Théorie quantique des champs – Partie 6

Fonction de Green et propagateur

• Une fonction de Green est la réponse impulsionnelle d'un système linéaire ; par superposition, elle résout n'importe quel problème avec source.
• L'amplitude de transition quantique $\langle x, t \,|\, x', t'\rangle$ est (à un facteur près) une fonction de Green de l'équation de Schrödinger. On l'appelle le propagateur. Ses pôles en énergie donnent le spectre.
• Quand $\hat H = \hat H_0 + \hat V$, le propagateur exact s'écrit comme une série géométrique en $\hat V$ (équation de Dyson) dont chaque terme se lit comme un dessin : propagation libre → interaction ponctuelle → propagation libre → … C'est l'ancêtre direct des diagrammes de Feynman (chapitres suivants).

Fonction de Green

Soit $\hat L$ un opérateur différentiel linéaire. On cherche à résoudre (pour une source $f$ quelconque) :

Stratégie :

$G(x,x’)$ est ce que « ressent » le système en $x$ quand on le frappe en $x’$. On retrouve la réponse impulsionnelle du traitement du signal.

Au sens des distributions :

Invariance par translation et produit de convolution

Normal puisque des coefficients constants correspondent à un milieu homogène !

Si on a invariance spatiale, alors translater la source translate la réponse d’autant : $G(x+a, x’+a) = G(x, x’)$ pour tout $a$.

Géométriquement : dans le plan des couples $(x,x’)$, $G$ est constante le long de chaque diagonale $x - x’ = \text{cste}$ (translater les deux arguments de $a$ = glisser le long d’une diagonale).

L’identité valant pour tout $a$, choisissons celui qui ramène la source à l’origine : $a = -x’$.

La formule de superposition devient le produit de convolution entre $G$ et $f$ !

En traitement du signal, la sortie d’un système linéaire et invariant dans le temps est toujours $s_{\text{sortie}} = h * s_{\text{entrée}}$, où $h$ est la réponse impulsionnelle. La fonction de Green incarne bien cette réponse impulsionnelle, et l’hypothèse « coefficients constants » correspond à l’invariance du système.

Avec un hamiltonien indépendant du temps (et donc invariant par translation temporelle), reconstruire $\psi(t)$ à partir de $\psi(t’)$ revient à une convolution temporelle. Et si de plus $\hat H = \hat p^2/2m$ (particule libre), il est aussi invariant par translation spatiale…

Transformée de Fourier

Si $\hat L$ est à coefficients constants, la transformée de Fourier le transforme en multiplication par un polynôme $L(k)$, d’où :

Moralité : coefficients constants = invariance par translation = les ondes planes diagonalisent = Fourier transforme en simple multiplication.

Les zéros de $L(k)$ (c’est-à-dire les modes propres du système libre) deviennent les pôles de $\tilde G$. Le spectre du système est encodé dans les pôles de sa fonction de Green.

Deux exemples. :

Le propagateur quantique

La particule est en $x’$ à l’instant $t’$, quelle est l’amplitude de probabilité de la trouver en $x$ à l’instant $t$ ?

Cela fait du propagateur une fonction de Green.

Le propagateur contient donc toute la dynamique puisque :

$\displaystyle \psi(x, t) = \mathrm i \int G^+(x, t\,;\, x', t') \psi(x', t')\, \mathrm{d}x' \quad (t > t') $

De $\mathrm e^{-\mathrm i\hat H(t-t’)} = \mathrm e^{-\mathrm i\hat H(t-t’’)} \mathrm e^{-\mathrm i\hat H(t’’-t’)}$ et de la relation de fermeture $\int |x’’\rangle\langle x’’|\mathrm{d}x’’ = \mathbb 1$, on tire la loi de composition ($t > t’’ > t’$) :

L’amplitude d’aller de $x’$ à $x$ est la somme sur tous les points intermédiaires des amplitudes des trajets en deux étapes¹. On obtient là un équivalent du principe de Huygens pour l’amplitude quantique : chaque point $x’’$ atteint à l’instant $t’’$ se comporte comme une source secondaire d’amplitude. C’est ce mécanisme qui rend possibles à la fois l’intégrale de chemin et la lecture « diagrammatique » de la théorie des perturbations que l’on va découvrir dans la suite.

