Théorie quantique des champs – Partie 12

Le ferromagnétisme, un tutoriel de renormalisation

Une expérience de paillasse, d’abord

Prenons un barreau de fer et un thermomètre. À température ambiante, il est aimanté : il colle au réfrigérateur, une boussole approchée s’affole. Chauffons-le. À 1043 K (770 °C), l’aimantation disparaît d’un coup, et le barreau devient un morceau de métal ordinaire. C’est la température de Curie. Laissons-le refroidir : l’aimantation revient.

Rien d’extraordinaire jusqu’ici. Ce qui l’est, c’est ce qui se passe juste au voisinage de 1043 K, dans une fenêtre de quelques degrés.

• La capacité thermique s'envole. Il faut fournir une énergie démesurée pour gagner un degré, comme si le métal engloutissait la chaleur sans chauffer.
• Le fer devient anormalement facile à aimanter : un champ extérieur minuscule produit une réponse macroscopique.
• Les domaines magnétiques, ces régions où les spins pointent ensemble, cessent d'avoir une taille caractéristique. Il en existe de toutes les tailles simultanément, du nanomètre à l'échantillon entier.

Ce troisième point est le cœur de l’affaire, et il a un équivalent qu’on peut voir à l’œil nu. Au point critique liquide-gaz d’un fluide, les fluctuations de densité atteignent la longueur d’onde de la lumière visible et le fluide, jusque-là transparent, devient laiteux : c’est l’opalescence critique. On voit la longueur de corrélation diverger.

Question concrète : de combien la capacité thermique s’envole-t-elle ? À quelle vitesse l’aimantation s’éteint-elle quand on approche de 1043 K par en dessous ? Ce sont des nombres mesurables, mesurés depuis les années 1960, et le champ moyen se trompe sur leurs valeurs. C’est cet écart que la renormalisation va combler.

Six nombres à mesurer : les exposants critiques

L’expérience montre que chacune de ces grandeurs suit une loi de puissance près de $T_c$. Introduisons la température réduite, qui mesure l’écart relatif au point critique :

$$ t = \frac{T - T_c}{T_c} $$

La théorie de Landau prédit $\beta = 1/2$ : l’aimantation s’annulerait comme $\sqrt{T_c - T}$. L’expérience, sur le fer comme sur le nickel, donne plutôt $0{,}33$. L’écart n’est pas une broutille de troisième décimale, c’est une courbe visiblement différente. Et le champ moyen prédit $\alpha = 0$, donc pas de divergence de la chaleur spécifique, alors qu’on la mesure. Il y a bien quelque chose à réparer. Nous établirons ces prédictions en bonne et due forme un peu plus loin, une fois le modèle posé.

L’hypothèse de Widom : six exposants, deux nombres

Bien avant le groupe de renormalisation, Widom a remarqué que tous les exposants découlent d’une seule hypothèse sur l’énergie libre réduite $f(t, h)$ (par unité de volume et de température, avec $h$ le champ réduit) :

Ce que dit cette hypothèse en français : changer l’échelle d’observation revient à changer la température et le champ. Regarder un aimant critique à travers un objectif deux fois moins puissant donne la même image qu’un aimant observé normalement mais un peu plus loin de $T_c$. C’est cette équivalence qui contraint tout.

Le mécanisme : choisir $b$ pour tuer une variable

Toute la force de l’hypothèse tient dans le fait que $b$ est arbitraire. La relation vaut pour toute valeur du facteur d’échelle ; on a donc le droit de choisir celle qui nous arrange, et le bon choix fait disparaître une variable.

Pour tout ce qui se passe à champ nul, on choisit $b$ tel que $b^{y_t}|t| = 1$, c’est-à-dire

$$b = |t|^{-1/y_t}$$

En reportant, l’énergie libre prend la forme

où $\Phi$ est une fonction inconnue, mais universelle, dont nous n’aurons jamais besoin de connaître la forme. Toute la dépendance singulière en température est passée dans le préfacteur $|t|^{d/y_t}$, et il ne reste plus qu’à dériver.

Les cinq premiers exposants suivent alors mécaniquement ; le sixième, $\eta$, est d’une autre nature et demandera un objet différent.

Rassemblons les six formules :

Quatre relations, et un test gratuit

Deux nombres commandent six exposants : il doit donc exister quatre relations entre eux, obtenues en éliminant $y_t$ et $y_h$. Elles portent des noms, et l’expérience les vérifie.

