Théorie quantique des champs – Partie 4

La théorie quantique des champs décrit un monde où des particules indistinguables peuvent être créées ou détruites lors d’interactions, entre elles ou avec des entités extérieures. L’idée directrice consiste à voir les particules comme de simples excitations de champs quantiques, obtenus en quantifiant leurs alter ego classiques.

Cette partie est celle où l’on apprend à faire tourner la machine. Elle a la forme d’une recette suivie de quatre exemples, et il serait tentant de la lire comme un catalogue. Ce serait dommage, car les quatre exemples racontent une progression : chacun naît d’un manque du précédent.

Le fil de cette partie :

• Le champ scalaire réel nous sert de laboratoire pour roder la recette. Il livre une théorie parfaitement satisfaisante, mais dans laquelle chaque particule est sa propre antiparticule, et donc dans laquelle aucune charge n'a de sens.
• Le champ scalaire complexe répond à ce manque. Sa symétrie interne fournit une charge conservée, et cette charge exige que les particules aillent par paires de signes opposés : les antiparticules apparaissent.
• Sa limite non relativiste montre le prix à payer quand on renonce à la covariance, et offre en récompense la relation d'incertitude nombre-phase, qui est le socle de toute la physique de la matière condensée cohérente.
• Le champ à plusieurs composantes généralise l'idée de charge : si une symétrie interne à un paramètre donne une charge, une symétrie à trois paramètres donne trois charges, et ces trois charges sont l'isospin.
• Le champ vectoriel massif ajoute la dernière nouveauté de la partie : des composantes internes qui ne vivent plus dans un espace abstrait mais dans l'espace de Minkowski lui-même. Ce sont les polarisations.

La recette de la quantification canonique des champs

Pour obtenir une théorie quantique des champs à partir d’une théorie des champs classique, on suit toujours la même méthode :

L’étape 4 est la seule qui ne soit pas garantie de fonctionner. Décomposer en modes d’impulsion, c’est diagonaliser l’hamiltonien, et cela ne réussit que si celui-ci est quadratique en les champs et leurs dérivées. Les termes de couplage, eux, mélangent les modes et ruinent la diagonalisation.

Champ scalaire réel : le laboratoire

Étapes 1 et 2 : du lagrangien à l’hamiltonien

Le lagrangien le plus simple qu’on puisse écrire pour un champ à une seule composante réelle est :

La densité d’impulsion conjuguée se calcule comme en mécanique analytique, en dérivant par rapport à la vitesse généralisée :

Ici, cela donne $\Pi^\mu(x)=\partial^\mu \phi(x)$, dont la composante temporelle $\Pi^0(x)=\pi(x)=\partial^0 \phi(x)$ est celle qui jouera le rôle de l’impulsion (on utilise la métrique $(+,-,-,-)$).

L’hamiltonien s’obtient alors par la transformation de Legendre habituelle :

On obtient :

Cet hamiltonien est très mignon, et surtout très parlant. Ses trois termes sont trois façons de payer de l’énergie :

• le premier est le coût d'une variation temporelle du champ, l'analogue exact de l'énergie cinétique ;
• le deuxième est le coût d'une variation spatiale, celui qui pénalise les champs bosselés et qui assure que l'excitation se propage au lieu de rester sur place ;
• le troisième est le coût d'avoir un champ plutôt que rien, et c'est lui que l'on appelle le terme de masse.

Le terme de masse est le seul des trois qui ne contienne aucune dérivée. C’est exactement pour cette raison qu’il pénalise l’amplitude du champ en elle-même, et donc que $m$ finira par apparaître comme le seuil d’énergie en dessous duquel aucune excitation n’existe.

Étape 3 : le passage au quantique

On promeut les champs en opérateurs : $\phi(x) \rightarrow \hat{\phi}(x)$ et $\Pi^0(x) \rightarrow \hat{\Pi}^0(x)$. Puis, pour les rendre quantiques, on leur impose des relations de commutation.

En mécanique quantique à une particule, on a $[\hat{x}, \hat{p}]=\mathrm{i} \hbar$. Par analogie, on définit le commutateur à temps égaux pour les opérateurs champ :

Les autres commutateurs sont nuls : $[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]=\left[\hat{\Pi}^0(x), \hat{\Pi}^0(y)\right]=0$.

