Théorie quantique des champs – Partie 11

Heure des comptes. Depuis le début, un cadavre traîne dans le placard : presque toutes les intégrales de boucles que nous avons écrites divergent, et nous nous sommes soigneusement abstenus de les calculer jusqu’au bout. Cette partie affronte le problème, et la résolution est l’une des plus belles histoires de la physique du vingtième siècle : les infinis ne sont pas une maladie de la théorie, ils sont le symptôme d’une erreur de variables. Nous faisions de la théorie des perturbations autour des mauvais paramètres.

• Le vrai sujet : avant même de parler d'infinis, les interactions changent ce qu'est une particule. Une particule en interaction s'habille d'un nuage de fluctuations et devient une quasiparticule, de masse et de charge modifiées. Ce phénomène s'appelle la renormalisation, et il existerait même si aucune intégrale ne divergeait.
• Le problème et sa solution : les boucles divergent, on coupe les intégrales à une impulsion $\Lambda$, et on ajoute des contretermes qui effacent toute dépendance en $\Lambda$. On découvre alors que ces contretermes ne sont rien d'autre que le changement de variables des paramètres nus vers les paramètres physiques.
• La machinerie en action : deux fonctions de Green concentrent tout l'habillage, la self-énergie $\tilde\Sigma$ (qui déplace la masse) et la fonction de vertex $\tilde\Gamma$ (qui écrante le couplage), reliées au propagateur exact par une resommation géométrique.
• Le changement de regard : Wilson propose de ne plus cacher $\Lambda$ mais de vivre avec, et de regarder comment les « constantes » de couplage varient quand on change l'échelle d'observation. C'est le groupe de renormalisation, avec trois applications spectaculaires : la liberté asymptotique, la localisation d'Anderson, et la transition de Kosterlitz–Thouless (où l'on retrouve nos vortex de la partie précédente).

La machine sera alors complète, mais nous ne l’aurons encore fait tourner sur aucun cas réel. C’est l’objet de la partie suivante, entièrement consacrée à un seul exemple mené jusqu’aux nombres : la transition ferromagnétique, le point fixe de Wilson–Fisher, et le miracle de l’universalité.

Quasiparticules et surface de Fermi

L’habillage, une idée d’abord classique

Avant tout formalisme, une image. Poussons une balle de ping-pong immergée dans l’eau : pour l’accélérer, il faut aussi accélérer l’eau qu’elle déplace, et tout se passe comme si la balle avait une masse effective $m^* = m + \tfrac12\rho V$, où $\rho V$ est la masse d’eau déplacée (le résultat est exact en fluide parfait). La balle ne peut pas se déplacer sans traîner son environnement avec elle : l’objet qui se propage n’est plus « la balle », c’est « la balle plus sa déformation du fluide », et ses paramètres sont modifiés. Voilà exactement ce que les interactions font aux particules d’une théorie quantique des champs.

Deux exemples de matière condensée dans le même esprit : une charge positive plongée dans un métal s’entoure d’un nuage électronique qui écrante sa charge apparente, et un électron dans un cristal acquiert une masse effective $m^*$ différente de sa masse dans le vide. La différence avec une théorie « fondamentale » comme l’électrodynamique quantique est seulement épistémique : en matière condensée, on peut sortir l’électron du cristal et comparer, tandis qu’on ne peut pas sortir l’électron du vide quantique. Le cadre conceptuel, lui, est identique.

L’allumage adiabatique et le poids de quasiparticule

Reprenons la théorie libre : un vide $|0\rangle$, des opérateurs $\hat a^\dagger_{\mathbf p}$ qui créent des particules une par une, et un propagateur $\tilde G_0(p) = \mathrm i/(p^2 - m^2 + \mathrm i\epsilon)$ dont le pôle donne la masse. Branchons maintenant, très lentement, une interaction : $\hat H = \hat H_0 + \lambda(T)\,\hat H’$, avec $\lambda$ qui monte de 0 à 1. Le fondamental devient $|\Omega\rangle$, les états propres deviennent $|{\mathbf p}_\lambda\rangle$, et le système est un chaudron bouillonnant de paires virtuelles. Une question angoissante se pose : dans ce chaos, existe-t-il encore des excitations à une particule ? Toute notre théorie des champs repose sur la création et l’annihilation de particules individuelles ; si la réponse est non, tout s’effondre.

Le nœud du problème est que nous n’avons pas les bons outils. Pour créer une excitation propre du système en interaction, il faudrait un opérateur $\hat q^\dagger_{\mathbf p}$ tel que $|{\mathbf p}_\lambda\rangle = \hat q^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle$, mais nous ne le connaissons pas. Tout ce que nous possédons, ce sont les opérateurs libres $\hat a^\dagger_{\mathbf p}$. Et un opérateur libre appliqué au vide en interaction se comporte comme un éléphant dans un magasin de porcelaine : rien ne l’empêche de créer plusieurs excitations à la fois. Le résultat est une superposition :

$\displaystyle \hat a^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle = |{\mathbf p}_\lambda\rangle\,\langle{\mathbf p}_\lambda|\hat a^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle + \sum(\text{états multiparticules d'impulsion totale } \mathbf p) $

$\hat a^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle$ peut par exemple contenir un état avec deux particules et une antiparticule comme $\hat{q}_{\boldsymbol{p}_1}^{\dagger} \hat{q}_{\boldsymbol{p}_2}^{\dagger} \hat{q}_{\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}}|\Omega\rangle$¹.

Le tableau de correspondance :

Le propagateur habillé

Une reformulation fait le pont avec l’expérience :
On écrit le propagateur comme une superposition de propagateurs libres de masses variables, pondérés par la fonction spectrale $\rho(M^2)$ :

$\displaystyle G(x,y) = \int_0^{\infty}\frac{\mathrm dM^2}{2\pi}\,\rho(M^2)\,\Delta(x,y,M^2) $

Pour une particule stable, $\rho$ contient un pic de Dirac de poids $Z$ en $M^2 = m_{\mathrm P}^2$, puis un continuum multiparticule qui démarre vers $4m_{\mathrm P}^2$ (le seuil de création de deux particules réelles).

Pour une quasiparticule de durée de vie finie, le pic de Dirac s’élargit en une bosse de largeur $2\Gamma_{\mathbf p}$. La condition $E_{\mathbf p} > \Gamma_{\mathbf p}$ se lit alors à l’œil : le pic doit être étroit devant sa distance à l’origine. Les parties multiparticules subissent en général des interférences destructives et s’éteignent bien avant $\Gamma_{\mathbf p}^{-1}$, laissant la quasiparticule seule au milieu des ruines.

Les quasiparticules d’un métal, et une prédiction mesurable

En matière condensée, le renversement de point de vue est spectaculaire : un métal réel contient $N \approx 10^{23}$ électrons en interaction forte, et la renormalisation consiste à le décrire comme un vide (le fondamental, sans excitation) peuplé d’un petit nombre d’excitations élémentaires faiblement couplées.

Deux familles d’excitations élémentaires existent :

• les excitations collectives (phonons, plasmons), qui mobilisent tous les constituants et disparaissent si l'on coupe les interactions,
• et les quasiparticules, qui sont des excitations à une particule habillées.

Le propagateur d’un métal, construit pas à pas

Nous allons extraire de ce propagateur une prédiction mesurable, mais l’objet lui-même n’est plus celui des chapitres précédents. Trois écarts sont à poser noir sur blanc avant tout calcul.