Ces quatre relations sont un test remarquablement bon marché. Elles ne demandent aucune théorie : on mesure six exposants sur un matériau, on vérifie qu’ils satisfont les quatre égalités. Si l’hypothèse d’échelle est fausse, cela se voit sans avoir rien calculé. Elle passe l’examen.

Une mise en garde, cependant, sur la dernière. La relation de Josephson est la seule où la dimension $d$ apparaît explicitement : on l’appelle pour cela relation d’hyperéchelle. Elle repose sur l’idée que l’énergie libre singulière vaut environ $k_{\mathrm B}T$ par volume de corrélation $\xi^d$, ce qui cesse d’être vrai au-dessus de quatre dimensions. De fait, en champ moyen ($\alpha = 0$, $\nu = 1/2$), elle donnerait $d = 4$ : elle n’est satisfaite qu’à la dimension critique supérieure, et échoue au-delà. Les trois autres relations, elles, restent valables en toute dimension.

Le programme du chapitre est fixé : la machine de Wilson doit produire $y_t$ et $y_h$, en lisant comment $t$ et $h$ évoluent sous le flot.

Le modèle, et pourquoi $\phi^4$ convient

Le modèle continu du ferromagnète est le modèle de Landau–Ginzburg, qui n’est autre que la théorie $\phi^4$ euclidienne en dimension $d$ :

$\displaystyle S_{\mathrm E} = \int\mathrm d^dx\left[\frac12(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2 + \frac{\lambda}{4!}\phi^4\right] $
avec $\displaystyle m^2 = a\,(T - T_c)$

La température entre par le terme de masse : $m^2 > 0$ au-dessus de $T_c$, $m^2 < 0$ en dessous.

Ce que prédit le champ moyen

Avant de lancer la machinerie, il faut poser noir sur blanc la thèse que nous allons renverser. Sans cela, aucun des résultats du chapitre ne pourra surprendre.

L’approximation de champ moyen consiste à négliger purement et simplement les fluctuations : on suppose que $\phi$ prend une valeur uniforme dans tout l’échantillon, et l’on cherche laquelle minimise l’énergie. Le terme de gradient s’annule alors, et il ne reste qu’un potentiel à une variable :

C’est la théorie de Landau, et tout s’y lit à vue selon le signe de $m^2$.

Rassemblons les prédictions du champ moyen :

Voilà donc ce que le champ moyen affirme, et que la suite du chapitre va mettre à mal sur deux fronts distincts.

Les deux thèses à retenir, car ce sont elles que la renormalisation va renverser :

• Thèse 1, sur la frontière. Le signe de $m^2$ est la phase. La transition se produit exactement en $m^2 = 0$, c'est-à-dire à $T = T_c$. Il n'y a rien à discuter : on regarde le signe, on lit la phase.
• Thèse 2, sur les exposants. Les six nombres du tableau ci-dessus sont des fractions simples, universelles, et indépendantes de la dimension de l'espace.

La thèse 2 est fausse en dessous de quatre dimensions : on mesure $\beta \approx 0{,}33$ et non $1/2$, et c’était l’énigme ouverte depuis 1945.

La thèse 1 est fausse aussi, et c’est plus inattendu : nous verrons que la vraie frontière entre les phases n’est pas la ligne $m^2 = 0$, mais une séparatrice passant par un point situé à $m^2 < 0$. Autrement dit, il existe des systèmes à masse carrée négative qui restent pourtant désordonnés : les fluctuations peuvent voler la transition au champ moyen.

L’échauffement gaussien

Avant d’affronter le cas général, faisons tourner la machine sur le seul cas où elle marche exactement : la théorie libre $\lambda = 0$, dite modèle gaussien. Deux raisons à ce détour. D’abord il ne coûte rien, tous les pas s’y font sans approximation. Ensuite le résultat servira de référence permanente : le modèle gaussien est un point fixe, et c’est celui autour duquel tout le reste s’organisera.

Pas I : il ne se passe rien.

Pas II et III : tout se joue là. Puisque le pas I n’apporte rien, le flot gaussien est un pur effet de changement d’échelle, c’est-à-dire une affaire d’analyse dimensionnelle.