Rq : si $t’’$ sort de l’intervalle, l’un des $\theta$ s’annule et le membre de droite est nul alors que le gauche ne l’est pas. Les propagateurs retardés ne composent que dans l’ordre chronologique.

Représentation spectrale

Insérons une base propre de $\hat H$, $\hat H |n\rangle = E_n |n\rangle$, $\phi_n(x) = \langle x | n\rangle$, et posons $\tau = t - t’$. Le propagateur devient :

Pour propager de $x’$ à $x$ pendant $\tau$, on décompose l’état initial localisé $|x’\rangle$ sur les modes stationnaires (le poids du mode $n$ est $\phi_n^*(x’)$). Chaque mode tourne dans le plan complexe à sa fréquence propre (les états stationnaires ne font qu’accumuler une phase), puis on recompose en $x$ (facteur $\phi_n(x)$). Décomposer–faire tourner–recomposer : c’est le mode d’emploi universel des problèmes linéaires, et le propagateur en est la forme condensée.

Passons en « espace des énergies » par transformée de Fourier en temps.

$\int_{-\infty}^{+\infty}$ se réduit à $\int_0^{\infty}$ à cause du $\theta(\tau)$.

Problème : l’intégrale $\int_0^{\infty} \mathrm e^{\mathrm i(E - E_n)\tau}\,\mathrm{d}\tau$ ne converge pas (l’intégrande oscille sans s’amortir).

Remède : donner à l’énergie une partie imaginaire infinitésimale, $E \to E + \mathrm i\varepsilon$ avec $\varepsilon \to 0^+$ à la fin du calcul, ce qui amortit l’oscillation :

$\displaystyle \int_0^{\infty} \mathrm e^{\mathrm i(E - E_n + i\varepsilon)\tau} \,\mathrm{d}\tau = \frac{\mathrm i}{E - E_n + \mathrm i\varepsilon} $

On obtient la représentation spectrale :

Finalement, on n’a pas calculé la transformée de $G^+$, mais celle de $G^+(\tau) \,\mathrm e^{-\varepsilon\tau}$ en décrétant que cela donnera bien $\tilde{G}^+$ dans la limite $\varepsilon \to 0^+$. La section suivante vérifie que cette expression est bien la bonne.

• les pôles de $\tilde{G}^+(E)$ (situés en $E_n - \mathrm i\varepsilon$, juste sous l’axe réel) sont les énergies propres ;
• les résidus sont les produits de fonctions d’onde $\phi_n(x)\phi_n^*(x’)$.

Autrement dit : mesurer le propagateur, c’est mesurer le spectre.
En théorie des champs, ça va devenir : le pôle du propagateur exact définit la masse physique de la particule (c’est ce qui donnera un sens à la renormalisation de la masse).

Les pôles encodent la causalité

Vérifions la cohérence de la formule obtenue pour $\tilde{G}^+(E)$ en inversant la transformée de Fourier par le théorème des résidus :

Rien ne garantit a priori que la mémoire de la causalité (le $\theta$) ait survécu au passage en énergie, où il ne reste que des fractions rationnelles. Le calcul par résidus va montrer qu’elle a survécu, et où elle s’est cachée : dans la position des pôles.