La distribution de Dirac qui apparaît à droite nous dit que le champ en un point et l’impulsion en un autre point commutent, c’est-à-dire que ce sont des degrés de liberté indépendants. Autrement dit, on vient de poser qu’un champ est un oscillateur quantique par point de l’espace, chacun ignorant les autres au moment de la quantification. Le couplage entre ces oscillateurs ne viendra pas des commutateurs mais du terme de gradient de l’hamiltonien.

Remarquons aussi que la relation est imposée à temps égaux. Cette restriction n’est pas un détail technique : exiger la même chose à des temps différents entrerait en conflit avec la causalité relativiste, et c’est en explorant les commutateurs à temps différents qu’on découvre plus tard les propagateurs.

Exprimée à partir de ces opérateurs, la densité hamiltonienne $\mathcal{H}$ se mue en opérateur $\hat{\mathcal{H}}$ agissant sur les vecteurs d’état. Mais nous voici bloqués : on ne sait pas comment un opérateur comme $\hat{\phi}(x)$ agit sur un état nombre d’occupation $|n_1n_2n_3\ldots\rangle$. Par contre, on sait parfaitement comment les opérateurs de création et d’annihilation, eux, agissent sur ces vecteurs. D’où l’étape suivante.

Étape 4 : la décomposition en modes

Revenons au premier chapitre, au moment d’évoquer les oscillateurs couplés. En combinant la décomposition en modes de Fourier de $x_j$, soit $x_j=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k \tilde{x}_k \mathrm{e}^{\mathrm{i}kj a}$, avec l’écriture de l’opérateur correspondant à un de ces modes en fonction des opérateurs de création et d’annihilation, soit $\hat{\tilde{x}}_k=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega_k}}\left(\hat{a}_k+\hat{a}_{-k}^{\dagger}\right)$, on obtenait :

Le passage au champ continu consiste à remplacer l’indice discret $j$ par la variable continue $\boldsymbol{x}$, et la somme sur les modes par une intégrale. On écrit donc la version continue de cet opérateur :

où on est passé de $\boldsymbol{k}$ à $\boldsymbol{p}$ pour les moments, et de $\omega_{\boldsymbol{k}}$ à $E_\boldsymbol{p}=\left(\boldsymbol{p}^2+m^2\right)^{\frac{1}{2}}$ pour l’énergie. Comme dans le cas discret, les opérateurs de création et d’annihilation obéissent à $\left[\hat{a}_{\boldsymbol{p}}, \hat{a}_{\boldsymbol{q}}^{\dagger}\right]=\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})$.

Il reste à donner une dépendance temporelle à notre champ, autrement dit à le rendre dynamique. Appliquons pour cela la méthode de Heisenberg :

Seuls les opérateurs de création et d’annihilation sont affectés par l’opérateur d’évolution $\hat{U}(t, 0)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t}$ :

Au final, la décomposition en modes du champ scalaire est donnée par :

Le champ, objet a priori mystérieux, s’est dissous en une superposition d’oscillateurs indépendants, un par impulsion. Chaque oscillateur contribue par deux termes, l’un qui détruit une excitation et l’autre qui en crée une. La racine de $E_{\boldsymbol{p}}$ au dénominateur assure la compatibilité avec le commutateur imposé à l’étape 3, comme le montre la vérification suivante.

La décomposition du champ nous offre en prime celle de sa densité d’impulsion, puisque $\Pi^\mu(x)=\partial^\mu \phi(x)$.

Une énergie du vide infinie

Au tour de l’hamiltonien de subir la quantification. Il suffit d’y substituer la décomposition en modes de $\hat{\phi}(x)$, ce qui est laborieux mais sans surprise.

On obtient :

Le premier terme est exactement ce qu’on espérait : une énergie $E_{\boldsymbol{p}}$ par excitation présente. Le second, lui, ne dépend d’aucun état et vaut donc même dans le vide :

Une énergie infinie pour le vide 😱
Séparons les deux infinis différents qui se cachent dans cette expression :

• le facteur $\delta^{(3)}(0)$ vaut $\frac{V}{(2\pi)^3}$, où $V$ est le volume de l'espace. Il diverge parce qu'on a pris un volume infini, et il disparaît dès qu'on raisonne en densité d'énergie plutôt qu'en énergie ;
• l'intégrale $\int \mathrm{d}^3 p \, E_{\boldsymbol{p}}$ diverge, elle, parce qu'on somme les demi-énergies de point zéro d'une infinité de modes de plus en plus énergétiques. C'est une divergence de courtes longueurs d'onde, et c'est la première rencontre avec ce qu'on appellera plus tard une divergence ultraviolette.