Premier écart : le fondamental n’est plus vide. Dans le vide relativiste, $\hat a_{\mathbf p}|0\rangle = 0$ pour toute impulsion : il n’y a rien à détruire. Dans un métal à $T = 0$, le fondamental $|\Omega\rangle$ est la mer de Fermi remplie jusqu’à $p_{\mathrm F}$, et le comportement dépend maintenant de l’impulsion considérée :

• si $|\mathbf p| > p_{\mathrm F}$, l'état est libre : $\hat a_{\mathbf p}|\Omega\rangle = 0$, et seul $\hat a^\dagger_{\mathbf p}$ fait quelque chose (il ajoute un électron au-dessus de la mer) ;
• si $|\mathbf p| < p_{\mathrm F}$, l'état est occupé : c'est $\hat a^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle = 0$ qui s'annule, par le principe de Pauli, et seul $\hat a_{\mathbf p}$ fait quelque chose (il creuse un trou dans la mer).

Deuxième écart : ce sont des fermions. Le produit ordonné dans le temps change de signe quand on échange deux opérateurs fermioniques. Ce signe, purement mécanique, sera l’origine du signe moins qui nous attend plus bas.

Troisième écart : on travaille en temps, à impulsion fixée. L’objet est $G(\mathbf p, t)$ et non $\tilde G(p)$ : on suit une impulsion donnée au cours du temps, ce qui est le langage naturel de la matière condensée.

Les deux lignes ne sont pas deux écritures d’une même chose : ce sont deux histoires physiques différentes, et c’est là que tout se joue.

• Pour $t>0$, on lit de droite à gauche : on ajoute un électron à l'instant 0, on le retire à l'instant $t$. Cela n'a de sens que si la place était libre, donc si $|\mathbf p| > p_{\mathrm F}$. C'est la propagation d'un électron.
• Pour $t<0$, l'opérateur le plus ancien est celui de gauche dans la moyenne, $\hat a_{\mathbf p}(t)$ : on retire un électron à l'instant $t$, on le remet à l'instant 0. Cela n'a de sens que si la place était occupée, donc si $|\mathbf p| < p_{\mathrm F}$. C'est la propagation d'un trou.

Voilà l’origine des « deux termes » du propagateur d’un métal : chacun n’existe que d’un côté de la surface de Fermi, et les deux histoires se déroulent dans des sens du temps opposés. Cette opposition se traduit, après transformation de Fourier, par des prescriptions de contour opposées.

Lire l’occupation sur le propagateur

La quantité que nous voulons prédire est la distribution d’impulsion du fondamental, $n_{\mathbf p} = \langle\hat a^\dagger_{\mathbf p}\hat a_{\mathbf p}\rangle$ : le nombre moyen d’électrons d’impulsion $\mathbf p$.

Or regardons la deuxième ligne de la définition du propagateur, celle qui vaut pour $t<0$ : elle contient déjà $\langle\hat a^\dagger_{\mathbf p}(0)\,\hat a_{\mathbf p}(t)\rangle$, c’est-à-dire presque exactement $n_{\mathbf p}$. Il ne manque qu’à ramener les deux opérateurs au même instant, ce qui s’obtient en faisant tendre $t$ vers zéro par valeurs négatives :

Trois remarques :

• Le signe moins : c'est le signe fermionique du produit ordonné, celui que nous avons pris soin d'écrire dans la définition. Pour des bosons, il n'y serait pas.
• La limite par la gauche : à $t = 0$ exactement, l'ordre des deux opérateurs est ambigu, et les deux ordres ne donnent pas la même chose puisque $\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a = 1$. Approcher par les temps négatifs est le seul moyen de sélectionner l'ordre $\hat a^\dagger\hat a$, celui qui compte les électrons présents. En approchant par $t\to0^+$, on obtiendrait $1 - n_{\mathbf p}$, c'est-à-dire le nombre de places libres. La limite est un choix d'ordre déguisé en question de continuité.
• Le facteur global dépend de la convention. Si le propagateur est défini avec un $-\mathrm i$ devant la moyenne, cela donne $n_{\mathbf p} = -\mathrm i\lim_{t\to0^-}G$.

Le calcul du saut

Il ne reste qu’à mettre le propagateur habillé dans cette formule. Repassons en fréquence :

$\displaystyle n_{\mathbf p} = -\lim_{t\to0^-}\int\frac{\mathrm d\omega}{2\pi}\,\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\,\tilde G(\mathbf p,\omega) $

Pour $t < 0$, le facteur $\mathrm e^{-\mathrm i\omega t} = \mathrm e^{\mathrm i\omega|t|}$ décroît quand $\omega$ a une partie imaginaire positive : on referme donc le contour d’intégration par le haut, et le théorème des résidus ne ramasse que les pôles du demi-plan supérieur.

Et quels sont-ils ? Ceux qui portent $-\mathrm i\epsilon$, c’est-à-dire, d’après ce que nous venons d’établir, exactement les pôles de trous, ceux qui n’existent que pour $|\mathbf p| < p_{\mathrm F}$. Le calcul se referme donc tout seul :

$\displaystyle n_{\mathbf p} = Z_{\mathbf p}\,\theta(p_{\mathrm F} - |\mathbf p|) + \big(\text{fond multiparticule, régulier}\big) $

Dernière étape, la lecture. Le fond multiparticule est une fonction continue de $|\mathbf p|$ : c’est un continuum, sans pôle isolé, donc sans saut. Toute la discontinuité de $n_{\mathbf p}$ est portée par le premier terme, et l’échelon $\theta$ en fixe la position, la surface de Fermi, tandis que $Z_{\mathbf p}$ en fixe la hauteur.

Le liquide de Fermi de Landau

Landau propose une autre façon, phénoménologique, de penser les métaux : décrire un métal fortement en interaction comme presque identique au gaz de Fermi libre. L’idée paraît saugrenue : comment des électrons interagissant fortement au sein du métal, comme dans un liquide, pourraient être modélisés par un gaz ? Mais c’est pourtant devenu le modèle standard du métal.
Attention : les quasiparticules de Landau ne sont pas celles de la théorie des champs vues plus haut. Nous verrons la différence dans un instant.

L’idée maîtresse est la continuité adiabatique. On allume l’interaction très lentement, et on postule que chaque état propre à une particule du gaz évolue continûment vers un état propre à une particule du liquide. Chaque électron du gaz, y compris ceux enfouis au fond de la mer de Fermi, devient une quasiparticule de Landau : la correspondance est un pour un, et la distribution d’impulsion du fondamental est inchangée. Chaque électron finit habillé par son nuage d’interaction.

Mesurons l’écart avec les quasiparticules de la théorie des champs.
En théorie des champs, le fondamental $|\Omega\rangle$ ne contient aucune quasiparticule, et l’existence d’une quasiparticule est suspendue à $Z_{\mathbf p} \neq 0$. Chez Landau, le fondamental contient autant de quasiparticules qu’il y avait d’électrons, elles portent la même charge que l’électron (ce qui garantit la conservation de la charge), et leur existence ne doit rien à $Z$.

Où les deux images se rejoignent-elles ?
Sur les états faiblement excités. Ajoutons un électron d’impulsion $|\mathbf p’| > p_{\mathrm F}$ et allumons : contrairement aux électrons de la mer, cet électron excité a de l’espace de phase pour diffuser, et il acquiert une durée de vie finie.

Encore cet espace de phase est-il sévèrement restreint par le principe de Pauli : il faut deux états finals au-dessus de $p_{\mathrm F}$ et un partenaire pris juste sous $p_{\mathrm F}$, et la fenêtre d’énergie disponible se referme quadratiquement quand on s’approche de la surface. Le taux de désintégration en découle :

$\displaystyle \Gamma_{\mathbf p} \propto (|\mathbf p| - p_{\mathrm F})^2 $

L’énergie, elle, vaut $E_{\mathbf p} \approx v_{\mathrm F}(|\mathbf p| - p_{\mathrm F})$, linéaire. Près de la surface de Fermi, le linéaire bat toujours le quadratique : $E_{\mathbf p} > \Gamma_{\mathbf p}$, et la quasiparticule est bien définie. Loin de la surface, elle ne l’est plus. La notion de quasiparticule dans un métal n’a de sens qu’au voisinage de la surface de Fermi, et c’est exactement là que vit la physique de basse température.

