Théorie quantique des champs – Partie 11

Heure des comptes. Depuis le début, un cadavre traîne dans le placard : presque toutes les intégrales de boucles que nous avons écrites divergent, et nous nous sommes soigneusement abstenus de les calculer jusqu’au bout. Cette partie affronte le problème, et la résolution est l’une des plus belles histoires de la physique du vingtième siècle : les infinis ne sont pas une maladie de la théorie, ils sont le symptôme d’une erreur de variables. Nous faisions de la théorie des perturbations autour des mauvais paramètres.

• Le vrai sujet : avant même de parler d'infinis, les interactions changent ce qu'est une particule. Une particule en interaction s'habille d'un nuage de fluctuations et devient une quasiparticule, de masse et de charge modifiées. Ce phénomène s'appelle la renormalisation, et il existerait même si aucune intégrale ne divergeait.
• Le problème et sa solution : les boucles divergent, on coupe les intégrales à une impulsion $\Lambda$, et on ajoute des contretermes qui effacent toute dépendance en $\Lambda$. On découvre alors que ces contretermes ne sont rien d'autre que le changement de variables des paramètres nus vers les paramètres physiques.
• La machinerie en action : deux fonctions de Green concentrent tout l'habillage, la self-énergie $\tilde\Sigma$ (qui déplace la masse) et la fonction de vertex $\tilde\Gamma$ (qui écrante le couplage), reliées au propagateur exact par une resommation géométrique.
• Le changement de regard : Wilson propose de ne plus cacher $\Lambda$ mais de vivre avec, et de regarder comment les « constantes » de couplage coulent quand on change l'échelle d'observation. C'est le groupe de renormalisation, avec trois applications spectaculaires : la liberté asymptotique, la localisation d'Anderson, et la transition de Kosterlitz–Thouless (où l'on retrouve nos vortex de la partie précédente).
• Le tutoriel complet : la transition ferromagnétique passée dans la machine, le point fixe de Wilson–Fisher, et le miracle de l'universalité : des exposants critiques calculés qui ne dépendent que de la dimension et de la symétrie, pas des détails microscopiques.

Quasiparticules et surface de Fermi

L’habillage, une idée d’abord classique

Avant tout formalisme, une image. Ce paragraphe ne figure pas dans le livre, mais il donne un point d’ancrage entièrement classique. Poussez une balle de ping-pong immergée dans l’eau : pour l’accélérer, il faut aussi accélérer l’eau qu’elle déplace, et tout se passe comme si la balle avait une masse effective $m^* = m + \tfrac12\rho V$, où $\rho V$ est la masse d’eau déplacée (le résultat est exact en fluide parfait). La balle ne peut pas se déplacer sans traîner son environnement avec elle : l’objet qui se propage n’est plus « la balle », c’est « la balle plus sa déformation du fluide », et ses paramètres sont modifiés. Voilà exactement ce que les interactions font aux particules d’une théorie quantique des champs.

Le livre donne deux exemples de matière condensée dans le même esprit : une charge positive plongée dans un métal s’entoure d’un nuage électronique qui écrante sa charge apparente, et un électron dans un cristal acquiert une masse effective $m^*$ différente de sa masse dans le vide. La différence avec une théorie « fondamentale » comme l’électrodynamique quantique est seulement épistémique : en matière condensée, on peut sortir l’électron du cristal et comparer, tandis qu’on ne peut pas sortir l’électron du vide quantique. Le cadre conceptuel, lui, est identique.

L’allumage adiabatique et le poids de quasiparticule

Reprenons la théorie libre : un vide $|0\rangle$, des opérateurs $\hat a^\dagger_{\mathbf p}$ qui créent des particules une par une, et un propagateur $\tilde G_0(p) = \mathrm i/(p^2 - m^2 + \mathrm i\epsilon)$ dont le pôle donne la masse. Branchons maintenant, très lentement, une interaction : $\hat H = \hat H_0 + \lambda(T),\hat H’$, avec $\lambda$ qui monte de 0 à 1. Le fondamental devient $|\Omega\rangle$, les états propres deviennent $|{\mathbf p}_\lambda\rangle$, et le système est un chaudron bouillonnant de paires virtuelles. Une question angoissante se pose : dans ce chaos, existe-t-il encore des excitations à une particule ? Toute notre théorie des champs repose sur la création et l’annihilation de particules individuelles ; si la réponse est non, tout s’effondre.

Le nœud du problème est que nous n’avons pas les bons outils. Pour créer une excitation propre du système en interaction, il faudrait un opérateur $\hat q^\dagger_{\mathbf p}$ tel que $|{\mathbf p}\lambda\rangle = \hat q^\dagger{\mathbf p}|\Omega\rangle$, mais nous ne le connaissons pas. Tout ce que nous possédons, ce sont les opérateurs libres $\hat a^\dagger_{\mathbf p}$. Et un opérateur libre appliqué au vide en interaction se comporte comme un éléphant dans un magasin de porcelaine : rien ne l’empêche de créer plusieurs excitations à la fois. Le résultat est une superposition :

$$ \hat a^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle = |{\mathbf p}\lambda\rangle,\langle{\mathbf p}\lambda|\hat a^\dagger_{\mathbf p}|\Omega\rangle

• \sum(\text{états multiparticules d’impulsion totale } \mathbf p) $$

Le tableau de correspondance mérite d’être appris par cœur, car toute la partie VIII en découle :

Le propagateur habillé

Une reformulation fait le pont avec l’expérience : on écrit le propagateur comme une superposition de propagateurs libres de masses variables, pondérés par la fonction spectrale $\rho(M^2)$ :

$$ G(x,y) = \int_0^{\infty}\frac{\mathrm dM^2}{2\pi},\rho(M^2),\Delta(x,y,M^2) $$

Pour une particule stable, $\rho$ contient un pic de Dirac de poids $Z$ en $M^2 = m_{\mathrm P}^2$, puis un continuum multiparticule qui démarre vers $4m_{\mathrm P}^2$ (le seuil de création de deux particules réelles). Pour une quasiparticule de durée de vie finie, le pic de Dirac s’élargit en une bosse de largeur $2\Gamma_{\mathbf p}$. La condition $E_{\mathbf p} > \Gamma_{\mathbf p}$ se lit alors à l’œil : le pic doit être étroit devant sa distance à l’origine. Et le livre glisse une remarque rassurante : les parties multiparticules subissent en général des interférences destructives et s’éteignent bien avant $\Gamma_{\mathbf p}^{-1}$, laissant la quasiparticule seule au milieu des ruines.

