensée, avec les superfluides, les supraconducteurs et les transitions de phase quantiques, où les mêmes idées (brisure de symétrie, champs de jauge, écrantage) prennent des visages nouveaux et mesurables au laboratoire.