Le dernier étage de la construction de Landau est un développement de l’énergie d’un état faiblement excité en puissances des écarts d’occupation $\delta n_{\mathbf p} = n_{\mathbf p} - n^{(0)}_{\mathbf p}$ :

$\displaystyle E = E_g + \sum_{\mathbf p}\,(E^{(0)}_{\mathbf p} - \mu)\,\delta n_{\mathbf p} + \frac12\sum_{\mathbf p\mathbf p'} f_{\mathbf p\mathbf p'}\,\delta n_{\mathbf p}\,\delta n_{\mathbf p'} + \cdots $

On développe ainsi en une quantité que l’on connaît ($\delta n_{\mathbf p}$, le nombre d’excitations) plutôt qu’en des quantités inaccessibles. Le terme quadratique $f_{\mathbf p\mathbf p’}$ encode toutes les interactions entre quasiparticules ; décomposé en polynômes de Legendre (après restauration du spin), il livre les paramètres de Landau $F^{\mathrm s}_\ell, F^{\mathrm a}_\ell$, un petit jeu de nombres qui fixe les observables : par exemple $m^* = m\,(1 + F^{\mathrm s}_1)$ pour la masse effective, et la susceptibilité de spin en $1/(1+F^{\mathrm a}_0)$. Une théorie complète du métal tient dans une poignée de constantes phénoménologiques, et les traitements diagrammatiques lourds confirment ses prédictions.

Bilan

Pièges

• Deux notions de quasiparticule cohabitent dans ce chapitre et il ne faut pas les confondre : celle de la théorie des champs (le fondamental est vide, l'existence exige $Z_{\mathbf p} \neq 0$) et celle de Landau (le fondamental est plein, correspondance un pour un, aucun besoin de $Z$). Elles ne coïncident que pour les états faiblement excités près de $p_{\mathrm F}$.
• La durée de vie est $(2\Gamma_{\mathbf p})^{-1}$ et non $\Gamma_{\mathbf p}^{-1}$ : le facteur 2 vient du module carré de la fonction d'onde ($e^{-\Gamma t}$ en amplitude, $e^{-2\Gamma t}$ en probabilité).
• Dans le propagateur habillé, $\Gamma_{\mathbf p}$ occupe la place de l'infinitésimal $\epsilon$ : la prescription de contour devient une physique (durée de vie finie), ce n'est plus un artifice de calcul.
• Une quasiparticule n'a de sens que si $E_{\mathbf p} > \Gamma_{\mathbf p}$ : dans un métal, cela restreint la notion au voisinage de la surface de Fermi, puisque $E$ est linéaire et $\Gamma$ quadratique en $(|\mathbf p| - p_{\mathrm F})$.
• Le renversement de vocabulaire de la matière condensée : le « vide » d'un métal contient $10^{23}$ particules. Vide signifie « sans excitation », pas « sans rien ».
• $Z^{1/2}$ est une amplitude, $Z$ un poids (une probabilité) : le saut de $n_{\mathbf p}$ vaut $Z$, l'élément de matrice vaut $Z^{1/2}$.
• Dans $n_{\mathbf p} = -\lim_{t\to0^-}G(\mathbf p,t)$, le sens de la limite est le contenu de la formule, pas une précaution : par la gauche on compte les électrons présents, par la droite on compterait les places libres, $1 - n_{\mathbf p}$. Et le signe moins est le signe fermionique du produit ordonné, pas une convention.
• Le propagateur d'un métal a deux termes parce que le fondamental est plein : électrons au-dessus de $p_{\mathrm F}$, trous en dessous, avec des prescriptions $\pm\mathrm i\epsilon$ opposées puisque les deux histoires se déroulent dans des sens du temps opposés. Rien de tel dans le vide relativiste, où le même opérateur agit pour toutes les impulsions.
• Le facteur global des relations propagateur-observable dépend de la convention adoptée pour le $\mathrm i$ : les textes qui posent $G = -\mathrm i\langle T\cdots\rangle$ écrivent $n_{\mathbf p} = -\mathrm i\lim_{t\to0^-}G$. Vérifier la convention avant de comparer deux formules.
• La renormalisation n'est pas une machine à effacer les infinis. Elle est nécessaire pour toute théorie en interaction, avec ou sans divergences (le gaz d'électrons en a peu, l'électrodynamique quantique en a beaucoup, la physique de l'habillage est la même).

Le problème (divergences) et sa solution (contretermes)

Le problème

Le diagnostic tient en trois intégrales, avec $a$ fini et positif :

$\displaystyle \int_a^{\infty}\mathrm dx\, x^n \ \text{diverge pour } n \geq 0 $

$\displaystyle \int_a^{\infty}\frac{\mathrm dx}{x} = [\ln x]_a^{\infty} \ \text{diverge} $

$\displaystyle \int_a^{\infty}\frac{\mathrm dx}{x^m} = \frac{a^{-m+1}}{m-1} \ \text{converge pour } m>1 $

Le deuxième cas, où numérateur et dénominateur portent autant de puissances, s’appelle une divergence logarithmique.

Reprenons la théorie $\phi^4$ :

$\displaystyle \mathcal L = \frac12(\partial_\mu\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 $

Et calculons enfin, jusqu’au bout, l’amplitude de diffusion à deux particules au deuxième ordre. Quatre diagrammes contribuent : le vertex nu, et trois boucles (une par canal $s$, $t$, $u$).

Couper l’intégrale à $\Lambda$ fini est un geste pragmatique parfaitement honorable : cela revient à renoncer délibérément aux détails du champ plus fins que $1/\Lambda$. En matière condensée c’est même la routine (on ignore ce qui est plus petit que l’atome). Pour les particules fondamentales, la justification est moins claire, mais vivons avec, inconfortablement. Le vrai problème est ailleurs : les amplitudes calculées dépendent de $\Lambda$, une constante arbitraire. Il faut l’évacuer.

La solution

On recommence alors tout le programme (quantification canonique, développement de Dyson, diagrammes) avec le lagrangien complété, et au deuxième ordre il suffit d’ajouter un diagramme de contreterme :

$\displaystyle \mathrm i\mathcal M^{(2)} = -\mathrm i\lambda + \mathrm ia\lambda^2\big(3\ln\Lambda^2 - \ln s - \ln t - \ln u\big) + \mathrm iC^{(2)} = -\mathrm i\lambda - \mathrm ia\lambda^2\,\big(\ln s + \ln t + \ln u\big) $

L’amplitude dépend des impulsions (c’est normal, c’est de la physique) mais plus du tout de $\Lambda$. Mission accomplie, au deuxième ordre.

Apprivoiser une intégrale quelconque

On pourrait craindre une fuite en avant : et si le troisième ordre exigeait un contreterme en $\phi^6$, puis le vingt-septième ordre 513 contretermes inédits ? Une théorie pourrait ne jamais cesser d’absorber de nouveaux types de contretermes. Le miracle de la renormalisation est que, pour une large classe de théories, un petit nombre fixe de types de contretermes suffit à tous les ordres (trois pour l’électrodynamique quantique). Seuls les coefficients $C^{(n)}$ changent d’ordre en ordre, et ils se calculent. Ces théories sont dites renormalisables.