Les quasiparticules d’un métal, et une prédiction mesurable

En matière condensée, le renversement de point de vue est spectaculaire : un métal réel contient $N \approx 10^{23}$ électrons en interaction forte, et la renormalisation consiste à le décrire comme un vide (le fondamental, sans excitation) peuplé d’un petit nombre d’excitations élémentaires faiblement couplées. Deux familles d’excitations élémentaires existent : les excitations collectives (phonons, plasmons), qui mobilisent tous les constituants et disparaissent si l’on coupe les interactions, et les quasiparticules, qui sont des excitations à une particule habillées.

Le liquide de Fermi de Landau

Landau propose une autre façon, phénoménologique et géniale, de penser les métaux : décrire un métal fortement en interaction comme presque identique au gaz de Fermi libre. C’est devenu, sans grande exagération, le modèle standard du métal. Attention : les quasiparticules de Landau ne sont pas celles de la théorie des champs vues plus haut, et le livre les distingue soigneusement. Nous verrons la différence dans un instant.

L’idée maîtresse est la continuité adiabatique. On allume l’interaction très lentement, et on postule que chaque état propre à une particule du gaz évolue continûment vers un état propre à une particule du liquide. Chaque électron du gaz, y compris ceux enfouis au fond de la mer de Fermi, devient une quasiparticule de Landau : la correspondance est un pour un, et la distribution d’impulsion du fondamental est inchangée.

Mesurons l’écart avec les quasiparticules de la théorie des champs. En théorie des champs, le fondamental $|\Omega\rangle$ ne contient aucune quasiparticule, et l’existence d’une quasiparticule est suspendue à $Z_{\mathbf p} \neq 0$. Chez Landau, le fondamental contient autant de quasiparticules qu’il y avait d’électrons, elles portent la même charge que l’électron (ce qui garantit la conservation de la charge), et leur existence ne doit rien à $Z$.

Où les deux images se rejoignent-elles ? Sur les états faiblement excités. Ajoutons un électron d’impulsion $|\mathbf p’| > p_{\mathrm F}$ et allumons : contrairement aux électrons de la mer, cet électron excité a de l’espace de phase pour diffuser, et il acquiert une durée de vie finie. Le principe de Pauli restreint sévèrement cet espace de phase : pour diffuser, il faut deux états finals au-dessus de $p_{\mathrm F}$ et un partenaire pris juste sous $p_{\mathrm F}$, et la fenêtre d’énergie disponible se referme quadratiquement quand on s’approche de la surface. Le taux de désintégration en découle :

$$ \Gamma_{\mathbf p} \propto (|\mathbf p| - p_{\mathrm F})^2 $$

tandis que l’énergie vaut $E_{\mathbf p} \approx v_{\mathrm F}(|\mathbf p| - p_{\mathrm F})$, linéaire. Près de la surface de Fermi, le linéaire bat toujours le quadratique : $E_{\mathbf p} > \Gamma_{\mathbf p}$, et la quasiparticule est bien définie. Loin de la surface, elle ne l’est plus. La notion de quasiparticule dans un métal n’a de sens qu’au voisinage de la surface de Fermi, et c’est exactement là que vit la physique de basse température.

Le dernier étage de la construction de Landau est un développement de l’énergie d’un état faiblement excité en puissances des écarts d’occupation $\delta n_{\mathbf p} = n_{\mathbf p} - n^{(0)}_{\mathbf p}$ :

$$ E = E_g + \sum_{\mathbf p},(E^{(0)}{\mathbf p} - \mu),\delta n{\mathbf p}

• \frac12\sum_{\mathbf p\mathbf p’} f_{\mathbf p\mathbf p’},\delta n_{\mathbf p},\delta n_{\mathbf p’} + \cdots $$

Le génie du geste est de développer en une quantité que l’on connaît ($\delta n_{\mathbf p}$, le nombre d’excitations) plutôt qu’en des quantités inaccessibles. Le terme quadratique $f_{\mathbf p\mathbf p’}$ encode toutes les interactions entre quasiparticules ; décomposé en polynômes de Legendre (après restauration du spin), il livre les paramètres de Landau $F^{\mathrm s}\ell, F^{\mathrm a}\ell$, un petit jeu de nombres qui fixe les observables : par exemple $m^* = m,(1 + F^{\mathrm s}_1)$ pour la masse effective, et la susceptibilité de spin en $1/(1+F^{\mathrm a}_0)$. Une théorie complète du métal tient dans une poignée de constantes phénoménologiques, et les traitements diagrammatiques lourds confirment ses prédictions.