Avec $E = x + \mathrm iy$, on a $|\mathrm e^{-\mathrm iE\tau}| = \mathrm e^{y\tau}$. Le lemme de Jordan² impose alors :

• $\tau > 0$ : pour que ça converge, il faut fermer le contour dans le demi-plan inférieur ($y < 0$). On y attrape tous les pôles $E_n - \mathrm i\varepsilon$ ; la somme des résidus redonne $-\mathrm i\sum_n \phi_n \phi_n^*\, \mathrm e^{-\mathrm iE_n\tau}$ (signe $-$ car on tourne dans le sens négatif).
• $\tau < 0$ : on ferme dans le demi-plan supérieur. Aucun pôle → intégrale nulle.

C’est la fonction $\theta(\tau)$ qui réapparaît !

Moralité : le déplacement infinitésimal des pôles n’est donc pas un détail technique, il encode les conditions aux limites temporelles.

La troisième ligne tease chapitre suivant : en théorie relativiste, le spectre en fréquences contient des solutions d’énergie négative réinterprétées comme des antiparticules remontant le temps.

Théorie des perturbations et équation de Dyson

Faisons maintenant intervenir une interaction $V$ dans le système. Écrivons $\hat H = \hat H_0 + \hat V$ et appelons $G_0$ le propagateur libre (connu) et $G$ le propagateur exact (cherché).

En représentation énergie :

Il s’agit en réalité de $G^+$ et $G_0^+$ comme l’atteste la présence de $+i\varepsilon$ (en l’absence d’ambigüité, on se passe du $+$ pour alléger l’écriture).

L’identité matricielle $\dfrac{1}{A - B} = \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{A} B \dfrac{1}{A - B}$ (à vérifier en multipliant par $A - B$) donne l’équation de Dyson :

Lecture diagrammatique :

• une ligne = un propagateur libre $G_0$ (la particule vole librement) ;
• un vertex = un facteur $\hat V$ (elle diffuse une fois sur le potentiel) ;
• on somme sur toutes les positions et instants intermédiaires (en représentation position, chaque terme est une intégrale sur les points d’interaction).

La série dit : amplitude exacte = (jamais diffusé) + (diffusé une fois, n’importe où) + (diffusé deux fois, n’importe où) + … Ce sont déjà des diagrammes de Feynman (il ne manque que la seconde quantification pour que les vertex deviennent des créations/annihilations de particules).

Remarque : la forme fermée $G = (G_0^{-1} - \hat V)^{-1}$ montre qu’une série infinie de diagrammes peut se resommer en déplaçant le pôle. C’est le prototype de la self-énergie $\Sigma$ et de la masse renormalisée qu’on rencontrera plus loin ($G^{-1} = G_0^{-1} - \Sigma$).

Propagateurs et champs

Le chapitre précédent a établi le programme : le propagateur est une fonction de Green, ses pôles portent le spectre, et la position infinitésimale des pôles code les conditions aux limites temporelles. Ce chapitre exécute ce programme pour un champ relativiste, où trois nouveautés surgissent :

• L'objet élémentaire n'est plus $\langle x|\mathrm e^{-\mathrm i\hat H\tau}|x'\rangle$ mais $\langle 0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle$ : créer une particule du vide en $y$, la détruire en $x$ (en théorie des champs, le nombre de particules n'est pas conservé et l'opérateur de champ est précisément l'objet qui crée et détruit).
• Les antiparticules : le spectre relativiste contient des fréquences des deux signes. Il faut pouvoir propager les fréquences positives vers le futur et les négatives vers le passé. C'est l'ordre chronologique $T$ qui accomplit cela. Il correspond au contour « panaché » du tableau du chapitre précédent.
• La récompense : $\Delta_F(p) = \dfrac{\mathrm i}{p^2 - m^2 + \mathrm i\varepsilon}$, une première brique des diagrammes de Feynman. Et déjà, en régime statique, l'explication des forces par échange de particules virtuelles (Yukawa).