La méthode systématique s’illustre sur le diagramme sunset (une self-énergie à deux boucles).

L’amplitude correspondante est  :

$\displaystyle \mathrm{i} \mathcal{M}=\frac{(-\mathrm{i} \lambda)^2}{6} \int_0^{\Lambda} \frac{\mathrm{d}^4 q}{(2 \pi)^4} \frac{\mathrm{~d}^4 k}{(2 \pi)^4} \frac{\mathrm{i}}{q^2-m^2+\mathrm{i} \epsilon} \frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i} \epsilon} \frac{\mathrm{i}}{(p-q-k)^2-m^2+\mathrm{i} \epsilon} $

Appelons $I$ cette intégrale.

L’idée clé, qui rend tout systématique : un diagramme de Feynman se développe en série de Taylor de l’impulsion externe.

Pour sunset, la symétrie $\phi \to -\phi$ du lagrangien interdit les puissances impaires, donc

$\displaystyle I = \alpha + \beta\,p^2 + \gamma\,p^4 + \cdots $

Toute la divergence est concentrée dans les coefficients de ce polynôme, et on la localise en dérivant :

• À $p = 0$, $I = \alpha$. Le comptage de puissances (huit en haut, six en bas) dit que $\alpha$ diverge quadratiquement en $\Lambda$.
• Deux dérivations en $p$ retirent deux puissances au numérateur : $I'' = 2\beta$ diverge logarithmiquement.
• Deux dérivations de plus rendent l'intégrale convergente : $\gamma$ et la suite sont finis, on s'arrête là.

La série de Taylor permet donc d’isoler toute la « maladie » de l’infini dans les tous premiers termes de la série (qui sont de simples constantes), tandis que la queue infinie de la série est totalement saine.

Il faut donc deux contretermes : un coefficient $A$ (quadratique en $\Lambda$) sans facteur cinématique, et un coefficient $B$ (logarithmique) accompagné d’un facteur $p^2$.

Comment obtenir un facteur $p^2$ depuis le lagrangien ? Par un terme de gradient, puisqu’en espace des impulsions $(\partial_\mu\phi)^2 \to p^2$. D’où les contretermes

$\displaystyle \mathcal L_{\text{ct}} = \frac{A}{2}\phi^2 + \frac{B}{2}(\partial_\mu\phi)^2 $

Leur règle de Feynman combinée est $\mathrm i\,(B^{(n)}p^2 + A^{(n)})$ sur une ligne de propagateur.

Ce que les contretermes veulent dire

Nous avons ajouté trois termes au lagrangien : n’avons-nous pas changé la physique ? La réponse est le cœur conceptuel du chapitre.

Un précédent entièrement classique

Avant toute théorie des champs, un détour par l’oscillateur anharmonique classique :

$\displaystyle \ddot x + \omega_0^2\,x + \varepsilon\,x^3 = 0 $

Cherchons sa solution en perturbation, en développant $x = x_0 + \varepsilon x_1 + \cdots$ autour de la solution libre $x_0 = A\cos\omega_0 t$.

À l’ordre $\varepsilon$, l’équation pour $x_1$ est celle d’un oscillateur de fréquence $\omega_0$ forcé à sa propre fréquence de résonance, puisque $x_0^3$ contient un terme en $\cos\omega_0 t$. La réponse résonnante croît linéairement en temps : on obtient un terme dit séculaire, proportionnel à $t\sin\omega_0 t$, qui diverge quand $t\to\infty$. Le développement perturbatif s’effondre aux grands temps, alors que le mouvement réel est parfaitement borné et périodique.

Le diagnostic n’est pas que la perturbation serait trop forte. C’est que l’anharmonicité change la période de l’oscillateur, et qu’en insistant pour tout écrire en fonction de $\omega_0$, on demande à la série de reproduire un décalage de fréquence en empilant des termes qui divergent. Le remède, dû à Lindstedt et Poincaré, consiste à introduire la vraie fréquence $\omega$ et à écrire l’ancienne en fonction d’elle :

$\displaystyle \omega_0^2 = \omega^2 - \varepsilon\,\delta\omega^2 + O(\varepsilon^2) \;\Longrightarrow\; \ddot x + \omega^2 x + \varepsilon\big(x^3 - \delta\omega^2\,x\big) = 0 $

Un terme supplémentaire est apparu, $-\varepsilon\,\delta\omega^2 x$, dont le coefficient est ensuite ajusté ordre par ordre pour annuler les termes séculaires. Et ce terme a la même forme que le terme $\omega^2 x$ déjà présent : c’est un contreterme, au sens plein.

Tout y est déjà, sans une once de théorie quantique des champs : les divergences viennent d’un mauvais choix de paramètre de développement, le remède est un changement de variables vers le paramètre physique, ce changement engendre mécaniquement un terme supplémentaire de forme déjà connue, et son coefficient se fixe ordre par ordre en exigeant un comportement correct. La renormalisation en théorie des champs est le même geste, dans un décor plus intimidant.

Le changement de variables, déroulé

Reprenons donc au commencement. Notons désormais $\phi_0$, $m_0$ et $\lambda_0$ les ingrédients du lagrangien de départ, l’indice zéro rappelant qu’aucun des trois n’est mesurable :

$\displaystyle \mathcal L = \frac12(\partial_\mu\phi_0)^2 - \frac{m_0^2}{2}\phi_0^2 - \frac{\lambda_0}{4!}\phi_0^4 $

Premier changement de variables : le champ. Le chapitre précédent nous a appris que le propagateur exact a pour résidu $Z$ au pôle, et non 1 : le champ nu ne crée une quasiparticule qu’avec l’amplitude $Z^{1/2}$. Or toutes nos règles de lecture des diagrammes supposent un champ qui crée une particule avec l’amplitude 1. Définissons donc un champ renormalisé $\phi_r$ qui possède cette propriété :

$\displaystyle \phi_0 = \sqrt Z\,\phi_r $

Ce n’est pas une approximation, c’est un choix d’unité pour le champ, aussi anodin que de mesurer une longueur en mètres plutôt qu’en pieds. Substituons, en notant que le facteur $\sqrt Z$ sort de chaque champ :

$\displaystyle \mathcal L = \frac{Z}{2}(\partial_\mu\phi_r)^2 - \frac{Z\,m_0^2}{2}\phi_r^2 - \frac{Z^2\lambda_0}{4!}\phi_r^4 $

Deuxième changement de variables : les paramètres. Les trois coefficients obtenus, $Z$, $Zm_0^2$ et $Z^2\lambda_0$, restent des inconnues non mesurables. Introduisons alors les quantités que l’on mesure vraiment, la masse physique $m_{\mathrm P}$ et le couplage physique $\lambda_{\mathrm P}$, et écrivons chaque coefficient sous la forme « valeur physique, plus un écart » :

Insistons sur le statut de ces trois lignes : ce sont des définitions de $\delta Z$, $\delta m^2$ et $\delta\lambda$, et non des hypothèses. Quelles que soient les valeurs des quantités nues, les écarts existent et valent, par construction, ce qu’il faut pour que les égalités soient vraies. Aucune information n’a encore été introduite.

Substituons une dernière fois, et regroupons les termes selon qu’ils portent une quantité physique ou un écart :

Il n’y a rien de plus, et c’est tout le propos. La comparaison terme à terme avec le lagrangien renormalisé écrit plus haut donne l’identification : $B = \delta Z$, $A = -\delta m^2$ et $C = -\delta\lambda$, ou de façon équivalente, en résolvant pour les quantités nues,

Trois moralités

Rien n’a été ajouté. Les deux accolades, réunies, sont le lagrangien nu du départ, identiquement. Nous n’avons pas modifié la théorie : nous avons réécrit la même chose dans d’autres variables, puis rangé les morceaux en deux tas. Le premier tas ressemble à la théorie familière et sera traité comme tel ; le second fournit les nouveaux vertex qui annulent les divergences. Ajouter des contretermes et changer de variables sont deux descriptions du même geste.