Le pas II ramène la coupure de $\Lambda/b$ à $\Lambda$ en contractant les longueurs :

$\displaystyle x' = \frac{x}{b}$

Le pas III rééchelonne le champ. Mais de combien ? Écrivons l’opération avec un exposant encore inconnu, que l’on appellera dimension d’échelle du champ :

Il faut maintenant fixer $d_\phi$, et cela demande une convention : sans elle, deux théories ne seraient jamais comparables, puisqu’on pourrait toujours absorber une différence dans un rééchelonnement du champ. On choisit de maintenir le coefficient du terme de gradient à sa valeur $\tfrac12$. Ce choix n’est pas « indifférent » : c’est le terme de gradient qui définit ce qu’on appelle « le champ », et le garder fixe revient à décider que l’unité de mesure de $\phi$ ne bouge pas d’un tour de manivelle à l’autre.

On obtient donc, sans la moindre approximation :

Les deux exposants sont positifs, et $b > 1$ puisqu’on regarde de plus en plus grand. Chaque tour de manivelle, c’est-à-dire chaque application de la transformation, multiplie donc $m^2$ par $b^2 > 1$ et $h$ par $b^{(d+2)/2} > 1$. Après $n$ tours, les facteurs sont $b^{2n}$ et $b^{n(d+2)/2}$ : les deux couplages s’échappent vers l’infini.

Le contenu physique mérite qu’on s’y arrête, car ces mots ne sont pas du jargon.

Prenons $m^2 \propto (T - T_c)$, et supposons-le petit mais non nul : nous sommes tout près du point critique, sans y être. Le flot dit qu’en regardant à des échelles de plus en plus grandes, le système paraît de plus en plus loin de sa température critique. C’est cohérent avec ce que nous savons déjà : $\xi’ = \xi/b$, la longueur de corrélation rétrécit en unités de la maille, et comme $\xi \sim 1/m$, cela redonne exactement $m’ = bm$.

La conséquence est la définition même de la criticité. Puisque toute valeur non nulle de $m^2$ s’échappe, la seule façon de rester au point fixe est de partir exactement de $m^2 = 0$, c’est-à-dire de régler la température à $T_c$ à la perfection. Et comme $h$ est pertinent lui aussi, il faut de même annuler le champ extérieur.

Deux directions pertinentes, donc deux paramètres à régler pour atteindre la criticité : c’est pourquoi le point critique est un point dans le plan $(T, h)$, et non une ligne ou une région. Un expérimentateur qui cherche la criticité doit ajuster deux boutons, et tout écart, si petit soit-il, finit par le chasser du point fixe.

Le comptage de puissances, en une formule

La seule chose qui distinguait le terme de masse du terme de champ était le nombre de champs qu’ils contiennent, deux contre un. Rien d’autre n’est intervenu. On peut donc faire le calcul une bonne fois pour toutes, pour un terme comportant $n$ champs.

$y_n$ n’est donc rien d’autre que la dimension de masse du couplage $g_n$. En effet l’action est sans dimension, donc $[g_n] = d - n,[\phi] = d - n\,\frac{d-2}{2}$, ce qui est exactement $y_n$. Au point fixe gaussien, « pertinent » signifie donc simplement de dimension de masse positive. C’est cela qu’on appelle le comptage de puissances, et c’est le même outil qui servait à décider quels diagrammes divergent au chapitre “Le problème et sa solution”.

Cette unique formule répond d’un coup à plusieurs questions laissées en suspens :

Trois lectures, toutes utiles pour la suite :

• La ligne $n=4$ justifie enfin le rôle de la dimension 4. Le couplage $\lambda$ y est exactement marginal : ni croissant ni décroissant. C'est le cas limite, et c'est pourquoi le terme de boucle, qui est la première correction à cette immobilité, y devient décisif. En dessous de 4, $y_4 = 4-d > 0$ et $\lambda$ devient pertinent : c'est le terme $\varepsilon\lambda$ que nous retrouverons dans l'équation de flot.


• La ligne $n=6$ justifie la troncature du modèle. Nous avions affirmé plus haut que $\phi^6$ et au-delà sont non pertinents près de la dimension 4 ; on le lit maintenant sur un nombre. Ces termes rétrécissent sous le flot, s'évanouissent aux grandes échelles, et n'affectent aucun exposant. Il était donc légitime de les omettre, et ce n'est pas une approximation subie mais un résultat.


• Les deux premières lignes sont $y_t$ et $y_h$, c'est-à-dire précisément les deux nombres réclamés par l'hypothèse de Widom.