Rien de tout cela n’est alarmant si l’on se souvient que seul le mesurable nous intéresse. Or on ne mesure jamais que des différences d’énergie, et ces différences ont le bon goût de faire disparaître ce terme constant. L’infini obtenu ne signale finalement qu’une mauvaise définition du niveau zéro.

Malgré tout, ces infinis qui traînent partout, cela fait désordre. En ordonnant savamment les opérateurs, on va pouvoir les glisser discrètement sous le tapis.

Étape 5 : l’ordre normal

L’ordre normal consiste simplement à placer tous les opérateurs de création à gauche.

C’est sans douleur pour les champs de Bose, mais pour ceux de Fermi, on doit multiplier par un terme $(-1)^P$ où $P$ est le nombre de permutations nécessaires pour obtenir l’ordre normal.

L’ordre normal n’est pas une astuce de calcul, c’est une prescription : on décide que l’hamiltonien de la théorie est $N[\hat{H}]$ plutôt que $\hat{H}$, ce qui revient à recaler le zéro d’énergie. C’est légitime précisément parce que le terme retiré est une constante, indépendante de l’état.

Appliquons-la :

D’où :

$\hat{n}_{\boldsymbol{p}}=\hat{a}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger} \hat{a}_{\boldsymbol{p}}$ est l’opérateur nombre : il compte les excitations présentes dans le mode d’impulsion $\boldsymbol{p}$.

Le niveau zéro a maintenant une énergie bien mieux définie :

On retrouve ainsi le même hamiltonien que pour des particules indépendantes ! Les états d’excitation du champ peuvent être vus comme des particules d’impulsion quantifiée. Ce sont des bosons de spin $S=0$, ce qui correspond bien à un champ scalaire.

Ce que raconte la décomposition en modes

Regardons ce qu’il advient lorsqu’on fait agir l’opérateur champ sur le vide. Comme $\hat{a}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}|0\rangle=|\boldsymbol{p}\rangle$ et que le terme d’annihilation ne survit pas, on a :

Le champ appliqué au vide fabrique donc une superposition de modes sortants, ce qui est déjà une information physique : $\hat{\phi}(x)$ est l’opérateur qui crée une particule en un point de l’espace-temps, et cette particule localisée est nécessairement une superposition d’impulsions.

Généralisons maintenant un peu la décomposition en modes, en autorisant les deux termes à porter des opérateurs distincts, $\hat{a}_{\boldsymbol{p}}$ et $\hat{b}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}$ :

Cette écriture est celle qui colle à l’interprétation de Feynman des solutions d’énergie négative :

Pour que cette lecture tienne, il faut que $\hat{a}_{\boldsymbol{p}}$ annihile les particules et $\hat{a}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}$ les crée, tandis que $\hat{b}_{\boldsymbol{p}}$ annihile les antiparticules et $\hat{b}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}$ les crée. Dans les deux cas, l’énergie vaut $E_{\boldsymbol{p}}=+\left(\boldsymbol{p}^2+m^2\right)^{\frac{1}{2}}$ : personne ne porte d’énergie négative, et c’est tout l’intérêt de la manœuvre. Ce qui portait le signe moins, c’est la fréquence de l’exponentielle, pas l’énergie de l’état.

Mais dans le cas du champ scalaire réel, l’opérateur $\hat{\phi}$ doit être hermitien, ce qui force $\hat{b}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}=\hat{a}_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}$. Autrement dit, chaque particule est ici sa propre antiparticule, et la distinction que nous venons d’introduire s’effondre.

Voilà donc le manque qui va faire avancer l’histoire. Pour que particules et antiparticules soient réellement deux espèces différentes, il faut quelque chose qui les distingue, c’est-à-dire une grandeur conservée qu’elles portent avec des signes opposés. Il nous faut une charge, et pour cela il nous faut un champ qui ait une symétrie interne à offrir au théorème de Noether. Le champ scalaire réel, avec son unique composante, n’en a aucune.