Bilan

Pièges

• Deux notions de quasiparticule cohabitent dans ce chapitre et il ne faut pas les confondre : celle de la théorie des champs (le fondamental est vide, l'existence exige $Z_{\mathbf p} \neq 0$) et celle de Landau (le fondamental est plein, correspondance un pour un, aucun besoin de $Z$). Elles ne coïncident que pour les états faiblement excités près de $p_{\mathrm F}$.
• La durée de vie est $(2\Gamma_{\mathbf p})^{-1}$ et non $\Gamma_{\mathbf p}^{-1}$ : le facteur 2 vient du module carré de la fonction d'onde ($e^{-\Gamma t}$ en amplitude, $e^{-2\Gamma t}$ en probabilité).
• Dans le propagateur habillé, $\Gamma_{\mathbf p}$ occupe la place de l'infinitésimal $\epsilon$ : la prescription de contour devient une physique (durée de vie finie), ce n'est plus un artifice de calcul.
• Une quasiparticule n'a de sens que si $E_{\mathbf p} > \Gamma_{\mathbf p}$ : dans un métal, cela restreint la notion au voisinage de la surface de Fermi, puisque $E$ est linéaire et $\Gamma$ quadratique en $(|\mathbf p| - p_{\mathrm F})$.
• Le renversement de vocabulaire de la matière condensée : le « vide » d'un métal contient $10^{23}$ particules. Vide signifie « sans excitation », pas « sans rien ».
• $Z^{1/2}$ est une amplitude, $Z$ un poids (une probabilité) : le saut de $n_{\mathbf p}$ vaut $Z$, l'élément de matrice vaut $Z^{1/2}$. Gare aux racines carrées perdues.
• Message central à retenir pour la suite : la renormalisation n'est pas une machine à effacer les infinis. Elle est nécessaire pour toute théorie en interaction, avec ou sans divergences (le gaz d'électrons en a peu, l'électrodynamique quantique en a beaucoup, la physique de l'habillage est la même).

Le problème (divergences) et sa solution (contretermes)

Le problème

Le diagnostic tient en trois intégrales, avec $a$ fini et positif :

$$ \int_a^{\infty}\mathrm dx, x^n \ \text{diverge pour } n \geq 0, \qquad \int_a^{\infty}\frac{\mathrm dx}{x} = [\ln x]_a^{\infty} \ \text{diverge}, \qquad \int_a^{\infty}\frac{\mathrm dx}{x^m} = \frac{a^{-m+1}}{m-1} \ \text{converge pour } m>1 $$

Le deuxième cas, où numérateur et dénominateur portent autant de puissances, s’appelle une divergence logarithmique. Reprenons la théorie $\phi^4$,

$$ \mathcal L = \frac12(\partial_\mu\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 $$

et calculons enfin, jusqu’au bout, l’amplitude de diffusion à deux particules au deuxième ordre. Quatre diagrammes contribuent : le vertex nu, et trois boucles (une par canal $s$, $t$, $u$).

Couper l’intégrale à $\Lambda$ fini est un geste pragmatique parfaitement honorable : cela revient à renoncer délibérément aux détails du champ plus fins que $1/\Lambda$. En matière condensée c’est même la routine (on ignore ce qui est plus petit que l’atome). Pour les particules fondamentales, la justification est moins claire, mais vivons avec, inconfortablement. Le vrai problème est ailleurs : les amplitudes calculées dépendent de $\Lambda$, une constante arbitraire. Il faut l’évacuer.

La solution

On recommence alors tout le programme (quantification canonique, développement de Dyson, diagrammes) avec le lagrangien complété, et au deuxième ordre il suffit d’ajouter un diagramme de contreterme :

$$ \mathrm i\mathcal M^{(2)} = -\mathrm i\lambda + \mathrm ia\lambda^2\big(3\ln\Lambda^2 - \ln s - \ln t - \ln u\big) + \mathrm iC^{(2)} = -\mathrm i\lambda - \mathrm ia\lambda^2,\big(\ln s + \ln t + \ln u\big) $$

L’amplitude dépend des impulsions (c’est normal, c’est de la physique) mais plus du tout de $\Lambda$. Mission accomplie, au deuxième ordre.

Apprivoiser une intégrale quelconque

On pourrait craindre une fuite en avant : et si le troisième ordre exigeait un contreterme en $\phi^6$, puis le vingt-septième ordre 513 contretermes inédits ? Une théorie pourrait ne jamais cesser d’absorber de nouveaux types de contretermes. Le miracle de la renormalisation est que, pour une large classe de théories, un petit nombre fixe de types de contretermes suffit à tous les ordres (trois pour l’électrodynamique quantique). Seuls les coefficients $C^{(n)}$ changent d’ordre en ordre, et ils se calculent. Ces théories sont dites renormalisables.

La méthode systématique s’illustre sur le diagramme de Saturne (une self-énergie à deux boucles).

Ce que les contretermes veulent dire

Nous avons ajouté des termes au lagrangien : n’avons-nous pas changé la physique ? La réponse est le cœur conceptuel du chapitre. En collectant les coefficients du lagrangien renormalisé et en posant $-A = \delta m^2$, $-C = \delta\lambda$, $B = \delta Z$, tout se réorganise en

$$ \phi = \sqrt Z,\phi_r, \qquad Z = 1 + \delta Z, \qquad m^2 = \frac{m_{\mathrm P}^2 + \delta m^2}{Z}, \qquad \lambda = \frac{\lambda_{\mathrm P} + \delta\lambda}{Z^2} $$

Autrement dit : partir du lagrangien nu (paramètres $m$, $\lambda$) et effectuer le changement de variables vers les paramètres physiques ($m_{\mathrm P}$, $\lambda_{\mathrm P}$, avec le champ rééchelonné par $\sqrt Z$) engendre exactement les trois contretermes. Nous n’ajoutons rien : nous corrigeons une erreur de départ. Depuis le début du livre, nous développions la théorie des perturbations en puissances des mauvaises constantes, la masse nue $m$ et le couplage nu $\lambda$, qui ne sont les paramètres d’aucune particule observable. La question posée était absurde, la réponse était infinie : tout est cohérent. En développant autour de $m_{\mathrm P}$ et $\lambda_{\mathrm P}$, les réponses deviennent finies.