La forme des contretermes n’est pas une coïncidence. La question était posée à la fin du bloc précédent : pourquoi chaque contreterme a-t-il exactement la forme d’un terme déjà présent ? Parce que le changement de variables est linéaire sur le champ et affine sur les coefficients. Une telle opération ne peut que multiplier chaque monôme existant par un facteur : elle est structurellement incapable de fabriquer un monôme d’une forme nouvelle. C’est aussi pourquoi l’apparition d’un contreterme en $\phi^6$ serait un événement grave : elle signifierait que le problème n’est pas réductible à un changement de variables, c’est-à-dire que la théorie n’est pas renormalisable.

Où est passée la physique ? Nulle part dans ce qui précède, et c’est normal : un changement de variables ne contient aucune information. La physique entre à l’étape suivante, quand on fixe numériquement les trois écarts en imposant des conditions de renormalisation : que le pôle du propagateur soit bien en $m_{\mathrm P}^2$, que son résidu vaille bien 1, que l’amplitude de diffusion vaille bien $\lambda_{\mathrm P}$ au point de mesure choisi. C’est en résolvant ces conditions, ordre par ordre, que les $\delta$ acquièrent des valeurs, et ces valeurs contiennent précisément les $\ln\Lambda$ qu’il faut pour annuler ceux des boucles. Le chapitre suivant met ce programme en œuvre.

Un mot sur ce « ordre par ordre ». Les trois écarts s’annulent quand l’interaction est éteinte : sans interaction, le champ nu crée déjà une particule avec l’amplitude 1 et la masse nue est la masse physique. Ils commencent donc à l’ordre $\lambda$ au moins, ce qui autorise à les traiter comme des quantités perturbatives et explique les exposants des coefficients $C^{(2)}$, $C^{(3)}$, etc. rencontrés plus haut : le type de contreterme est fixé une fois pour toutes par le changement de variables, seule sa valeur numérique se recalcule à chaque ordre.

La renormalisation n’est pas un exercice de dissimulation d’infinis, c’est un exercice de mise en correspondance de la théorie avec le monde réel. Depuis le début, nous développions la théorie des perturbations en puissances de la masse nue $m_0$ et du couplage nu $\lambda_0$, qui ne sont les paramètres d’aucune particule observable. La question posée était absurde, la réponse était infinie : tout est cohérent. En développant autour de $m_{\mathrm P}$ et $\lambda_{\mathrm P}$, les réponses deviennent finies.

Et quelles valeurs prendre pour $m_{\mathrm P}$ et $\lambda_{\mathrm P}$ ? Celles que la Nature nous donne : on les mesure. Le prix à payer est que les paramètres nus, eux, divergent quand $\Lambda\to\infty$ : la charge nue de l’électron est infinie, écrantée par les paires électron-positron virtuelles jusqu’à la valeur finie que nous mesurons. Cela ne dérange personne, car les paramètres nus ne sont pas observables.

Le détecteur de divergences, et la question de la renormalisabilité

Reste à savoir, une fois pour toutes, quels diagrammes divergent. La réponse tient dans une analyse dimensionnelle.

Le résultat est spectaculaire par ce qu’il ne contient pas : ni $V$, ni le nombre de boucles. La divergence d’un diagramme de $\phi^4$ ne dépend que de son nombre de pattes externes. Seuls les diagrammes à $B_E \leq 4$ pattes divergent, les pattes impaires sont interdites par la symétrie $\phi\to-\phi$, et les cas $B_E = 2$ (nos $A$, $B$) et $B_E = 4$ (notre $C$) sont déjà traités : les trois contretermes identifiés sont les seuls qui apparaîtront jamais. La théorie $\phi^4$ est renormalisable, et c’est démontré.

La généralisation tient dans la dimension du couplage. Dans nos unités, l’action est sans dimension, donc $\mathcal L$ a la dimension $[\text{masse}]^4$, d’où $[\phi] = [\text{masse}]$ et $[\lambda] = [\text{masse}]^0$. La règle générale :

Le mécanisme se comprend par cohérence dimensionnelle : si $\mathcal M_1 \sim G$, le terme suivant $\mathcal M_2 \sim G^2$ doit être compensé par deux puissances d’impulsion, $\mathcal M_2 \sim G^2\Lambda^2$, et ainsi de suite en pire. Mais retournons l’argument : la correction relative $\mathcal M_2 / \mathcal M_1$ est d’ordre $G\Lambda^2$, donc la théorie de Fermi ne pose problème que pour $\Lambda \gtrsim G^{-1/2}$ (petit contrôle dimensionnel au passage : $[G] = [\text{masse}]^{-2}$, l’échelle d’énergie naturelle est bien $G^{-1/2}$, et pour la vraie constante de Fermi cela donne quelques centaines de GeV, précisément l’échelle électrofaible où la théorie de Fermi cède la place à la théorie complète). En dessous de cette échelle, un terme non renormalisable est inoffensif, ses effets sont simplement petits. D’où une lecture moderne vertigineuse : nos théories « renormalisables » de la Nature contiennent peut-être toutes des termes non renormalisables aux coefficients minuscules, invisibles à nos énergies. Nos théories seraient des théories effectives de basse énergie, vouées à céder à haute énergie, et la théorie ultime pourrait ne pas être une théorie des champs du tout.

Bilan

Pièges

• Que les contretermes aient la même forme que les termes du lagrangien de départ est la condition de tout l'édifice : c'est ce qui permet de les lire comme un simple décalage des paramètres. Un contreterme d'une forme nouvelle (un $\phi^6$) signerait la non-renormalisabilité.
• Les coefficients dépendent de l'ordre : $C^{(2)}$, $C^{(3)}$, ... Le type de contreterme est fixe, sa valeur se recalcule ordre par ordre.
• « Superficiel » n'est pas un mot décoratif : $D < 0$ ne garantit la convergence qu'en l'absence de sous-diagrammes divergents, et les théories de jauge offrent des contre-exemples.
• Le développement de Taylor en l'impulsion externe est le geste qui rend tout fini-dimensionnel : la divergence, objet infini, se range dans un nombre fini de coefficients ($\alpha$, $\beta$), et la symétrie $\phi\to-\phi$ élimine les puissances impaires.
• Des paramètres nus infinis ne sont pas un scandale : ils ne sont pas observables. Le scandale serait une prédiction infinie.
• Contrôle dimensionnel sur la théorie de Fermi : $[G] = [\text{masse}]^{-2}$, donc l'échelle de rupture est $G^{-1/2}$ (et non $G^{-1}$, qui n'a pas la dimension d'une énergie).
• Ne pas oublier la leçon du chapitre précédent : même sans divergences, il faudrait renormaliser. Les infinis rendent le changement de variables obligatoire, ils ne le motivent pas seuls.

La renormalisation en action : self-énergie et vertex

La self-énergie et la resommation de Dyson

Le premier chapitre de la partie a donné la forme exacte du propagateur habillé (pôle en $m_{\mathrm P}^2$, résidu $\mathrm iZ$). Et le deuxième chapitre a donné des contretermes. Ce chapitre relie les deux à travers les diagrammes de Feynman, et le mécanisme central est une resommation.

En théorie des perturbations, le propagateur est la somme de tous les diagrammes connexes à deux pattes externes. Pour organiser cette somme, on isole la brique élémentaire :

Exemples de diagrammes 1PI dans la théorie $\phi^4$ :

Et voilà des diagrammes non 1PI :

Tous les diagrammes non 1PI peuvent être transformés en des 1PI légitimes avec des coupures aux bons endroits.