Injectées dans les formules de Widom avec $d=4$, ces valeurs gaussiennes redonnent exactement le tableau du champ moyen établi plus haut ($\alpha=0$, $\beta=\tfrac12$, $\gamma=1$, $\delta=3$, $\nu=\tfrac12$, $\eta=0$). Ce n’est pas une coïncidence : le champ moyen est le point fixe gaussien vu en dimension 4, et c’est pourquoi il devient exact au-dessus de quatre dimensions, là où $\lambda$ est non pertinent et s’évanouit tout seul.

Tout le chapitre tient désormais dans une question : que devient ce tableau quand on allume $\lambda$ en dessous de quatre dimensions, là où il refuse de s’évanouir ?

Une boucle, et le point fixe de Wilson–Fisher

Allumons $\lambda$. Le pas I cesse alors d’être faisable exactement, et la raison est celle-là même qui rendait le cas gaussien si facile, prise à l’envers.

On traite donc le pas I en perturbation, par des diagrammes de Feynman. Mais plutôt que d’intégrer les impulsions internes jusqu’à $\Lambda$, la méthode de Wilson nous dicte de les restreindre à la coquille rapide, de $\Lambda/b$ à $\Lambda$. Rien d’étonnant à cela : le pas I ne consiste précisément qu’à éliminer les modes de cette coquille, et ce sont eux, et eux seuls, qui circulent dans les boucles. Les pattes externes, elles, portent des impulsions lentes.

À une boucle, ce travail se réduit à deux diagrammes : la boucle simple refermée sur un vertex posé sur la ligne, qui corrigera $m^2$ ; et la bulle, deux vertex reliés par deux propagateurs, qui corrigera $\lambda$. Ce sont eux que nous allons calculer, et le flot du chapitre tout entier sortira de ces deux intégrales. Encore faut-il savoir pourquoi il n’y en a que deux.

Pourquoi ces deux diagrammes ?

Quelles fonctions faut-il corriger ? Le comptage de puissances du chapitre “Le problème et sa solution” a établi que le degré de divergence superficiel d’un diagramme de $\phi^4$ en dimension 4 vaut $D = 4 - B_E$, où $B_E$ est le nombre de pattes externes. Seules la fonction à deux pattes ($D = 2$) et celle à quatre pattes ($D = 0$) sont donc sensibles à la coupure ; à six pattes et au-delà, $D < 0$ et la contribution est négligeable aux grandes échelles. Il n’y a donc que deux fonctions à surveiller, et c’est pour cela qu’il n’y a que deux couplages dans le flot.

Quelle correction va où ?

• Corriger la fonction à deux pattes, c'est corriger la partie quadratique de l'action, donc $m^2$. C'est exactement ce que faisait la self-énergie : déplacer la masse.
• Corriger la fonction à quatre pattes, c'est corriger la partie quartique, donc $\lambda$. C'est exactement ce que faisait la fonction de vertex $\tilde\Gamma$ : déplacer le couplage.

Et les topologies ? À une boucle, chaque cas n’en admet qu’une. Pour deux pattes externes, il faut un seul vertex : deux de ses quatre jambes partent vers l’extérieur, les deux autres se contractent entre elles et referment la boucle. Ce diagramme est unique. Pour quatre pattes externes, il faut deux vertex : quatre jambes sortent, les quatre restantes s’apparient en deux propagateurs. C’est la bulle, et elle existe en trois versions selon la façon d’apparier les pattes externes deux à deux : les canaux $s$, $t$ et $u$ qu’on commence à bien connaître. Le facteur 3 du terme $-3\lambda^2$ n’est rien d’autre que ce comptage de canaux.

Le calcul de la coquille

Du pas fini au flot continu

Les deux relations ci-dessus comparent la théorie avant et après une transformation de facteur $b$. C’est un pas fini, malcommode : pour suivre une trajectoire, on préférerait une équation différentielle. Le passage se fait en deux temps.

• Premier temps, on rend le pas infinitésimal, ce qui ne demande aucune approximation sur la dimension.
• Second temps seulement, on se place au voisinage de la dimension 4 pour obtenir des nombres.