La renormalisation n’est pas un exercice de dissimulation d’infinis, c’est un exercice de mise en correspondance de la théorie avec le monde réel. Et quelles valeurs prendre pour $m_{\mathrm P}$ et $\lambda_{\mathrm P}$ ? Celles que la Nature nous donne : on les mesure. Le prix à payer est que les paramètres nus, eux, divergent quand $\Lambda\to\infty$ : la charge nue de l’électron est infinie, écrantée par les paires électron-positron virtuelles jusqu’à la valeur finie que nous mesurons. Cela ne dérange personne, car les paramètres nus ne sont pas observables.

Le détecteur de divergences, et la question de la renormalisabilité

Reste à savoir, une fois pour toutes, quels diagrammes divergent. La réponse tient dans une analyse dimensionnelle.

Le résultat est spectaculaire par ce qu’il ne contient pas : ni $V$, ni le nombre de boucles. La divergence d’un diagramme de $\phi^4$ ne dépend que de son nombre de pattes externes. Seuls les diagrammes à $B_E \leq 4$ pattes divergent, les pattes impaires sont interdites par la symétrie $\phi\to-\phi$, et les cas $B_E = 2$ (nos $A$, $B$) et $B_E = 4$ (notre $C$) sont déjà traités : les trois contretermes identifiés sont les seuls qui apparaîtront jamais. La théorie $\phi^4$ est renormalisable, et c’est démontré.

La généralisation tient dans la dimension du couplage. Dans nos unités, l’action est sans dimension, donc $\mathcal L$ a la dimension $[\text{masse}]^4$, d’où $[\phi] = [\text{masse}]$ et $[\lambda] = [\text{masse}]^0$. La règle générale :

Le mécanisme se comprend par cohérence dimensionnelle : si $\mathcal M_1 \sim G$, le terme suivant $\mathcal M_2 \sim G^2$ doit être compensé par deux puissances d’impulsion, $\mathcal M_2 \sim G^2\Lambda^2$, et ainsi de suite en pire. Mais retournons l’argument : la correction relative est d’ordre $G\Lambda^2$, donc la théorie de Fermi ne pose problème que pour $\Lambda \gtrsim G^{-1/2}$ (petit contrôle dimensionnel au passage : $[G] = [\text{masse}]^{-2}$, l’échelle d’énergie naturelle est bien $G^{-1/2}$, et pour la vraie constante de Fermi cela donne quelques centaines de GeV, précisément l’échelle électrofaible où la théorie de Fermi cède la place à la théorie complète). En dessous de cette échelle, un terme non renormalisable est inoffensif, ses effets sont simplement petits. D’où une lecture moderne vertigineuse : nos théories « renormalisables » de la Nature contiennent peut-être toutes des termes non renormalisables aux coefficients minuscules, invisibles à nos énergies. Nos théories seraient des théories effectives de basse énergie, vouées à céder à haute énergie, et la théorie ultime pourrait ne pas être une théorie des champs du tout.

Bilan

Pièges

• Que les contretermes aient la même forme que les termes du lagrangien de départ est la condition de tout l'édifice : c'est ce qui permet de les lire comme un simple décalage des paramètres. Un contreterme d'une forme nouvelle (un $\phi^6$) signerait la non-renormalisabilité.
• Les coefficients dépendent de l'ordre : $C^{(2)}$, $C^{(3)}$, ... Le type de contreterme est fixe, sa valeur se recalcule ordre par ordre.
• $3\ln\Lambda^2 = 6\ln\Lambda$ : la moitié des erreurs de facteur 2 du chapitre se cache dans ce logarithme.
• « Superficiel » n'est pas un mot décoratif : $D < 0$ ne garantit la convergence qu'en l'absence de sous-diagrammes divergents, et les théories de jauge offrent des contre-exemples.
• Le développement de Taylor en l'impulsion externe est le geste qui rend tout fini-dimensionnel : la divergence, objet infini, se range dans un nombre fini de coefficients ($\alpha$, $\beta$), et la symétrie $\phi\to-\phi$ élimine les puissances impaires.
• Des paramètres nus infinis ne sont pas un scandale : ils ne sont pas observables. Le scandale serait une prédiction infinie.
• Contrôle dimensionnel sur la théorie de Fermi : $[G] = [\text{masse}]^{-2}$, donc l'échelle de rupture est $G^{-1/2}$ (et non $G^{-1}$, qui n'a pas la dimension d'une énergie ; la formulation rapide du livre p. 294 se relit avec cette correction).
• Ne pas oublier la leçon du chapitre 31 : même sans divergences, il faudrait renormaliser. Les infinis rendent le changement de variables obligatoire, ils ne le motivent pas seuls.

La renormalisation en action : self-énergie et vertex

La self-énergie et la resommation de Dyson

Le chapitre 31 a donné la forme exacte du propagateur habillé (pôle en $m_{\mathrm P}^2$, résidu $\mathrm iZ$). Le chapitre 32 a donné des contretermes. Ce chapitre relie les deux à travers les diagrammes de Feynman, et le mécanisme central est une resommation.