Champ scalaire complexe : pour avoir une charge

Étape 1 : deux composantes, une phase

La façon la plus économique de se donner une symétrie interne consiste à prendre deux champs scalaires réels de même masse. Leur lagrangien n’est que la somme des deux :

L’égalité des deux masses est la clé de tout : c’est elle qui rend le lagrangien insensible aux rotations dans le plan $(\phi_1, \phi_2)$. Or une rotation dans un plan s’écrit plus commodément comme une multiplication par une phase, ce qui invite à regrouper les deux champs réels en un seul champ complexe :

On obtient alors quasiment le lagrangien du champ scalaire réel, mais débarrassé des facteurs $\frac{1}{2}$ :

Nous n’avons ajouté aucune physique, seulement changé de variables : $(\phi_1,\phi_2)$ et $(\psi,\psi^\dagger)$ décrivent le même système. Mais les nouvelles variables rendent la symétrie manifeste, et une symétrie manifeste est une charge conservée qu’on peut cueillir.

Étapes 2 à 5 : la recette, sans surprise

Chaque composante $\sigma$ du champ ($\sigma=\psi$ ou $\psi^\dagger$) possède sa propre densité d’impulsion, et l’on remarquera qu’elles sont croisées :

La densité hamiltonienne s’obtient en sommant sur les deux composantes, $\mathcal{H} =\sum_\sigma \Pi_\sigma^0(x) \partial_0 \psi^\sigma(x)-\mathcal{L}$, ce qui donne après simplification :

On y retrouve les trois mêmes coûts énergétiques que pour le champ réel, à ceci près que les carrés sont devenus des modules.

On promeut ensuite les champs au rang d’opérateurs et on impose les commutateurs à temps égaux :

Tous les autres commutateurs sont nuls. La décomposition en modes vient alors sans effort :

Cette fois, rien ne force $\hat{b}$ à coïncider avec $\hat{a}$, car $\hat\psi$ n’est plus hermitien. Les opérateurs $\hat{a}_{\boldsymbol{p}}$ et $\hat{b}_{\boldsymbol{p}}$ annihilent donc deux types réellement distincts de particules, avec $\left[\hat{a}_{\boldsymbol{p}}, \hat{a}_{\boldsymbol{q}}^{\dagger}\right]=\left[\hat{b}_{\boldsymbol{p}}, \hat{b}_{\boldsymbol{q}}^{\dagger}\right]=\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})$, toute autre combinaison étant nulle.

En substituant dans l’hamiltonien et en ordonnant les opérateurs, on obtient :

Les particules $a$ et $b$ ont donc exactement la même énergie $E_\boldsymbol{p}$, et donc la même masse. Ce sont deux espèces distinctes mais indiscernables par l’hamiltonien, ce qui est la signature d’une paire particule-antiparticule. Il reste à trouver ce qui les distingue, et c’est le travail de Noether.

La charge de Noether, ou pourquoi les antiparticules existent

Le champ scalaire complexe possède une symétrie interne $U(1)$, puisque les transformations globales suivantes laissent le lagrangien inchangé :

Le mot « interne » signifie que la transformation ne touche pas au point $x$ de l’espace-temps : elle tourne le champ sur lui-même. Le mot « globale » signifie que $\alpha$ est la même partout.

Pour appliquer le théorème de Noether, on passe aux transformations infinitésimales :

Comme $D\mathcal L=\partial_\mu W^\mu$, cela implique ici $W^\mu = 0$, ce qui vaut pour toutes les symétries internes : par définition, elles ne modifient pas le lagrangien, pas même d’une divergence totale.

Le courant de Noether est alors donné par $J_{\mathrm{N}}^\mu=\sum_\sigma \Pi_\sigma^\mu D \sigma$ (avec $\sigma=\psi$ ou $\psi^\dagger$) :

La charge conservée correspondante est l’intégrale de la composante temporelle du courant :

La charge conservée est donc la différence entre le nombre d’antiparticules et le nombre de particules ! Chacune des deux espèces porte une charge de Noether de signe opposé, et c’est précisément cela qui les distingue enfin.