Quelques contributions à la self-énergie 1PI dans $\phi^4$ :

Rq : on a représenté des pattes externes sur le 1PI (et sur les diagrammes qui le composent) mais elles sont bien amputées (c’est juste pour rappeler qu’on doit le connecter). On distingue ces moignons en rose.

Voici l’un des plus jolis tours de passe-passe de la théorie des perturbations. Tout diagramme à deux pattes se décompose de façon unique en une chaîne : propagateur libre, puis un bloc 1PI, puis un propagateur libre, puis un autre bloc 1PI, et ainsi de suite (c’est précisément la définition du 1PI qui garantit l’unicité du découpage : on coupe sur toutes les lignes de coupe). Sommer tous les diagrammes revient donc à sommer sur le nombre de blocs :

$\displaystyle \tilde G(p) = \frac{\mathrm i}{p^2-m^2} + \frac{\mathrm i}{p^2-m^2}\big[-\mathrm i\tilde\Sigma\big]\frac{\mathrm i}{p^2-m^2} + \frac{\mathrm i}{p^2-m^2}\big[-\mathrm i\tilde\Sigma\big]\frac{\mathrm i}{p^2-m^2}\big[-\mathrm i\tilde\Sigma\big]\frac{\mathrm i}{p^2-m^2} + \cdots $

C’est une série géométrique de raison $\tilde\Sigma/(p^2-m^2)$, et elle se somme en bloc :

$\displaystyle \tilde G(p) = \frac{\mathrm i}{p^2-m^2}\cdot\frac{1}{1 - \dfrac{\tilde\Sigma(p)}{p^2-m^2}} = \frac{\mathrm i}{p^2 - m^2 - \tilde\Sigma(p) + \mathrm i\epsilon} $

On a réinséré à la fin le $\mathrm i\epsilon$ du propagateur libre.

Version graphique :

C’est une nouvelle incarnation de l’équation de Dyson. Le propagateur habillé ressemble au propagateur libre, avec la self-énergie logée au dénominateur.

La sommation d’une série géométrique suppose sa convergence, que rien ne garantit ici ; on somme formellement, et le résultat se justifie a posteriori par sa cohérence avec la forme exacte du premier chapitre. Et il vaut la peine de savourer le gain : déplacer un pôle est un effet invisible à tout ordre fini (chaque terme de la série a son pôle obstinément en $p^2 = m^2$), mais la resommation de la série entière le produit. La resommation est la porte par laquelle la théorie des perturbations accède à de l’information non perturbative, le pendant constructif du $E \propto 1/\lambda$ des kinks de la partie précédente.

Les conditions de renormalisation

La règle d’or établie au premier chapitre s’applique maintenant au résultat de la resommation : la masse physique est la position du pôle, le poids de quasiparticule est le résidu.

La position du pôle de $\tilde G$ résout :

$\displaystyle p^2 - m^2 - \operatorname{Re}\tilde\Sigma(p) = 0 \;\Longrightarrow\; m_{\mathrm P}^2 = m^2 + \operatorname{Re}\tilde\Sigma(p^2 = m_{\mathrm P}^2) $

La partie réelle de la self-énergie est le déplacement de masse dû aux interactions, et sa partie imaginaire donne le taux de désintégration, $\Gamma$ se lisant sur $\operatorname{Im}\tilde\Sigma(m_{\mathrm P}^2)$. Le poids de quasiparticule, lui, se lit sur la pente de la self-énergie au pôle :

$\displaystyle Z = \frac{1}{1 - \dfrac{\mathrm d\tilde\Sigma}{\mathrm dp^2}\Big|_{p^2=m_{\mathrm P}^2}} \approx 1 + \frac{\mathrm d\tilde\Sigma}{\mathrm dp^2}\Big|_{p^2=m_{\mathrm P}^2} $

La self-énergie ne se contente pas de déplacer la masse par sa valeur au pôle, elle mange aussi une fraction du champ par sa pente. Deux informations distinctes, extraites du même objet à deux ordres du développement.

La fonction de vertex et la naissance du point de renormalisation

Le même traitement s’applique au couplage. Physiquement, le couplage change parce que les fluctuations du vide écrantent l’interaction entre deux particules, exactement comme le nuage électronique écrantait la charge test du premier chapitre.

Le plan est calqué sur celui de la self-énergie : isoler un objet qui concentre tout l’habillage du vertex, puis lui imposer une condition qui le relie à une mesure. Mais la deuxième étape va réserver une surprise, et c’est elle qui ouvre le chapitre suivant.

Considérons la fonction de Green à quatre points de la théorie en interaction, celle qui décrit la diffusion de deux particules. Elle contient deux sortes d’information mélangées : ce qui arrive aux particules pendant qu’elles interagissent, et ce qui leur arrive avant et après, c’est-à-dire l’habillage de chacune des quatre pattes, déjà entièrement décrit par la self-énergie de la section précédente.

Compter deux fois la même physique n’aurait aucun sens. On ampute donc les quatre propagateurs complets des pattes externes :

Deux conventions accompagnent cette définition, et les oublier désaccorde tous les facteurs :

• $-\mathrm i\tilde\Gamma$ n'inclut pas la fonction delta globale de conservation de l'énergie-impulsion, contrairement à la règle de Feynman du vertex nu, qui s'écrit $(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_4+p_3-p_2-p_1)\,(-\mathrm i\lambda)$ ;
• le signe est choisi pour qu'au premier ordre on retrouve exactement le vertex nu, $-\mathrm i\tilde\Gamma = -\mathrm i\lambda$. C'est ce choix qui rend légitime de parler de $\tilde\Gamma$ comme d'un « couplage effectif ».

La fonction de vertex est donc un vertex effectif : elle se branche entre quatre propagateurs comme le vertex nu, mais elle raconte comment les particules réelles interagissent une fois toutes les particules virtuelles prises en compte. Les premières contributions :

Au deuxième ordre, avec le contreterme du chapitre précédent, c’est le calcul que nous avons déjà mené :

$\displaystyle -\mathrm i\tilde\Gamma(p_1,p_2,p_3) = -\mathrm i\lambda - \mathrm ia\lambda^2\,(\ln s + \ln t + \ln u) $

Pour la masse, la marche à suivre était claire : la masse physique est la position du pôle du propagateur, un point remarquable que la fonction porte en elle, sans qu’aucun choix ne soit demandé.

Pour le couplage, rien de tel. La fonction de vertex est une fonction des impulsions, sans pôle ni aucun autre point distingué. Pour en extraire un nombre unique qui mériterait le nom de couplage physique, il faut décider en quelles impulsions on la lit, et rien dans la théorie ne dicte ce choix :

Cette liberté n’est pas un aveu de faiblesse : c’est la situation de tout physicien qui mesure une grandeur relative. On ne mesure jamais une altitude dans l’absolu, mais toujours par rapport à un niveau de référence, et deux cartes qui prennent des références différentes restent parfaitement cohérentes entre elles. Le point de renormalisation est le niveau de la mer du couplage.

Voyons ce choix payer immédiatement sur un calcul en perturbation non renormalisée, c’est-à-dire sans contretermes, en traînant explicitement la coupure $\Lambda$.

Le troisième pas mérite qu’on s’y arrête, car c’est lui qui explique pourquoi la manœuvre pouvait réussir. Le terme divergent $3\ln\Lambda^2$ ne dépend pas des impulsions externes : il est le même quelle que soit l’énergie de la collision. Il figure donc à l’identique dans l’amplitude et dans sa valeur au point de référence, et disparaît dès qu’on soustrait l’une de l’autre. Une divergence qui aurait dépendu de $s$, $t$ ou $u$ n’aurait pas pu être absorbée dans la définition d’une constante, et la théorie n’aurait pas été renormalisable. Toute la renormalisabilité tient dans cette indépendance.