En théorie des perturbations, le propagateur est la somme de tous les diagrammes connexes à deux pattes externes. Pour organiser cette somme, on isole la brique élémentaire :

Les conditions de renormalisation

La règle d’or établie au chapitre 31 s’applique maintenant au résultat de la resommation : la masse physique est la position du pôle, le poids de quasiparticule est le résidu. La position du pôle de $\tilde G$ résout

$$ p^2 - m^2 - \operatorname{Re}\tilde\Sigma(p) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad m_{\mathrm P}^2 = m^2 + \operatorname{Re}\tilde\Sigma(p^2 = m_{\mathrm P}^2) $$

La partie réelle de la self-énergie est le déplacement de masse dû aux interactions, et sa partie imaginaire donne le taux de désintégration, $\Gamma$ se lisant sur $\operatorname{Im}\tilde\Sigma(m_{\mathrm P}^2)$. En développant $\tilde\Sigma$ au voisinage du pôle, on obtient aussi le poids (c’est l’exercice 33.1, et le résultat sert sans arrêt) :

$$ Z \approx \frac{1}{1 - \dfrac{\mathrm d\tilde\Sigma}{\mathrm dp^2}\Big|{p^2=m{\mathrm P}^2}} \approx 1 + \frac{\mathrm d\tilde\Sigma}{\mathrm dp^2}\Big|{p^2=m{\mathrm P}^2} $$

La fonction de vertex et la naissance du point de renormalisation

Le même traitement s’applique au couplage. Physiquement, le couplage change parce que les fluctuations du vide écrantent l’interaction entre deux particules, exactement comme le nuage électronique écrantait la charge test du chapitre 31.

La fonction de vertex dépend des impulsions. Pour en extraire un nombre qui mérite le nom de couplage physique, il faut choisir des impulsions de référence, et voici la subtilité qui change tout : contrairement à la masse, définie sans ambiguïté par un pôle, le couplage n’a pas de définition canonique. On décrète :

$$ -\mathrm i\lambda_{\mathrm P} = -\mathrm i\tilde\Gamma(p_1,p_2,p_3)\Big|_{s_0,,t_0,,u_0} $$

où le triplet $(s_0, t_0, u_0)$, librement choisi, s’appelle le point de renormalisation.

Ce résultat est plus gros qu’il n’en a l’air. La valeur de $\lambda_{\mathrm P}$ dépend du point $(s_0,t_0,u_0)$ où on l’a définie : le couplage physique n’est pas un nombre, c’est une fonction de l’échelle de référence. Deux physiciens ayant choisi des points différents mesurent des couplages différents et décrivent pourtant la même physique. La question « comment $\lambda_{\mathrm P}$ dépend-il de l’échelle ? » est la porte du chapitre suivant.

Bilan

Pièges

• Collision de notations, signalée par le livre lui-même : $\tilde\Gamma$ est la fonction de vertex, $\Gamma_{\mathbf p}$ le taux de désintégration du chapitre 31. Aucun rapport entre les deux.
• $\tilde\Sigma$ est définie amputée et sans delta global de conservation : oublier l'une de ces conventions désaccorde tous les facteurs de la resommation.
• 1PI signifie « survit à la coupure d'une ligne interne » : un diagramme connexe n'est pas forcément 1PI, et c'est l'unicité du découpage en blocs 1PI qui autorise la série géométrique sans double comptage.
• La resommation est une somme formelle : sa convergence n'est pas établie, mais elle accomplit ce qu'aucun ordre fini ne peut faire, déplacer le pôle. Tronquer la série après quelques termes redonnerait un pôle en $m$, pas en $m_{\mathrm P}$.
• Deux conditions de renormalisation cohabitent : $m_{\mathrm P}^2 = m^2 + \operatorname{Re}\tilde\Sigma$ (sans contretermes, décalage infini assumé) et $\operatorname{Re}\tilde\Sigma(m_{\mathrm P}^2) = 0$ (avec contretermes, masse verrouillée). Savoir laquelle un texte utilise avant de comparer des formules.
• La masse est définie par un pôle (sans ambiguïté), le couplage par un choix de point de renormalisation (arbitraire) : cette asymétrie n'est pas un défaut, c'est la graine du groupe de renormalisation.
• Le poids se calcule par $Z \approx 1 + \mathrm d\tilde\Sigma/\mathrm dp^2$ au pôle : la self-énergie ne déplace pas seulement la masse, sa pente mange une fraction du champ.

Le groupe de renormalisation

Le renversement de Wilson

Notre stratégie jusqu’ici consistait à cacher $\Lambda$ : l’introduire pour régulariser, puis l’éliminer des prédictions. Kenneth Wilson propose l’inverse : vivre avec la coupure. Pour définir proprement une théorie, on admet qu’on intègre jusqu’à un $\Lambda$ librement choisi, et le bon choix dépend de la physique visée : pour des ondes sonores dans un gaz (échelle du centimètre), $\Lambda^{-1}$ de quelques microns convient ; pour le nuage électronique d’un atome, on prendra $\Lambda^{-1}$ de la taille d’un noyau. La coupure n’est pas une honte, c’est une déclaration d’échelle d’intérêt. La question devient alors : comment les prédictions, et donc les couplages, changent-ils quand on change l’échelle ? Répondre à cette question est tout le programme du groupe de renormalisation.

Le chapitre précédent a préparé le terrain sans le dire. Reprenons l’amplitude à deux particules exprimée au point de renormalisation $s_0 = t_0 = u_0 = \mu^2$ :

La méthode de Wilson en trois pas

La dérivation ci-dessus était un raccourci. La méthode systématique part de l’intégrale fonctionnelle euclidienne $Z(\Lambda) = \int_\Lambda\mathcal D\phi,e^{-\int\mathrm d^dx,\mathcal L[\phi]}$, où l’indice $\Lambda$ ordonne d’intégrer sur les configurations dont les composantes de Fourier vont jusqu’à $\Lambda$. On découpe le champ en composantes lentes et rapides :

$$ \tilde\phi(p) = \tilde\phi_{\mathrm s}(p)\ \text{pour } 0 \leq |p| \leq \Lambda/b, \qquad \tilde\phi(p) = \tilde\phi_{\mathrm f}(p)\ \text{pour } \Lambda/b \leq |p| \leq \Lambda $$

avec $b > 1$. Puis trois pas :