Commençons par le premier, en posant

$$ b = \mathrm e^{\ell} $$

Ce choix n’est pas cosmétique. Les transformations de renormalisation se composent en multipliant les facteurs d’échelle : appliquer $b_1$ puis $b_2$ revient à appliquer $b_1b_2$. Le paramètre naturel du groupe n’est donc pas $b$ mais $\ln b$, qui lui s’additionne. En posant $\ell = \ln b$, les étapes successives se cumulent comme des durées, « ne rien faire » ($b=1$) devient l’origine $\ell = 0$, et l’on peut enfin écrire des équations différentielles en $\mathrm d/\mathrm d\ell$ : $\ell$ joue le rôle du temps le long de la trajectoire de renormalisation. C’est la même raison qui faisait écrire $\mu\,\mathrm d/\mathrm d\mu = \mathrm d/\mathrm d\ln\mu$ au chapitre précédent.

Il ne reste qu’à développer les deux relations au premier ordre en $\ell$. Un mécanisme agréable s’y produit : les développements font apparaître au numérateur les facteurs $(d-2)$ et $(d-4)$ qui figuraient au dénominateur des crochets, et ils se simplifient.

On obtient ainsi les équations de flot en dimension quelconque, sans avoir rien approché d’autre que la petitesse du pas :

La seconde équation contient déjà l’essentiel. Deux termes s’y opposent : $(4-d)\lambda$, pur effet de dimension qui pousse le couplage vers le haut dès que $d < 4$, et $-3\lambda^2\Omega_d/2$, effet de boucle qui le freine. Comme l’un est linéaire et l’autre quadratique, ils s’équilibrent nécessairement quelque part, et cet équilibre sera un point fixe non trivial. On voit aussi pourquoi la dimension 4 est spéciale : c’est là, et seulement là, que le premier terme disparaît.

Quatre dimensions, moins epsilon

Nous voici au second temps, celui qui produit des nombres. Mais avant de calculer, il faut régler une question de légitimité.

Le problème. Nous venons de faire un calcul à une boucle, et rien ne dit pour l’instant que s’arrêter là soit permis. Encore faudrait-il savoir en quoi l’on développe. Or la question « $\lambda$ est-il petit ? » n’a même pas de sens telle quelle : le couplage a une dimension de masse $4-d$, ce n’est donc pas un nombre pur, et il n’y a rien à quoi le comparer tant qu’on n’a pas fixé d’échelle.

Pire, l’équation de flot que nous venons d’obtenir dit que le terme $(4-d)\lambda$ est positif dès que $d < 4$ : le couplage est pertinent, il enfle quand on va vers les grandes échelles. Or la criticité est justement un phénomène de très grande échelle, puisque $\xi \to \infty$. La théorie des perturbations naïve y est donc condamnée, non parce que le couplage microscopique serait grand, mais parce que le couplage effectif grandit en chemin.

La dimension 4 est un seuil. La même équation de flot dit cependant autre chose. En dimension 4 exactement, le terme $(4-d)\lambda$ disparaît : le couplage cesse d’enfler, il devient marginal, et l’obstacle s’évanouit. La dimension 4 sépare donc deux régimes, celui où les fluctuations finissent toujours par dominer et celui où elles s’éteignent.

Ce seuil est assez important pour qu’on le vérifie autrement qu’en se fiant à notre calcul.

L’astuce de Wilson et Fisher :
Puisque tout est simple en dimension 4 et compliqué en dimension 3, autant ne pas y aller d’un coup. L’idée consiste à traiter la dimension elle-même comme un paramètre continu, et à s’écarter de 4 d’un petit montant :

L’opération est acrobatique, une dimension fractionnaire n’ayant aucun sens géométrique évident, mais elle est purement formelle : $d$ n’apparaît dans nos formules qu’à travers des exposants et le facteur angulaire $\Omega_d$, qui se prolongent analytiquement sans difficulté. On calculera donc en dimension $4-\varepsilon$, en supposant $\varepsilon$ petit, puis on posera bravement $\varepsilon = 1$ pour redescendre en dimension 3.

Reste que nous n’avons toujours pas répondu à la question de départ.

Ce que cela change dans nos deux équations. Peu de choses, en réalité. Le terme $(4-d)\lambda$ devient $\varepsilon\lambda$, par définition. Et il reste à évaluer le facteur angulaire $\Omega_d$, qui dépend lui aussi de la dimension : comme il ne multiplie que des termes de boucle, on peut se contenter de sa valeur en dimension 4.

Les deux équations prennent alors leur forme définitive :

Ce sont les équations de Gell-Mann–Low du ferromagnète. Tout ce qui suit n’est plus que l’étude d’un système dynamique à deux variables : on cherche ses points fixes, on linéarise autour d’eux, on lit les valeurs propres. Les exposants critiques sont au bout.