L’amplitude élémentaire $D(x-y)$

Rappels :

• Champ scalaire réel : $\hat\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf p}}} \Big( \hat a_{\mathbf p}\, \mathrm e^{-\mathrm ip\cdot x} + \hat a^\dagger_{\mathbf p} \, \mathrm e^{+\mathrm ip\cdot x} \Big)\Big|_{p^0 = E_{\mathbf p}} $
• $ [\hat a_{\mathbf p}, \hat a^\dagger_{\mathbf q}] = \delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q)$, tous les autres commutateurs sont nuls.
• La mesure $ \int \widetilde{\mathrm{d}p} \;\equiv\; \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3\, 2E_{\mathbf p}}$ est invariante de Lorentz (le $(2\pi)^3$ vient de la fusion des deux $(2\pi)^{3/2}$ des développements en modes).

L’amplitude de propagation est un pur effet de non-commutation. Si les $\hat a$ commutaient avec les $\hat a^\dagger$, $D$ serait nul : rien ne se propagerait.

Deux remarques importantes sur $D$ :

• $D$ est une solution de Klein–Gordon homogène : $(\partial^2 + m^2)D = 0$ (chaque onde plane du paquet est sur la couche de masse). Ce n'est donc pas une fonction de Green (il manque le $\theta$, exactement comme à la section précédente où c'était la dérivée de $\theta$ qui produisait le $\delta$).
• $D$ ne s'annule pas hors du cône de lumière : pour une séparation de genre espace, $D(0, \mathbf r) \sim \mathrm e^{-mr}$ (petite, mais non nulle, sur une longueur de Compton $1/m$). Faut-il s'inquiéter pour la causalité ? Non, et la suite dit pourquoi.

Causalité

Pour un intervalle de genre temps, par contre, le commutateur n’est pas nul : pour $z^2 > 0$, on peut amener $z$ sur $(t, \mathbf 0)$, et alors $D(z) - D(-z) = -2\mathrm i\int \widetilde{\mathrm{d}p}\,\sin(E_{\mathbf p}t) \neq 0$. Le renversement $z \to -z$ exigerait de renverser le temps, ce qui n’appartient pas au groupe propre orthochrone. L’asymétrie est exactement la bonne : l’influence causale vit dans le cône, et seulement là.

Pourquoi le commutateur est le bon critère de causalité

• Corrélation ≠ signal. $D(z) \neq 0$ hors du cône dit que le vide contient des corrélations à distance de genre espace. Mais des corrélations ne transportent pas d'information (c'est la situation EPR : deux photons intriqués sont parfaitement corrélés hors du cône sans qu'Alice puisse envoyer un message à Bob).

Ce qui violerait la relativité, c’est qu’une intervention en $y$ modifie une probabilité mesurable en $x$.

• Non-signalisation. Toute intervention en $y$ s'exprime par des opérateurs construits sur les champs au voisinage de $y$. Si tous les opérateurs locaux en $x$ commutent avec tous ceux en $y$ (ce que garantit $[\hat\phi(x), \hat\phi(y)] = 0$ qui s'étend au cas des polynômes de champs), les statistiques de mesure en $x$ sont rigoureusement insensibles à ce qui a été fait en $y$. C'est l'axiome de micro-causalité.

Le propagateur de Feynman

Le $T$ généralise le $\theta(\tau)$ retardé du chapitre précédent : au lieu d’imposer un seul sens du temps, il dit « quel que soit l’ordre des dates, on crée d’abord, on détruit ensuite ».

Seul le champ complexe permet de comprendre le bien-fondé physique de cette définition.