• Pas I, intégrer les modes rapides. On effectue la partie de l'intégrale fonctionnelle qui porte sur $\phi_{\mathrm f}$. L'effet est celui d'une paire de lunettes qu'on retire : les détails fins disparaissent, le champ a l'air plus lisse. Le résultat se range dans une correction $\delta\mathcal L[\phi_{\mathrm s}]$ à l'action des modes lents. C'est le pas difficile, en général impossible exactement : on le fait en perturbation.
• Pas II, rééchelonner les impulsions. Le champ lissé vit sur $[0, \Lambda/b]$ : pour le comparer loyalement à la théorie de départ, on pose $p' = b\,p$, ce qui redéploie l'espace des impulsions sur $[0, \Lambda]$.
• Pas III, rééchelonner les champs. On pose $\tilde\phi(p'/b) = b^{\,d - d_\phi}\,\tilde\phi'(p')$, en choisissant l'exposant $d_\phi$ (baptisé, dans le jargon volontiers ésotérique du domaine, dimension anormale) pour laisser invariant le terme jugé dominant, en pratique le terme de gradient.

Si tout se passe bien, le lagrangien final a la même forme que le lagrangien initial, avec des couplages modifiés : on a fabriqué la transformation $g_i \to g_i’$, et il suffit de l’itérer en pensée pour engendrer le flot complet. En posant $b = e^\ell$ et en envoyant $\ell\to\infty$, on suit la physique aux grandes longueurs d’onde.

Application 1 : la liberté asymptotique

La théorie des perturbations est un développement en puissances des couplages : elle marche là où ils sont petits. Or ils coulent. En électrodynamique quantique, la fonction $\beta$ de la charge est positive ($\mu,\mathrm de/\mathrm d\mu = |e|^3/12\pi^2$ au premier ordre, dérivée au chapitre 41) : la charge effective croît vers l’ultraviolet et décroît vers l’infrarouge. L’image physique est l’écrantage : le vide, peuplé de paires virtuelles polarisables, se comporte comme un diélectrique, et plus on s’approche de la charge (hautes impulsions), moins elle est masquée, donc plus elle paraît grande. La théorie des perturbations de l’électrodynamique est excellente à basse énergie et se dégrade en montant.

Pour une classe de théories, dont les théories de jauge non abéliennes de Yang–Mills (chapitre 46), la surprise est totale : $\beta$ est négative. Le couplage fond vers l’ultraviolet et enfle vers l’infrarouge. C’est la liberté asymptotique : la théorie est presque libre à haute énergie et férocement couplée à basse énergie. Le vide non abélien anti-écrante, les gluons virtuels portant eux-mêmes la charge de couleur et renforçant le champ au lieu de le masquer. Le phénomène explique d’un coup les deux visages de l’interaction forte : dans les expériences de diffusion profondément inélastique, les quarks frappés à très haute énergie se comportent comme des particules quasi libres, tandis qu’à basse énergie le couplage devient si fort qu’aucun quark ne peut être isolé (on ne les trouve qu’en états liés, mésons et baryons). Une image mécanique aide : des masses reliées par des ressorts interagissent faiblement à courte distance et de plus en plus fort à mesure qu’on les écarte.

Application 2 : la localisation d’Anderson

Question de matière condensée : un métal cristallin conduit, mais que se passe-t-il quand on le salit de plus en plus ? Anderson a compris en 1958 qu’au-delà d’un désordre critique, la diffusion sur les impuretés cesse d’être diffusive : les électrons se localisent dans des états liés et le métal devient isolant. Le point de bascule s’appelle le seuil de mobilité. Le groupe de renormalisation transforme cette intuition en théorème, et Thouless a identifié le bon couplage : la conductance sans dimension $g = \hbar G(L)/e^2$ d’un échantillon de taille $L$, avec pour fonction de flot

$$ \beta(g) = \frac{\mathrm d\ln g}{\mathrm d\ln L} $$

Les deux régimes limites se calculent par analyse dimensionnelle : un métal a $G(L) \propto L^{d-2}$ (pensez $G = \sigma L$ en dimension 3), donc $\beta \approx d-2$ à grand $g$ ; un isolant a $G \propto e^{-L/\xi}$, donc $\beta \approx \ln g$ à petit $g$, très négatif. En raccordant les deux limites, tout se lit sur le graphe. En dimension 3, la courbe $\beta(g)$ traverse zéro en un point fixe répulsif $g_c$ : c’est le seuil de mobilité, plus propre que $g_c$ on coule vers le métal, plus sale on coule vers l’isolant. En dimensions 1 et 2, la courbe reste sous zéro : aucun point fixe, aucun seuil. La moindre poussière suffit, à taille assez grande, à rendre le système isolant. Un énoncé profond obtenu en raccordant deux asymptotes.

Application 3 : la transition de Kosterlitz–Thouless

Voici le plus beau retour sur investissement de la partie précédente. Le théorème de Coleman–Mermin–Wagner interdit toute brisure spontanée d’une symétrie continue en deux dimensions spatiales : pas de transition magnétique ordinaire pour un aimant plan. Et pourtant une transition existe, d’un type entièrement nouveau : une transition de phase topologique, qui sépare deux régimes des vortex du chapitre 29.

Le modèle est le champ complexe de module 1, $\phi(\mathbf x) = e^{\mathrm i\theta(\mathbf x)}$, le modèle $XY$ bidimensionnel : une flèche plane en chaque point. Nous connaissons déjà l’objet central : le vortex global (non jaugé), dont le chapitre 29 avait établi que l’énergie diverge logarithmiquement. Ce qui était là-bas une pathologie devient ici le moteur de toute la physique. L’action euclidienne d’un vortex vaut

$$ S = S^{\text{cœur}}(a) + \pi K,\ln(L/a) \qquad\text{avec}\qquad K = \frac{J}{T} $$

où $J$ est la raideur du champ de spins (le coût de ses déformations, la rigidité générique des phases ordonnées), $a$ la taille du cœur et $L$ celle du système.