Les deux points fixes

Deux remarques, avant même d’étudier la stabilité :

• Le point de Wilson–Fisher n'existe séparément du point gaussien que si $\varepsilon \neq 0$ : en dimension 4 exactement, les deux se confondent. Et pour $\varepsilon < 0$, c'est-à-dire au-dessus de quatre dimensions, il se retrouve à couplage négatif, donc hors du domaine physique (le ressort repousse, l'énergie minimum est en $-\infty$, le vide est instable). C'est en dessous de quatre dimensions, et là seulement, qu'il entre en scène.
• Ensuite, il se trouve à $m^{2*} < 0$. Retenons-le, car ce détail apparemment technique aura une conséquence physique considérable une fois le diagramme de flot dessiné.

Qui attire, qui repousse ?

Un point fixe ne dit rien à lui seul : tout dépend de la façon dont les trajectoires voisines se comportent. On linéarise donc le flot autour de chacun, ce qui revient à évaluer la matrice jacobienne au point fixe et à en chercher les valeurs propres.

• Une valeur propre positive signale une direction pertinente, dont on s'écarte ;
• une valeur propre négative, une direction non pertinente, vers laquelle on retombe.

Le résultat tient en un tableau, et il est très parlant :

Le point gaussien est entièrement répulsif dès que $\varepsilon > 0$. C’est la mort du champ moyen énoncée en une ligne : en dessous de quatre dimensions, le couplage est pertinent et le système fuit la théorie libre. Au-dessus de quatre dimensions, en revanche, $y_\lambda = \varepsilon < 0$ : le couplage devient non pertinent, s’évanouit sous le flot, et le champ moyen redevient exact. La dimension 4 est la dimension critique supérieure, et c’est ce changement de signe qui le dit.

Le point de Wilson–Fisher est mixte, et c’est exactement le profil qu’on attend d’un point critique. Sa direction attractive explique l’universalité : peu importe la valeur initiale du couplage, on aboutit au même point fixe. Son unique direction répulsive explique qu’un seul paramètre, la température, doive être réglé pour atteindre la criticité.

La récolte : $y_t$ et $y_h$

Le programme fixé au début du chapitre était de produire les deux nombres de Widom. Le premier est là :

Encore faut-il justifier qu’il s’agit bien du $y_t$ de Widom, et non d’une valeur propre qui lui ressemblerait. C’est le cas par construction. Widom définissait $y_t$ par $t’ = b^{y_t}t$, c’est-à-dire par la façon dont la température réduite se dilate sous un changement d’échelle. Or $t$ et $m^2$ sont proportionnels ($m^2 = a(T-T_c)$), et la direction propre associée est justement celle qui s’écarte du point fixe. La valeur propre de la jacobienne dans cette direction est $y_t$. On en tire immédiatement

$$ \nu = \frac{1}{y_t} = \frac{1}{2-\varepsilon/3} = \frac12\left(1-\frac{\varepsilon}{6}\right)^{-1} \simeq \frac12 + \frac{\varepsilon}{12} $$

Le second nombre, $y_h = (d+2)/2$, garde sa valeur naïve : il n’est pas corrigé à une boucle. Ce n’est pas un oubli, et la raison relie ce chapitre au calcul de coquille mené plus haut.

Avec $y_t$ et $y_h$ en main, les formules de Widom livrent les six exposants. Mais avant de récolter, il faut regarder le diagramme de flot dans son ensemble, car il réserve une surprise que les nombres seuls ne montreraient pas.

Les trajectoires partant de $m^2 > 0$ filent toutes vers les grands $m^2$ positifs : paramagnétisme, en accord avec le champ moyen.

Mais côté $m^2 < 0$, la surprise : partir avec une masse carrée négative ne garantit plus le ferromagnétisme. La vraie frontière entre les phases n’est pas la ligne $m^2 = 0$ du champ moyen, c’est la séparatrice, qui passe par le point de Wilson–Fisher, lequel se trouve en $m^{2*} = -\varepsilon/6 < 0$. Si le couplage $\lambda$ (l’intensité des fluctuations) est assez fort, le flot ramène le système côté paramagnétique : les fluctuations peuvent voler la transition au champ moyen.