Rappels sur le champ complexe :

• Le champ complexe porte deux jeux de modes indépendants ($\hat a$ : particules, $\hat b$ : antiparticules) :

  $\displaystyle \hat\psi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2E_{\mathbf p}}} \Big( \hat a_{\mathbf p} \, \mathrm e^{-\mathrm ip\cdot x} + \hat b^\dagger_{\mathbf p} \, \mathrm e^{+\mathrm ip\cdot x} \Big) $

  $\displaystyle \hat\psi^\dagger(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2E_{\mathbf p}}} \Big( \hat b_{\mathbf p} \, \mathrm e^{-\mathrm ip\cdot x} + \hat a^\dagger_{\mathbf p} \, \mathrm e^{+\mathrm ip\cdot x} \Big) $

• et il porte aussi une symétrie $U(1)$, $\hat\psi \to \mathrm e^{\mathrm i\alpha}\hat\psi$, de charge conservée $\hat Q = \int \mathrm{d}^3p\, \big( \hat a^\dagger_{\mathbf p}\hat a_{\mathbf p} - \hat b^\dagger_{\mathbf p}\hat b_{\mathbf p} \big)$. On vérifie sur les modes que $[\hat Q, \hat\psi^\dagger] = +\hat\psi^\dagger$ : $\hat\psi^\dagger(y)$ dépose une unité de charge en $y$ (en créant une particule ou en détruisant une antiparticule), et $\hat\psi(x)$ en retire une.

La lecture par la charge unifie les deux histoires : dans la première, une charge $+1$ voyage de $y$ vers $x$ ; dans la seconde, une charge $-1$ voyage de $x$ vers $y$. C’est le même courant de charge, de $y$ vers $x$, dans les deux cas. Un seul objet, $\Delta$, raconte un unique transport de charge, et l’ordre des dates décide seulement qui le transporte.

C’est l’énoncé précis de l’interprétation de Feynman des énergies négatives : une solution d’énergie négative se propageant vers le passé est une antiparticule d’énergie positive se propageant vers le futur.

Sur les diagrammes, la flèche d’une ligne suit le flot de charge, pas le sens du mouvement, d’où les flèches « à rebours » des lignes d’antiparticules.

Rq : pour le champ réel, $\hat b = \hat a$. La particule est sa propre antiparticule, la charge est nulle, et les deux histoires deviennent indiscernables. L’interprétation reste vraie, mais dégénérée : la lecture antiparticule n’est limpide que pour le champ complexe.

$T$ n’est covariant que grâce à la micro-causalité.
Le $\theta(x^0 - y^0)$ caché dans $T$ a l’air de trahir la relativité : pour une séparation de genre espace, l’ordre chronologique de $x$ et $y$ dépend du référentiel ! Le produit $T\hat\psi(x)\hat\psi^\dagger(y)$ semble mal défini… sauf si, précisément dans cette zone dangereuse, les deux ordres donnent le même opérateur, c’est-à-dire si $[\hat\psi(x), \hat\psi^\dagger(y)] = 0$ hors du cône. La micro-causalité est exactement la condition qui rend le produit chronologique sans ambiguïté, donc Lorentz-invariant, donc la théorie des perturbations covariante.

Anatomie du propagateur

où $p^0$ est une variable d’intégration indépendante de $\mathbf p$ (on intègre sur tout $\mathbb R^4$, pas seulement sur la couche de masse).

Les deux pôles sont en $p^0 = +E_{\mathbf p} - \mathrm i\varepsilon’$ (fréquence positive, sous l’axe) et $p^0 = -E_{\mathbf p} + \mathrm i\varepsilon’$ (fréquence négative, au-dessus).

Retenir la logique : on n’a rien « choisi » avec le $i\varepsilon$, on a traduit l’exigence physique (particules vers le futur, antiparticules vers le passé) en une position de pôles.

Même structure qu’au chapitre précédent : solution élémentaire de l’opérateur libre, avec les conditions aux limites (ici celles de Feynman) codées par le $+i\varepsilon$.

Yukawa : les forces comme échange de particules

La figure montre la version dynamique du processus : deux particules entrent, s’échangent un quantum du champ médiateur (la ligne en tirets), et repartent déviées (l’amplitude du processus contient le facteur $\frac{\mathrm i}{p^2 - m^2 + \mathrm i\varepsilon}$ porté par la ligne interne). Le calcul de cette section en est la limite statique : des sources lourdes qui ne reculent pas, pour lesquelles le quantum échangé ne transporte pas d’énergie ($p^0 = 0$) ; le facteur devient $\frac{-\mathrm i}{\mathbf q^2 + m^2}$, et c’est sa transformée de Fourier qui va donner le potentiel.