L’analyse de renormalisation suit deux couplages en fonction de l’échelle : $K^{-1} = T/J$ (l’inverse de la raideur réduite) et la fugacité $y = e^{-S^{\text{cœur}}(a)}$, qui mesure à quel point le système sent la présence des vortex (petit $y$ : cœurs coûteux et rares ; grand $y $: vortex libres bon marché).

Le diagramme de flot raconte deux destins. La plupart des trajectoires filent vers $K^{-1}, y \to\infty$ : c’est la phase de haute température, où les vortex libres prolifèrent, brouillent le champ à l’infini, et où la raideur cesse de compter. Mais en bas à gauche, des trajectoires aboutissent sur des points fixes de l’axe $y = 0$, à $K$ fini : c’est la phase de basse température. La fugacité nulle signifie que les vortex n’y survivent qu’en paires liées vortex-antivortex, des dipôles topologiques : vu de loin, le tourbillon horaire de l’un annule le tourbillon antihoraire de l’autre, le champ redevient uniforme à l’infini, et la paire ne coûte qu’une énergie finie. Le système garde une raideur non nulle, la signature d’un ordre (exotique), sans jamais violer Mermin–Wagner puisque l’aimantation moyenne reste nulle. La transition, à $K^{-1} = \pi/2$ (on retrouve le $k_{\mathrm B}T = \pi J/2$ de l’argument entropique), est le déliement des vortex : en chauffant, les dipôles se dissocient et les charges topologiques se libèrent. Kosterlitz et Thouless ont reçu le prix Nobel 2016 pour cette physique (avec Haldane, et Berezinskii l’avait découverte indépendamment en Union soviétique).

Bilan

Pièges

• Le groupe de renormalisation est un semi-groupe : intégrer les modes rapides détruit de l'information, la transformation n'a pas d'inverse. Le nom est un vestige historique.
• La fonction $\beta$ se définit différemment selon les problèmes ($\mathrm dg/\mathrm d\ln b$, $\mu\,\mathrm dg/\mathrm d\mu$, $\mathrm d\ln g/\mathrm d\ln L$...) : aucune inquiétude à avoir, l'idée est toujours la même, mais vérifier la convention avant de comparer deux textes.
• Surveiller le sens du flot : $b > 1$ et $\ell\to\infty$ suivent l'infrarouge (grandes distances, convention de la matière condensée), $\mu\to\infty$ suit l'ultraviolet. Une flèche inversée fait dire à un diagramme le contraire de ce qu'il dit.
• « Constante » de couplage est un abus de langage désormais officiel : tout couplage coule.
• Un point fixe n'est pas une destination garantie : répulsif, il sépare des bassins ; attractif, il ne capture que son bassin. Et un flot $g\to\infty$ ne prédit pas une mesure infinie : une physique absente du lagrangien finit toujours par couper le flot.
• Électrodynamique et chromodynamique tirent en sens opposés : écrantage ($\beta > 0$, la charge croît vers l'ultraviolet) contre anti-écrantage ($\beta < 0$, liberté asymptotique) ; la différence vient de ce que les gluons portent eux-mêmes la charge de couleur.
• Kosterlitz–Thouless ne contredit pas Coleman–Mermin–Wagner : aucune symétrie n'est brisée, aucune aimantation n'apparaît. La transition est topologique (déliement de vortex), et le paramètre qui la détecte est la raideur, pas l'ordre.
• Les vortex de ce chapitre sont les vortex globaux (non jaugés) du chapitre 29 : leur énergie en $\pi K\ln(L/a)$ est exactement la divergence logarithmique qui les rendait instables à $T = 0$. La température recycle le défaut en physique.
• Dans l'argument entropique, tout repose sur le fait que énergie et entropie portent le même $\ln(L/a)$ : c'est cette coïncidence de forme qui produit une température de transition finie et indépendante de la taille.

Le ferromagnétisme, un tutoriel de renormalisation

Les phénomènes critiques et l’hypothèse de Widom

Au voisinage d’une transition de phase continue, l’expérience révèle un comportement remarquable : les grandeurs thermodynamiques suivent des lois de puissance. En posant la température réduite $t = (T - T_c)/T_c$, on définit les exposants critiques :

$$ C \sim |t|^{-\alpha}, \quad M \sim (-t)^{\beta}, \quad \chi \sim |t|^{-\gamma}, \quad \chi \sim |B|^{1/\delta}\ \text{à } T_c, \quad \xi \sim |t|^{-\nu} $$

et la fonction de corrélation connexe interpole entre une loi de puissance $1/|r|^{d-2+\eta}$ à courte distance et une décroissance exponentielle $e^{-|r|/\xi}$ au-delà de la longueur de corrélation $\xi$. Le choix des lois de puissance n’est pas anodin : contrairement à une exponentielle, une loi de puissance ne contient aucune échelle de longueur. C’est la marque du point critique, où $\xi$ diverge et où les fluctuations existent à toutes les échelles à la fois. Un système sans échelle propre est exactement le client idéal d’une méthode qui étudie les changements d’échelle.

Bien avant le groupe de renormalisation, Widom a remarqué que tous les exposants découlent d’une seule hypothèse sur l’énergie libre réduite $f(t, h)$ (par unité de volume et de température, avec $h$ le champ réduit) :

Le programme du chapitre est fixé : la machine de Wilson doit produire $y_t$ et $y_h$, en lisant comment $t$ et $h$ coulent sous renormalisation.