Inversons le raisonnement. Si une théorie possède une charge conservée, alors les processus autorisés ne peuvent pas créer une particule seule : il faut créer simultanément quelque chose qui porte la charge opposée. L’existence des antiparticules n’est donc pas un supplément exotique ajouté à la main, elle est impliquée par la conservation de la charge.

Une dernière précaution de vocabulaire. Si $J^\mu_N$ est conservé, il en est de même de $-J^\mu_N$ : le choix de l’espèce qui porte la charge positive est arbitraire. Par convention, le courant nombre de particules $\hat{J}^\mu_{Nc}$ (« c » pour conventionnel) est défini positivement pour les particules et négativement pour les antiparticules. On pose donc $\hat{J}_{\mathrm{Nc}}^\mu=-N\left[\hat{J}_{\mathrm{N}}^\mu\right]$ et $\hat{Q}_{\mathrm{Nc}}=-N\left[\hat{Q}_{\mathrm{N}}\right]$, pour aboutir à :

Limite non relativiste : le prix de la covariance

Le champ scalaire complexe a un autre mérite : il permet de voir comment une théorie relativiste redevient une théorie de Schrödinger, et surtout ce qu’elle perd en route.

Dans le domaine non relativiste, les énergies d’excitation sont infimes devant l’énergie de masse : $E=mc^2+\varepsilon$ avec $\varepsilon\ll mc^2$. La stratégie consiste à factoriser explicitement le “gros” terme, celui qui oscille très vite, pour ne garder que la partie lente :

Faisons la même chose sur le lagrangien plutôt que sur l’équation, ce qui est plus puissant puisque cela nous donnera aussi les interactions. On pose (en unités naturelles) $\psi=\frac{1}{\sqrt{2 m}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} m t} \Psi$, où $1/\sqrt{2m}$ est un facteur de normalisation qui rendra le résultat élégant, et l’on part du lagrangien avec une interaction de contact :

Le terme temporel donne :

Le premier terme, en $1/m$, est négligeable devant les autres, et le troisième se télescope avec le terme de masse du lagrangien. Toute la dynamique de la théorie s’est donc réfugiée dans le deuxième terme, celui qui ne contient qu’une seule dérivée temporelle.

Reste une subtilité de signe. En décomposant en ondes planes $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}p\cdot x}$, la dérivée temporelle de $\Psi$ apporte un facteur $-\mathrm{i}E_\boldsymbol{p}$ et celle de $\Psi^\dagger$ un facteur $+\mathrm{i}E_\boldsymbol{p}$ ; les deux morceaux de la parenthèse sont alors égaux, et $(\Psi^{\dagger} \partial_0 \Psi-\Psi \partial_0 \Psi^{\dagger})$ peut être remplacé par $2 \Psi^{\dagger} \partial_0 \Psi$. On aurait tout aussi bien pu choisir la décomposition en $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}p\cdot x}$ et obtenir $-2 \Psi^{\dagger} \partial_0 \Psi$. C’est donc nous qui décidons ici de favoriser la matière au détriment de l’antimatière.

On obtient au final :

Ce lagrangien est celui de la matière condensée. Il contient une seule dérivée en temps contre deux en espace : l’asymétrie que nous avons injectée en choisissant la matière lui a fait perdre sa belle covariance relativiste. Ce n’est pas un défaut, c’est le contenu physique de l’approximation : dans un monde où l’on ne crée jamais de paires, il n’y a plus de raison que le temps et l’espace se ressemblent.

La relation nombre-phase

Le champ scalaire complexe non relativiste conserve sa symétrie $U(1)$, ce qui autorise un autre jeu de variables, particulièrement adapté aux systèmes cohérents : l’amplitude et la phase.

Nous sommes ainsi passés des deux champs $\phi_1(x)$ et $\phi_2(x)$ aux deux nouveaux champs $\rho(x)$ et $\theta(x)$, et la transformation de $U(1)$ s’écrit maintenant de la façon la plus simple imaginable : $\theta\rightarrow\theta+\alpha$. C’est une translation de la phase, et $\rho$ n’y participe pas.

Étape 1 : en substituant dans le lagrangien, on obtient :

Le premier terme est une dérivée totale en temps : il ne contribue pas aux équations du mouvement et l’on peut l’oublier sans dommage. C’est d’ailleurs pourquoi la densité d’impulsion conjuguée à $\rho$, que nous allons trouver constante, est sans conséquence physique.