Rq : la ligne en tirets est le dessin d’un terme de calcul, pas la photographie d’un projectile (cf. la section « particules réelles, particules virtuelles » plus bas).

Couplons le champ à une source statique ponctuelle de « charge » $g$ en $\mathbf r_1$. En régime statique ($p^0 = 0$), Klein–Gordon avec source devient un pur problème de fonction de Green au sens du chapitre précédent :

Opérateur à coefficients constants : son symbole (le nom savant du polynôme $L(\mathbf q)$ du chapitre précédent), c’est-à-dire sa valeur propre sur les ondes planes, $\hat L\, \mathrm e^{\mathrm i\mathbf q\cdot\mathbf r} = L(\mathbf q)\, \mathrm e^{\mathrm i\mathbf q\cdot\mathbf r}$) vaut ici $L(\mathbf q) = \mathbf q^2 + m^2$.
Aucun zéro réel ($L \geq m^2 > 0$) : pas de mode propagatif en statique, donc aucune subtilité de contour ni de $\mathrm i\varepsilon$ ; les seuls zéros sont en $\mathbf q$ complexe, $q = \pm im$. D’où :

$g \int \frac{\mathrm{d}^3 q}{(2\pi)^3} \frac{\mathrm e^{\mathrm i\mathbf q\cdot(\mathbf r - \mathbf r_1)}}{\mathbf q^2 + m^2}$, c’est $\phi = G * \text{source}$ avec $\tilde G(\mathbf q) = 1/L(\mathbf q)$.
La source étant $g\,\delta^{(3)}$ posée en $\mathbf r_1$, la convolution se réduit à $\phi(\mathbf r) = g\, G(\mathbf r - \mathbf r_1)$ : la fonction de Green translatée au point de frappe (invariance par translation, encore elle).
La maxime « décomposer – faire tourner – recomposer » a ici sa version statique : décomposer – diviser par le symbole – recomposer.

L’énergie d’une seconde source $g$ placée en $\mathbf r_2$ dans ce champ est le potentiel de Yukawa :

Ce potentiel est attractif entre charges de même signe (fait remarquable de l’échange scalaire).

Trois lectures de ce résultat :

• C'est la limite statique du propagateur de Feynman : $\Delta$ à $p^0 = 0$ vaut $\dfrac{-\mathrm i}{\mathbf q^2 + m^2}$ ; le calcul complet par échange d'un quantum entre les deux sources (chapitres suivants) redonne $V(r)$. Une force = l'échange de quanta virtuels du champ médiateur.
• La portée est littéralement la distance du pôle à l'axe réel : le résidu apporte $\mathrm e^{\mathrm iqr}|_{q=\mathrm im} = \mathrm e^{-mr}$. Unités restaurées : portée $= \hbar/mc$, la longueur d'onde de Compton réduite. Conversion pratique ($\hbar c \simeq 197$ MeV·fm) : portée nucléaire $\sim 1{,}4$ fm $\Rightarrow$ médiateur de $\sim 140$ MeV. Yukawa prédit l'existence de ce méson (le nom méson vient de sa masse intermédiaire entre l'électron et le proton) en 1935, et le pion (méson pi) est découvert en 1947 (prix Nobel en 1949).
• La limite $m \to 0$ redonne Coulomb : le pôle glisse vers l'origine, $V \to -g^2/4\pi r$, portée infinie (cohérent avec un médiateur sans masse), et l'on retrouve la fonction de Green du laplacien du chapitre précédent.
  Mêmes mathématiques en matière condensée : l'écrantage de Thomas–Fermi donne un potentiel identique $\mathrm e^{-k_{TF}r}/r$ (le photon y acquiert une masse effective par le milieu).