Le modèle, et l’échauffement gaussien

Le modèle continu du ferromagnète est le modèle de Landau–Ginzburg, qui n’est autre que la théorie $\phi^4$ euclidienne en dimension $d$ :

$$ S_{\mathrm E} = \int\mathrm d^dx\left[\frac12(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2 + \frac{\lambda}{4!}\phi^4\right] \qquad\text{avec l’identification}\qquad m^2 = a,(T - T_c) $$

La température entre par le terme de masse : $m^2 > 0$ au-dessus de $T_c$, $m^2 < 0$ en dessous. En champ moyen ($\phi$ uniforme), on retrouve la théorie de Landau du chapitre sur la brisure de symétrie : $m^2 < 0$ et $\lambda > 0$ donnent un ferromagnète, point final. Mais le champ moyen est aveugle aux fluctuations, et toute la question du chapitre est de savoir ce qu’elles changent.

Une boucle, et le point fixe de Wilson–Fisher

Allumons $\lambda$. Le pas I devient impossible exactement, et on le traite en perturbation par des diagrammes de Feynman, avec une seule différence par rapport à toutes nos habitudes : les impulsions internes ne s’intègrent que sur la coquille rapide, de $\Lambda/b$ à $\Lambda$, et non de 0 à la coupure. À une boucle, deux diagrammes corrigent la théorie : le têtard (une boucle accrochée à une ligne, qui corrige $m^2$) et le poisson (deux vertex reliés par deux propagateurs, qui corrige $\lambda$).

Avant les nombres, la physique du diagramme de flot. Les trajectoires partant de $m^2 > 0$ filent toutes vers les grands $m^2$ positifs : paramagnétisme, en accord avec le champ moyen. Mais côté $m^2 < 0$, la surprise : partir avec une masse carrée négative ne garantit plus le ferromagnétisme. Si le couplage $\lambda$ (l’intensité des fluctuations) est assez fort, le flot ramène le système côté paramagnétique : les fluctuations peuvent voler la transition au champ moyen. Seules les conditions initiales à $\lambda$ assez petit et $m^2$ assez négatif s’échappent vers l’ordre ferromagnétique.

Les exposants, et le miracle de l’universalité

Il ne reste qu’à récolter. Avec $y_t = 2 - \varepsilon/3$ et $y_h = (6-\varepsilon)/2$, les formules de Widom donnent, à l’ordre $\varepsilon$ :

$$ \alpha = \frac{\varepsilon}{6}, \quad \beta = \frac12 - \frac{\varepsilon}{6}, \quad \gamma = 1 + \frac{\varepsilon}{6}, \quad \delta = 3 + \varepsilon, \quad \nu = \frac12 + \frac{\varepsilon}{12}, \quad \eta = 0 $$

Puis vient le geste le plus effronté de tout le livre : pour décrire le monde réel à trois dimensions, on pose $\varepsilon = 1$, très au-delà du domaine où le développement est censé valoir. Et cela marche remarquablement bien :

L’ordre $\varepsilon^2$ s’approche des valeurs acceptées pour le modèle d’Ising tridimensionnel, elles-mêmes en bon accord avec l’expérience. Et la leçon dépasse largement l’aimant : dans tout ce calcul, aucun détail microscopique n’est entré. Les exposants ne dépendent que de la dimension de l’espace et de la symétrie du paramètre d’ordre. Une transition ferromagnétique, une transition liquide-gaz, un mélange binaire de fluides, un système décrit par le même lagrangien dans l’Univers primordial : mêmes exposants. C’est l’universalité, et c’est le semi-groupe qui l’explique : le flot vers les grandes échelles efface les détails microscopiques (variables non pertinentes) et toutes les théories d’une même classe convergent vers le même point fixe. Le point fixe ne se souvient de rien, sauf de la dimension et de la symétrie.

Bilan

Pièges

• L'identification $m^2 = a(T - T_c)$ est le pont entre le champ et la thermodynamique : la température entre dans la théorie par le terme de masse, et c'est pour cela que $y_t$ se lit sur le flot de $m^2$.
• Le champ moyen est aveugle aux fluctuations : le résultat le plus contre-intuitif du flot est qu'un $m^2 < 0$ initial peut aboutir à un paramagnétique si $\lambda$ est grand. La transition n'appartient pas au lagrangien, elle appartient au flot.
• Dans le calcul à une boucle du groupe de renormalisation, les intégrales internes ne courent que sur la coquille $\Lambda/b \leq |p| \leq \Lambda$ : reprendre l'habitude des intégrales de 0 à $\Lambda$ fausse tous les coefficients.
• Le développement en $\varepsilon = 4 - d$ est utilisé à $\varepsilon = 1$, hors de tout domaine de validité contrôlé, et la série est de surcroît asymptotique : son succès est un fait d'expérience (et un petit miracle), pas un théorème.
• $\eta = 0$ à une boucle : l'exposant de la fonction de corrélation n'apparaît qu'à deux boucles. Un $\eta$ non nul mesure l'écart du champ à sa dimension naïve, d'où le nom de dimension anormale.
• Vocabulaire à verrouiller : pertinent (grandit sous le flot, gouverne la physique aux grandes échelles), non pertinent (rétrécit, oubliable), marginal (immobile au premier ordre, tout se joue aux ordres suivants). En dimension $4-\varepsilon$, $\lambda$ est pertinent près du point gaussien ; en dimension $> 4$, il devient non pertinent et le champ moyen dit vrai.
• Les préfacteurs des diagrammes cachent une subtilité de comptage (le bon facteur pour $p$ boucles est $2p!/2^p2^p$, note du livre renvoyant à Binney et al.) : en cas de désaccord d'un facteur 2 ou 3 avec un autre texte, chercher d'abord là.
• L'universalité n'affirme pas que tout est pareil : $T_c$, les amplitudes, les détails hors du régime critique restent propres à chaque matériau. Seuls les exposants (et certains rapports d'amplitudes) sont universels.