Ce que cela veut dire sur la paillasse

L’énoncé ci-dessus n’est pas directement testable, car on ne règle pas $m^2$ et $\lambda$ avec des boutons. Traduisons-le. Comme $m^2 = a(T - T_c^{\text{CM}})$, dire que la frontière se situe à $m^2 < 0$ revient à dire qu’il existe des températures inférieures à la prédiction du champ moyen où le système reste pourtant désordonné. L’énoncé mesurable est donc :

C’est massivement vérifié, et de la façon la plus nette sur le modèle d’Ising, où la comparaison est sans échappatoire puisqu’on connaît la réponse exacte. En unités $k_{\mathrm B}T_c/J$ :

La gradation dit tout : le champ moyen surestime toujours $T_c$, et l’écart croît quand la dimension diminue, c’est-à-dire quand les fluctuations pèsent davantage. En dimension 1, le vol est total : le champ moyen annonce une transition, il n’y en a aucune.

Côté matériaux, les aimants de basse dimensionnalité effective sont les témoins les plus parlants. Un composé quasi unidimensionnel, où l’échange le long des chaînes est énorme mais le couplage entre chaînes minuscule, s’ordonne à une température très inférieure à ce que l’échange laisserait prévoir ; sans le faible couplage tridimensionnel résiduel, il ne s’ordonnerait pas du tout. Même chose pour les plans cuivre-oxygène des cuprates. Le théorème de Mermin–Wagner en donne la version rigoureuse : à symétrie continue et $d \le 2$, aucun ordre à longue portée à température non nulle, quelle que soit la force de l’interaction.

Version extrême du phénomène, enfin : quand le flot ne possède aucun point fixe stable accessible, la transition ne se contente pas de se déplacer, elle change de nature et devient du premier ordre. C’est le mécanisme de Halperin, Lubensky et Ma, difficile à observer dans les supraconducteurs mais bien établi à la transition nématique–smectique A des cristaux liquides, qui en est l’analogue formel.

Les exposants, et le miracle de l’universalité

Il ne reste qu’à récolter. Avec $y_t = 2 - \varepsilon/3$ et $y_h = (6-\varepsilon)/2$, les formules de Widom donnent, à l’ordre $\varepsilon$ :

$\displaystyle \begin{aligned} \alpha &= \frac{\varepsilon}{6}\\ \beta &= \frac12 - \frac{\varepsilon}{6}\\ \gamma &= 1 + \frac{\varepsilon}{6}\\ \delta &= 3 + \varepsilon\\ \nu &= \frac12 + \frac{\varepsilon}{12}\\ \eta &= 0 \end{aligned} $

Puis vient le geste particulièrement effronté : pour décrire le monde réel à trois dimensions, on pose $\varepsilon = 1$, très au-delà du domaine où le développement est censé valoir. Et cela marche remarquablement bien :

L’ordre $\varepsilon^2$ s’approche des valeurs acceptées pour le modèle d’Ising tridimensionnel, elles-mêmes en bon accord avec l’expérience.

Ce que nous avons gagné, en termes mesurables

Revenons au barreau de fer, car c’est là que se mesure le progrès.

Le champ moyen prédisait que l’aimantation s’éteint comme $\sqrt{T_c - T}$. La renormalisation prédit $(T_c-T)^{0{,}33}$, et c’est ce que donne la mesure. Ce n’est pas un raffinement décoratif : à un degré sous le point de Curie, l’écart entre les deux prédictions est visible sur la courbe expérimentale, et il l’était depuis les années 1960 sans qu’on sache l’expliquer.

Le champ moyen prédisait $\alpha = 0$, c’est-à-dire aucune divergence de la chaleur spécifique. On en mesure une. La renormalisation la produit.

Et surtout, nous savons désormais pourquoi ces nombres sont ce qu’ils sont : ce sont des valeurs propres de la linéarisation du flot au voisinage d’un point fixe. Un exposant critique n’est plus un paramètre ajusté sur des données, c’est une propriété géométrique d’une transformation dans l’espace des théories.

L’universalité, incarnée

La leçon dépasse largement l’aimant, et il faut la formuler en objets réels pour en mesurer l’étrangeté. Considérons trois expériences n’ayant apparemment rien de commun :

• un barreau de fer chauffé vers 1043 K, dont on suit l'aimantation ;
• du dioxyde de carbone porté à son point critique liquide-gaz (304 K, 74 bar), dont on suit l'écart de densité entre les deux phases ;
• un mélange binaire de deux liquides, méthanol et hexane par exemple, approchant sa température de démixtion, dont on suit l'écart de concentration.