Éteignons maintenant les interactions ($g=0$) pour aller au résultat.

Étape 2 : les densités d’impulsion sont :

La seconde ligne nous dit que la densité d’impulsion conjuguée à la phase est la densité de particules. Le couple canonique de cette théorie n’est donc pas position-impulsion, c’est phase-densité.

Étape 3 : on impose alors les relations de commutation habituelles à ce couple :

La composante temporelle du courant conservé étant $\rho(x)$, on définit le nombre total de particules comme $\hat{N}(t)=\int\mathrm{d}^3x\,\hat{\rho}(\boldsymbol{x},t)$. En intégrant la relation de commutation sur tout l’espace, la distribution de Dirac se consomme et il reste :

C’est la relation d’incertitude nombre-phase. Elle dit que le nombre d’excitations d’un champ et sa phase sont deux observables conjuguées, exactement comme la position et l’impulsion d’une particule : on ne peut pas connaître précisément les deux à la fois. Un état de nombre de particules bien défini a une phase totalement indéterminée, et un état de phase bien définie, comme un condensat ou un supraconducteur, n’a pas de nombre de particules bien défini.

Champ à plusieurs composantes : généraliser la charge

Symétries internes et isospin

Le champ scalaire complexe nous a appris qu’une symétrie interne à un paramètre donne une charge conservée. La question suivante s’impose : que donne une symétrie à plusieurs paramètres ?

Partons d’une observation physique. Il est tentant de considérer que des particules qui se ressemblent beaucoup, comme le neutron et le proton, sont en fait une seule et même particule munie d’un curseur interne permettant de passer d’une forme à l’autre. L’invariance du lagrangien par rapport à ce curseur est alors décrite par une symétrie interne, sans rapport évident avec les symétries de l’espace-temps.

L’isospin est exactement ce curseur. Le proton et le neutron ont tous les deux un isospin $I=\frac{1}{2}$, avec, comme pour le spin conventionnel, deux valeurs propres possibles de l’opérateur $\hat{I}_z$ : $I_z=+1/2$ pour le proton et $I_z=-1/2$ pour le neutron. Par analogie avec le moment cinétique, on assemble proton et neutron dans un objet à deux composantes $\binom{p}{n}$, le doublet d’isospin, et on le fait tourner avec les mêmes matrices que celles qui font tourner les spins $\frac{1}{2}$. Remarquons tout de suite que cette symétrie n’est qu’approximative, puisqu’on n’a pas exactement $m_p=m_n$ : c’est le même mécanisme qu’au paragraphe précédent, où l’égalité des masses de $\phi_1$ et $\phi_2$ était la condition de la symétrie.

Pour explorer l’idée, prenons trois particules scalaires $t$, $d$ et $h$ rangées dans un vecteur $(t,d,h)^t$ doté d’une symétrie $SO(3)$. Tourner le curseur interne de 90° autour de l’axe $h$ transforme une particule $t$, soit $(1,0,0)^t$, en une particule $d$, soit $(0,1,0)^t$. Et comme la symétrie est exacte, toute superposition obtenue en tournant le curseur est un état aussi légitime que les trois particules d’origine.

Comme les particules sont des excitations du champ, on doit pouvoir étudier l’isospin en théorie des champs. On range donc les champs responsables de ces particules dans un vecteur $(\phi_1,\phi_2,\phi_3)^t$, et une rotation interne transforme $\phi_1$ en $\phi_2$ en tournant autour de l’axe correspondant à $\phi_3$. Si le lagrangien est invariant sous ces rotations, le théorème de Noether va nous offrir une loi de conservation.

Application de la recette

Étape 1 : posons $ \boldsymbol{\Phi}(x)=\left(\begin{array}{l} \phi_1(x) \\ \phi_2(x) \\ \phi_3(x) \end{array}\right) $

Le lagrangien libre de cette théorie s’écrit :

et n’est que l’écriture contractée de la somme des lagrangiens de chaque champ :

On notera que les trois champs ont la même masse $m$, ce qui est encore une fois la condition de la symétrie.