Particules réelles, particules virtuelles

Ce que dit, morceau par morceau, $\Delta(p) = \dfrac{\mathrm i}{p^2 - m^2 + \mathrm i\varepsilon}$ :

• Particule réelle = quantum d'excitation d'un mode : l'état $\hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle$, sur la couche de masse $p^2 = m^2$ par construction. Vrai vecteur de l'espace de Hilbert : existe indépendamment de tout processus, se propage arbitrairement loin (le pôle domine la propagation à longue distance), fait clic dans un détecteur.
• Particule virtuelle = ligne interne d'un diagramme : un domaine d'intégration ($p^0$ délié de $\mathbf p$, donc $p^2 \neq m^2$ génériquement), pas un état. Elle n'appartient pas à l'espace de Hilbert, n'a ni trajectoire ni durée de vie propre.
• Le pôle $p^2 = m^2$ = la masse physique : traduction relativiste du slogan « les pôles portent le spectre ». Avec les interactions, le pôle du propagateur exact se déplacera : sa position définira la masse renormalisée, son résidu la constante $Z$ de renormalisation du champ. Et si le pôle s'enfonce franchement sous l'axe ($p^0 \simeq m - \mathrm i\Gamma/2$) : particule instable, de durée de vie $1/\Gamma$.

Paradoxe de « l’énergie empruntée »

L’image populaire (« le quantum emprunte $\Delta E \sim mc^2$ pendant $\Delta t \lesssim \hbar/\Delta E$, donc parcourt $\lesssim \hbar/mc$ ») donne la bonne portée, mais semble violer la conservation de l’énergie. Le nœud du paradoxe : entre l’état initial et l’état final (les seuls qu’on mesure) l’énergie est rigoureusement conservée. La question ne se pose que pour l’étape intermédiaire, celle où le quantum « vole » d’une source à l’autre. Or cette étape n’est jamais observée : c’est un terme dans une somme (la série de perturbations), et on est libre de découper cette somme de deux façons.

• Première comptabilité (celle de l'image populaire). On raconte le processus comme un film horodaté : à $t_1$, la source 1 émet le quantum ; entre $t_1$ et $t_2$, il vole ; à $t_2$, la source 2 l'absorbe. Dans ce récit, on exige que le quantum intermédiaire soit une vraie particule, d'énergie $E_{\mathbf p} = \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}$ (sur couche). Mais alors le bilan ne tombe pas juste : pendant $[t_1, t_2]$, l'énergie de l'état intermédiaire dépasse l'énergie initiale (il a fallu fabriquer le quantum d'au moins $mc^2$). La théorie ne s'en émeut pas : cet état n'est jamais mesuré, et son poids dans la somme est pénalisé par l'écart (ce sont exactement les dénominateurs en $1/(E - E_{\text{interm}})$ de la série de Dyson du chapitre précédent). Et un écart $\Delta E$ ne pèse que sur des durées $\lesssim \hbar/\Delta E$ : simple fait de transformée de Fourier (une composante dont la fréquence est décalée de $\Delta E/\hbar$ se brouille par interférence au-delà de $\hbar/\Delta E$). L'heuristique « $\Delta E \cdot \Delta t$ » n'est donc pas un droit de tirage sur une banque d'énergie : c'est la mesure du prix payé par un terme dont le bilan intermédiaire ne tombe pas juste.
• Seconde comptabilité (celle des diagrammes de Feynman). On renonce à dater les étapes (prix de la covariance : pour deux événements séparés d'un intervalle de genre espace, l'ordre chronologique dépend du référentiel), et on impose à la place la conservation exacte de la quadri-impulsion à chaque vertex. Le bilan tombe juste partout, à tout instant… mais l'écart a changé de colonne : la ligne interne porte maintenant un $p$ qui ne vérifie pas $p^2 = m^2$ (il est hors couche). Ce n'est plus une vraie particule : c'est une variable d'intégration.