Le résultat s’énonce alors simplement : l’amplitude s’exprime en fonction du couplage physique, et les impulsions ne sont mesurées que relativement au point de renormalisation. La version avec contretermes donne le même résultat, sans jamais avoir à transporter de $\ln\Lambda$.

Reste la conclusion, plus grosse qu’elle n’en a l’air. La valeur de $\lambda_{\mathrm P}$ dépend du point $(s_0,t_0,u_0)$ où on l’a définie : le couplage physique n’est pas un nombre, c’est la valeur d’une fonction en un point qu’on a choisi. Deux physiciens ayant choisi des points différents mesurent des couplages différents et décrivent pourtant la même physique, puisque la courbe entière est la même. La question « comment $\lambda_{\mathrm P}$ dépend-il de l’échelle ? » est la porte du chapitre suivant.

Bilan

Pièges

• Collision de notations : $\tilde\Gamma$ est la fonction de vertex, $\Gamma_{\mathbf p}$ le taux de désintégration du premier chapitre. Aucun rapport entre les deux.
• $\tilde\Sigma$ est définie amputée et sans delta global de conservation : oublier l'une de ces conventions désaccorde tous les facteurs de la resommation.
• 1PI signifie « survit à la coupure d'une ligne interne » : un diagramme connexe n'est pas forcément 1PI, et c'est l'unicité du découpage en blocs 1PI qui autorise la série géométrique sans double comptage.
• La resommation est une somme formelle : sa convergence n'est pas établie, mais elle accomplit ce qu'aucun ordre fini ne peut faire, déplacer le pôle. Tronquer la série après quelques termes redonnerait un pôle en $m$, pas en $m_{\mathrm P}$.
• Deux conditions de renormalisation cohabitent : $m_{\mathrm P}^2 = m^2 + \operatorname{Re}\tilde\Sigma$ (sans contretermes, décalage infini assumé) et $\operatorname{Re}\tilde\Sigma(m_{\mathrm P}^2) = 0$ (avec contretermes, masse verrouillée). Savoir laquelle un texte utilise avant de comparer des formules.
• La masse est définie par un pôle (sans ambiguïté), le couplage par un choix de point de renormalisation (arbitraire) : cette asymétrie n'est pas un défaut, c'est la graine du groupe de renormalisation.
• Le poids se calcule par $Z \approx 1 + \mathrm d\tilde\Sigma/\mathrm dp^2$ au pôle : la self-énergie ne déplace pas seulement la masse, sa pente mange une fraction du champ.

Le groupe de renormalisation

Le renversement de Wilson

Notre stratégie jusqu’ici consistait à cacher $\Lambda$ : l’introduire pour régulariser, puis l’éliminer des prédictions. Kenneth Wilson propose l’inverse : vivre avec la coupure. Pour définir proprement une théorie, on admet qu’on intègre jusqu’à un $\Lambda$ librement choisi, et le bon choix dépend de la physique visée : pour des ondes sonores dans un gaz (échelle du centimètre), $\Lambda^{-1}$ de quelques microns convient ; pour le nuage électronique d’un atome, on prendra $\Lambda^{-1}$ de la taille d’un noyau. La coupure n’est pas une honte, c’est une déclaration d’échelle d’intérêt. La question devient alors : comment les prédictions, et donc les couplages, changent-ils quand on change l’échelle ? Répondre à cette question est tout le programme du groupe de renormalisation.

Le chapitre précédent a préparé le terrain sans le dire. Reprenons l’amplitude à deux particules exprimée au point de renormalisation $s_0 = t_0 = u_0 = \mu^2$ :

La méthode de Wilson en trois pas

La dérivation ci-dessus était un raccourci. La méthode systématique part de l’intégrale fonctionnelle euclidienne $Z(\Lambda) = \int_\Lambda\mathcal D\phi\,e^{-\int\mathrm d^dx\,\mathcal L[\phi]}$, où l’indice $\Lambda$ ordonne d’intégrer sur les configurations dont les composantes de Fourier vont jusqu’à $\Lambda$. On découpe le champ en composantes lentes et rapides :

$\displaystyle \tilde\phi(p) = \tilde\phi_{\mathrm s}(p)\ \text{pour } 0 \leq |p| \leq \Lambda/b $

$\displaystyle \tilde\phi(p) = \tilde\phi_{\mathrm f}(p)\ \text{pour } \Lambda/b \leq |p| \leq \Lambda $

avec $b > 1$.

Puis trois pas :

• Pas I : Intégrer les modes rapides. On effectue la partie de l'intégrale fonctionnelle qui porte sur $\phi_{\mathrm f}$. L'effet est celui d'une paire de lunettes qu'on retire : les détails fins disparaissent, le champ a l'air plus lisse. Le résultat se range dans une correction $\delta\mathcal L[\phi_{\mathrm s}]$ à l'action des modes lents. C'est le pas difficile, en général impossible exactement : on le fait en perturbation.

• Pas II : Rééchelonner les impulsions. Le champ lissé vit sur $[0, \Lambda/b]$ : pour le comparer loyalement à la théorie de départ, on pose $p' = b\,p$, ce qui redéploie l'espace des impulsions sur $[0, \Lambda]$.

• Pas III : Rééchelonner les champs. On pose $\tilde\phi(p'/b) = b^{\,d - d_\phi}\,\tilde\phi'(p')$, en choisissant l'exposant $d_\phi$ (baptisé, dans le jargon volontiers ésotérique du domaine, dimension anormale) pour laisser invariant le terme jugé dominant, en pratique le terme de gradient.

Si tout se passe bien, le lagrangien final a la même forme que le lagrangien initial, avec des couplages modifiés : on a fabriqué la transformation $g_i \to g_i’$, et il suffit de l’itérer en pensée pour engendrer le flot complet. En posant $b = e^\ell$ et en envoyant $\ell\to\infty$, on suit la physique aux grandes longueurs d’onde.

Illustration schématique des trois pas, sur une réalisation d’un champ représenté le long d’une direction :

Comment lire la figure ? Après le pas I, le champ (b) est plus lisse que (a), mais c’est trivial : on vient de lui retirer ses hautes fréquences. Surtout, (a) et (b) n’ont pas la même coupure et ne sont pas comparables.
C’est le rétrécissement des pas II et III qui ramène la coupure à $\Lambda$ et rend enfin la comparaison légitime. La comparaison qui porte toute l’information est donc (a) contre (c), et elle se lit ainsi :

• (c) statistiquement indiscernable de (a) : on est au point fixe, le système est invariant d'échelle ;
• (c) plus lisse, tendant vers une valeur uniforme non nulle : le flot va vers la phase ordonnée, la fenêtre finit dans un seul domaine ;
• (c) plus haché, tendant vers du bruit décorrélé : le flot va vers la phase désordonnée.

Application 1 : la liberté asymptotique

La théorie des perturbations est un développement en puissances des couplages : elle marche là où ils sont petits. Or ils varient avec l’échelle. En électrodynamique quantique, la fonction $\beta$ de la charge est positive ($\mu\,\mathrm de/\mathrm d\mu = |e|^3/12\pi^2$ au premier ordre, dérivée dans un chapitre ultérieure) : la charge effective croît vers l’ultraviolet et décroît vers l’infrarouge. L’image physique est l’écrantage : le vide, peuplé de paires virtuelles polarisables, se comporte comme un diélectrique, et plus on s’approche de la charge (hautes impulsions), moins elle est masquée, donc plus elle paraît grande. La théorie des perturbations de l’électrodynamique est excellente à basse énergie et se dégrade en montant.