Notre exemple possédant une symétrie $SO(3)$, on peut transformer $\boldsymbol{\Phi}$ en $\boldsymbol{\Phi’}$ avec une matrice de rotation tridimensionnelle sans modifier le lagrangien :

Étape 2 : la densité hamiltonienne est la somme de trois copies de celle du champ scalaire réel :

Étape 3 : les relations de commutation à temps égaux acquièrent un Kronecker :

Ce Kronecker fait en sorte que les seules valeurs non nulles correspondent au commutateur entre une composante de $\boldsymbol{\Phi}$ et la même composante de sa densité d’impulsion. C’est la traduction, dans l’espace interne, de ce que $\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$ disait déjà dans l’espace ordinaire : les degrés de liberté sont indépendants.

Étape 4 : la décomposition en modes se fait composante par composante, avec des opérateurs de création et d’annihilation distincts pour chacune :

où les $\hat{a}_{\boldsymbol{p} \alpha}$ sont les opérateurs d’annihilation du champ $\alpha$, avec $\left[\hat{a}_{\boldsymbol{p} \alpha}, \hat{a}_{\boldsymbol{q} \beta}^{\dagger}\right]=\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \delta_{\alpha \beta}$.

Compactons cette expression en faisant apparaître explicitement la direction interne de chaque terme :

où $\boldsymbol{h}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\0\end{array}\right)$, $\boldsymbol{h}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\1 \\0\end{array}\right)$ et $\boldsymbol{h}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\1\end{array}\right)$ nous renseignent sur la polarisation du champ dans l’espace interne. Retenons bien ce mot, car la dernière section de cette partie va lui donner un sens beaucoup plus riche.

Étape 5 : en substituant dans l’hamiltonien puis en réordonnant, on obtient :

Moralité, on somme maintenant à la fois sur toutes les impulsions et sur toutes les polarisations.

Les trois charges sont l’isospin

Penchons-nous enfin sur les charges conservées, en partant de l’invariance du lagrangien sous les transformations $\boldsymbol{\Phi} \rightarrow \boldsymbol{\Phi} - \boldsymbol{\theta} \times \boldsymbol{\Phi}$. Le vecteur $\boldsymbol{\theta}$ ayant trois composantes, nous attendons désormais trois charges conservées et non plus une seule.

Prenons l’exemple d’une rotation autour de l’axe $\phi_3$. On a $\Phi^a \rightarrow \Phi^a-\varepsilon^{a 3 c} \theta^3 \Phi^c$, d’où $D^3\phi^1 = \phi^2$, $D^3\phi^2 = -\phi^1$ et $D^3\phi^3 = 0$, en notant $D^b\phi^a$ la variation de $\phi^a$ sous la rotation autour de l’axe $b$. La composante alignée sur l’axe de rotation ne bouge pas, comme il se doit.

Pour toute symétrie interne, $D\mathcal{L}=0$ et donc $W^\mu = 0$. Le courant de Noether associé aux rotations autour de l’axe 3 est alors :

Cette expression a exactement la forme du courant du champ scalaire complexe rencontré plus haut, ce qui n’est pas un hasard : une rotation autour de l’axe 3 n’est rien d’autre qu’une transformation $U(1)$ agissant sur la combinaison complexe $\phi^1 + \mathrm{i}\phi^2$.

En injectant les décompositions en modes, puis en appliquant l’inversion de signe conventionnelle et l’ordre normal, on obtient :

Cet opérateur ne compte pas des particules, il en convertit : il détruit une excitation de type 2 pour en créer une de type 1, et réciproquement. Les deux autres axes donnent des formules analogues, et l’on peut tout rassembler :

Cette charge conservée à trois composantes est l’isospin ! Le produit vectoriel de la première formule est la signature du moment cinétique, et c’est bien pourquoi l’isospin se manipule avec les mêmes règles que le spin, sans avoir le moindre rapport avec une rotation dans l’espace physique.

Champ vectoriel massif : quand les composantes vivent dans Minkowski

L’équation de Proca et le compte des polarisations

Il reste une nouveauté à introduire, et c’est la plus subtile de la partie. Jusqu’ici, les composantes internes de nos champs vivaient dans un espace abstrait, sans lien avec l’espace-temps. Que se passe-t-il si les composantes sont des directions de l’espace-temps ?