Bilan. Même amplitude totale, deux découpages du même calcul : soit de vraies particules intermédiaires avec un bilan d’énergie provisoirement faux (et pénalisé), soit un bilan d’énergie exact avec des objets intermédiaires qui ne sont pas de vraies particules. Ce qui n’existe dans aucune des deux colonnes : une vraie particule et une vraie violation. Rien n’est emprunté, on choisit seulement dans quelle colonne inscrire l’écart, et la physique mesurable (l’amplitude, la portée $\mathrm e^{-mr}$) est identique dans les deux.

Gamme des portées




Médiateur	Masse	Portée $\hbar/mc$	Interaction
photon	$0$	infinie ($V \propto 1/r$)	électromagnétique
pion (Yukawa)	$\simeq 140$ MeV	$\simeq 1{,}4$ fm	nucléaire (résiduelle)
$W^\pm, Z^0$	$\simeq 80$–$91$ GeV	$\simeq 2\times 10^{-3}$ fm	faible (« faible » surtout parce que courte)
gluons	$0$	pas $1/r$ à grande distance	forte (confinement)

La dernière ligne est le garde-fou : le raisonnement de Yukawa est perturbatif ; pour la QCD à grande distance, le couplage devient fort et la portée effective est gouvernée par le confinement, pas par la masse du médiateur.




Dictionnaire : mécanique quantique ↔ champ scalaire

Chapitre précédent (MQ)	Ce chapitre (champ scalaire)
$\theta(t-t’)$ : propagation retardée	$T$ : ordre chronologique (deux sens du temps)
$(i\partial_t - \hat H)G^+ = \delta\,\delta$	$(\partial^2 + m^2)\Delta = -\mathrm i\,\delta^{(4)}$
Pôles tous en $E_n - \mathrm i\varepsilon$	Pôles panachés : $+E_{\mathbf p}$ dessous, $-E_{\mathbf p}$ dessus
Pôle = niveau d’énergie	Pôle $p^2 = m^2$ = masse physique (résidu → $Z$)
$\tilde G_0^+ = \dfrac{1}{E - \mathbf p^2/2m + \mathrm i\varepsilon}$	$\Delta = \dfrac{\mathrm i}{p^2 - m^2 + \mathrm i\varepsilon}$
Fermeture sur les états propres $\sum_n \lvert n\rangle\langle n\rvert$	Développement en modes $\hat a_{\mathbf p}, \hat a^\dagger_{\mathbf p}$
Série de Dyson $G_0 + G_0 V G_0 + \cdots$	Lignes internes des diagrammes de Feynman





Sommaire	Chapitre précédent	Chapitre suivant

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1. On retrouve les deux règles de composition des amplitudes de Feynman :

   • événements successifs → les amplitudes se multiplient ;
   • alternatives indiscernables (par où est-elle passée ?) → les amplitudes s’additionnent (ici, s’intègrent).
    ↩︎

2. Soit $g(E)$ tendant vers $0$ uniformément quand $|E| \to \infty$ dans le demi-plan inférieur. Alors, pour $\tau > 0$, l’intégrale de $g(E) \, \mathrm e^{-\mathrm iE\tau}$ sur le demi-cercle inférieur de rayon $R$ tend vers $0$ quand $R \to \infty$ (énoncé miroir en haut pour $\tau < 0$). Ici $g(E) = \frac{1}{E - E_n + \mathrm i\varepsilon} \sim \frac 1E \to 0$. L’hypothèse est satisfaite. Donc $$\int_{-\infty}^{+\infty} = \oint_{\mathcal C} - \underbrace{\int_{\text{arc}}}_{\to\, 0} $$ où $\mathcal C$ est le contour fermé (droite réelle + arc). ↩︎