Pour une classe de théories, dont les théories de jauge non abéliennes de Yang–Mills (chapitre ultérieur), la surprise est totale : $\beta$ est négative. Le couplage fond vers l’ultraviolet et enfle vers l’infrarouge. C’est la liberté asymptotique : la théorie est presque libre à haute énergie et férocement couplée à basse énergie. Le vide non abélien anti-écrante, les gluons virtuels portant eux-mêmes la charge de couleur et renforçant le champ au lieu de le masquer. Le phénomène explique d’un coup les deux visages de l’interaction forte : dans les expériences de diffusion profondément inélastique, les quarks frappés à très haute énergie se comportent comme des particules quasi libres, tandis qu’à basse énergie le couplage devient si fort qu’aucun quark ne peut être isolé (on ne les trouve qu’en états liés, mésons et baryons). Une image mécanique aide : des masses reliées par des ressorts interagissent faiblement à courte distance et de plus en plus fort à mesure qu’on les écarte.

Application 2 : la localisation d’Anderson

Question de matière condensée : un métal cristallin conduit, mais que se passe-t-il quand on le salit de plus en plus ? Anderson a compris en 1958 qu’au-delà d’un désordre critique, la diffusion sur les impuretés cesse d’être diffusive : les électrons se localisent dans des états liés et le métal devient isolant. Le point de bascule s’appelle le seuil de mobilité. Le groupe de renormalisation transforme cette intuition en théorème, et Thouless a identifié le bon couplage : la conductance sans dimension $g = \hbar G(L)/e^2$ d’un échantillon de taille $L$, avec pour fonction de flot

$\displaystyle \beta(g) = \frac{\mathrm d\ln g}{\mathrm d\ln L} $

Les deux régimes limites se calculent par analyse dimensionnelle : un métal a $G(L) \propto L^{d-2}$ ($G = \sigma L$ en dimension 3), donc $\beta \approx d-2$ à grand $g$ ; un isolant a $G \propto e^{-L/\xi}$, donc $\beta \approx \ln g$ à petit $g$, très négatif. En raccordant les deux limites, tout se lit sur le graphe.

En dimension 3, la courbe $\beta(g)$ traverse zéro en un point fixe répulsif $g_c$ : c’est le seuil de mobilité, plus propre que $g_c$le flot emporte vers le métal, plus sale il emporte vers l’isolant. En dimensions 1 et 2, la courbe reste sous zéro : aucun point fixe, aucun seuil. La moindre poussière suffit, à taille assez grande, à rendre le système isolant. Un énoncé profond obtenu en raccordant deux asymptotes.

Application 3 : la transition de Kosterlitz–Thouless

Voici le plus beau retour sur investissement de la partie précédente. Le théorème de Coleman–Mermin–Wagner interdit toute brisure spontanée d’une symétrie continue en deux dimensions spatiales : pas de transition magnétique ordinaire pour un aimant plan. Et pourtant une transition existe, d’un type entièrement nouveau : une transition de phase topologique, qui sépare deux régimes des vortex (découverts au chapitre sur les objets topologiques).

Le modèle est le champ complexe de module 1, $\phi(\mathbf x) = e^{\mathrm i\theta(\mathbf x)}$, appelé modèle $XY$ bidimensionnel : une flèche plane en chaque point. Nous connaissons déjà l’objet central : le vortex global (non jaugé), dont on avait établi que l’énergie diverge logarithmiquement.

Ce qui était une pathologie devient ici le moteur de toute la physique. L’action euclidienne d’un vortex vaut

$\displaystyle S = S^{\text{cœur}}(a) + \pi K\,\ln(L/a)$
avec $\displaystyle K = \frac{J}{T}$

où $J$ est la raideur du champ de spins (le coût de ses déformations, la rigidité générique des phases ordonnées), $a$ la taille du cœur et $L$ celle du système.

L’analyse de renormalisation suit deux couplages en fonction de l’échelle : $K^{-1} = T/J$ (l’inverse de la raideur réduite) et la fugacité $y = e^{-S^{\text{cœur}}(a)}$, qui mesure à quel point le système sent la présence des vortex (petit $y$ : cœurs coûteux et rares ; grand $y $ : vortex libres bon marché).

Le diagramme de flot raconte deux destins. La plupart des trajectoires filent vers $K^{-1}, y \to\infty$ (en haut à droite) : c’est la phase de haute température, où les vortex libres prolifèrent, brouillent le champ à l’infini, et où la raideur cesse de compter.

Mais en bas à gauche, des trajectoires aboutissent sur des points fixes de l’axe $y = 0$, à $K$ fini : c’est la phase de basse température. La fugacité nulle signifie que les vortex n’y survivent qu’en paires liées vortex-antivortex, des dipôles topologiques : vu de loin, le tourbillon horaire de l’un annule le tourbillon antihoraire de l’autre, le champ redevient uniforme à l’infini, et la paire ne coûte qu’une énergie finie. Le système garde une raideur non nulle, la signature d’un ordre (exotique), sans jamais violer Mermin–Wagner puisque l’aimantation moyenne reste nulle.

La transition, à $K^{-1} = \pi/2$ (on retrouve le $k_{\mathrm B}T = \pi J/2$ de l’argument entropique), est le déliement des vortex : en chauffant, les dipôles se dissocient et les charges topologiques se libèrent. Kosterlitz et Thouless ont reçu le prix Nobel 2016 pour cette physique (avec Haldane, et Berezinskii l’avait découverte indépendamment en Union soviétique).

Bilan

Pièges

• Le groupe de renormalisation est un semi-groupe : intégrer les modes rapides détruit de l'information, la transformation n'a pas d'inverse. Le nom est un vestige historique.
• La fonction $\beta$ se définit différemment selon les problèmes ($\mathrm dg/\mathrm d\ln b$, $\mu\,\mathrm dg/\mathrm d\mu$, $\mathrm d\ln g/\mathrm d\ln L$...). L'idée est toujours la même.
• Surveiller le sens du flot : $b > 1$ et $\ell\to\infty$ suivent l'infrarouge (grandes distances, convention de la matière condensée), $\mu\to\infty$ suit l'ultraviolet.
• « Constante » de couplage est un abus de langage désormais officiel : tout couplage dépend de l'échelle.
• Un point fixe n'est pas une destination garantie : répulsif, il sépare des bassins ; attractif, il ne capture que son bassin. Et un flot $g\to\infty$ ne prédit pas une mesure infinie : une physique absente du lagrangien finit toujours par couper le flot.
• Électrodynamique et chromodynamique tirent en sens opposés : écrantage ($\beta > 0$, la charge croît vers l'ultraviolet) contre anti-écrantage ($\beta < 0$, liberté asymptotique) ; la différence vient de ce que les gluons portent eux-mêmes la charge de couleur.
• Kosterlitz–Thouless ne contredit pas Coleman–Mermin–Wagner : aucune symétrie n'est brisée, aucune aimantation n'apparaît. La transition est topologique (déliement de vortex), et le paramètre qui la détecte est la raideur, pas l'ordre.
• Les vortex de ce chapitre sont les vortex globaux (non jaugés) du chapitre sur les objets topologiques : leur énergie en $\pi K\ln(L/a)$ est exactement la divergence logarithmique qui les rendait instables à $T = 0$. La température recycle le défaut en physique.
• Dans l'argument entropique, tout repose sur le fait que énergie et entropie portent le même $\ln(L/a)$ : c'est cette coïncidence de forme qui produit une température de transition finie et indépendante de la taille.