Prenons le lagrangien de l’électromagnétisme, $-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$ avec $F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$, et ajoutons-lui un terme de masse à la Klein–Gordon :

Ce lagrangien décrit un champ dont les excitations sont des bosons vectoriels de spin 1. Ses équations du mouvement s’obtiennent par les équations d’Euler–Lagrange :

C’est l’équation de Proca.

Elle contient une contrainte cachée qu’un seul calcul révèle. Dérivons-la une fois de plus et contractons : par antisymétrie de $F^{\mu\nu}$, on a $\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu \nu}=0$, et il ne reste que $m^2 \partial_\nu A^\nu=0$. Comme $m\neq 0$, le champ est nécessairement à divergence nulle :

Ce résultat demande beaucoup de précaution, car il ressemble à s’y tromper à la condition de jauge de Lorenz de l’électromagnétisme, et ce n’est pas du tout la même chose. En électromagnétisme, $\partial_\mu A^\mu=0$ est un choix que l’on s’autorise grâce à l’invariance de jauge. Ici, le terme de masse $m^2A_\mu A^\mu$ brise cette invariance, il n’y a donc plus aucune liberté de jauge à exploiter : la condition est imposée par les équations du mouvement.

Le champ se décomposant en ondes planes, on peut aussi écrire cette contrainte sous la forme $p_\mu A^\mu = 0$. Elle relie une composante aux trois autres, et le champ n’aura donc que 3 degrés de liberté de polarisation au lieu de 4. C’est exactement le compte attendu pour une particule massive de spin 1, dont la projection du spin peut valoir $-1$, $0$ ou $+1$.

Les vecteurs de polarisation

Comme dans le cas du champ $\boldsymbol{\Phi}$ à symétrie $SO(3)$, la décomposition en modes va demander des opérateurs de création et d’annihilation séparés pour chaque polarisation. Mais il y a désormais une nouveauté : chacun de ces opérateurs doit être multiplié par un vecteur polarisation $\epsilon^\mu_\lambda(p)$ qui vit dans l’espace de Minkowski, et dont les composantes dépendent de l’impulsion de la particule considérée.

Cette formule compacte cache trois indices de nature différente, et c’est la source de toutes les confusions : $\mu$ repère la composante d’espace-temps du champ, $\lambda$ numérote les trois polarisations indépendantes, et $\boldsymbol{p}$ étiquette le mode. Développée, elle contiendrait douze termes, chacun portant un vecteur à quatre composantes ; l’écriture ci-dessus dit exactement la même chose sans la calligraphie.

La contrainte $p_\mu A^\mu=0$ devient alors $p_\mu \epsilon_\lambda^\mu(p)=0$, ce qui montre bien pourquoi les vecteurs polarisation dépendent de l’impulsion : leur rôle est de rendre le champ $A^\mu$ orthogonal à $p^\mu$, et cette orthogonalité se juge au sens du produit scalaire de Minkowski.

La forme diagonalisée de l’hamiltonien, elle, ne réserve aucune surprise :

C’est l’énergie de toutes les particules, dans toutes les polarisations, exactement comme pour le triplet à symétrie interne. La différence entre les deux cas n’est pas dans l’hamiltonien mais dans la nature de l’indice de polarisation : interne et insensible aux boosts pour $\boldsymbol{\Phi}$, minkowskien et remodelé par les boosts pour $A^\mu$.

Où en sommes-nous ?

Récapitulons ce que la recette a produit, et ce qu’elle n’a pas encore produit.

Nous savons désormais quantifier un champ scalaire, réel ou complexe, un champ à plusieurs composantes internes et un champ vectoriel massif. Dans tous les cas, la mécanique est la même : un lagrangien quadratique se diagonalise en modes d’impulsion, et chaque mode devient un oscillateur dont les excitations sont les particules. Les symétries internes fournissent les charges conservées, et ces charges donnent un sens à la distinction entre particule et antiparticule.

Toutes les particules obtenues sont pourtant des bosons, de spin 0 ou 1. Cela n’est pas un hasard : c’est une conséquence directe du choix fait à l’étape 3, celui d’imposer des relations de commutation. La matière ordinaire, elle, est faite de fermions de spin $\frac{1}{2}$, et aucun des objets manipulés ici, scalaire ou vecteur, ne sait décrire un spin demi-entier. Il faudra pour cela un troisième type d’objet, le spineur, et il faudra remplacer les commutateurs par des anticommutateurs.