Les trois systèmes n’ont rien à voir : des spins d’électrons dans un métal, des molécules dans un fluide, deux espèces chimiques qui se séparent. Leurs constituants, leurs interactions, leurs échelles d’énergie diffèrent de plusieurs ordres de grandeur.

Les trois donnent le même $\beta \approx 0{,}33$, le même $\gamma$, le même $\nu$.

Dans tout notre calcul, en effet, aucun détail microscopique n’est entré : les exposants ne dépendent que de la dimension de l’espace et de la symétrie du paramètre d’ordre. Or les trois systèmes partagent la dimension 3 et la même symétrie $\mathbb Z_2$ (spins hauts contre bas, phase dense contre diluée, riche en méthanol contre riche en hexane), et cela suffit à leur imposer les mêmes nombres.

C’est l’universalité, et c’est le semi-groupe qui l’explique : le flot vers les grandes échelles efface les détails microscopiques (variables non pertinentes) et toutes les théories d’une même classe convergent vers le même point fixe. Le point fixe ne se souvient de rien, sauf de la dimension et de la symétrie. C’est la raison profonde pour laquelle un modèle aussi grossier que $\phi^4$, quelques termes choisis par simple argument de symétrie et sans un seul atome dedans, peut prédire une décimale mesurée sur du fer réel.

Bilan

$\displaystyle C, M, \chi, \xi \sim |t|^{-\text{exposants}} \;\xrightarrow{\ \text{Widom}\ }\; f(t,h) = b^{-d}f(b^{y_t}t,\, b^{y_h}h) \;\xrightarrow{\ \text{gaussien}\ }\; y_t = 2,\ y_h = \tfrac{d+2}{2} \;\xrightarrow{\ \text{1 boucle},\ d = 4-\varepsilon\ }\; \text{point fixe de Wilson–Fisher} \;\xrightarrow{\ \text{linéarisation}\ }\; y_t = 2 - \tfrac{\varepsilon}{3},\ y_h \text{ intact} \;\xrightarrow{\ \varepsilon = 1\ }\; \text{exposants d'Ising 3D, universalité} $

Pièges

• L'identification $m^2 = a(T - T_c)$ est le pont entre le champ et la thermodynamique : la température entre dans la théorie par le terme de masse, et c'est pour cela que $y_t$ se lit sur le flot de $m^2$.
• Le champ moyen est aveugle aux fluctuations : le résultat le plus contre-intuitif du flot est qu'un $m^2 < 0$ initial peut aboutir à un paramagnétique si $\lambda$ est grand. La transition n'appartient pas au lagrangien, elle appartient au flot.
• Dans le calcul à une boucle du groupe de renormalisation, les intégrales internes ne courent que sur la coquille $\Lambda/b \leq |p| \leq \Lambda$.
• Le développement en $\varepsilon = 4 - d$ est utilisé à $\varepsilon = 1$, hors de tout domaine de validité contrôlé, et la série est de surcroît asymptotique : son succès est un fait d'expérience (et un petit miracle), pas un théorème.
• $\eta = 0$ à une boucle : l'exposant de la fonction de corrélation n'apparaît qu'à deux boucles. Un $\eta$ non nul mesure l'écart du champ à sa dimension naïve, d'où le nom de dimension anormale.
• Vocabulaire à verrouiller : pertinent (grandit sous le flot, gouverne la physique aux grandes échelles), non pertinent (rétrécit, oubliable), marginal (immobile au premier ordre, tout se joue aux ordres suivants). En dimension $4-\varepsilon$, $\lambda$ est pertinent près du point gaussien ; en dimension $> 4$, il devient non pertinent et le champ moyen dit vrai.
• Les facteurs de symétrie des diagrammes sont la source d'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et ils ne s'improvisent pas : ils se comptent, en dénombrant les appariements de Wick équivalents et en les divisant par les factorielles du vertex. Ici, la boucle simple porte $1/2$, et la bulle porte $1/2$ multiplié par les 3 canaux. Une erreur d'un facteur 2 à cet endroit déplace le point fixe et fausse tous les exposants.
• L'universalité n'affirme pas que tout est pareil : $T_c$, les amplitudes, les détails hors du régime critique restent propres à chaque matériau. Seuls les exposants (et certains rapports d'amplitudes) sont universels.