Théorie quantique des champs – Partie 7

La matrice S

Les chapitres précédents ont construit le propagateur (l’amplitude de propagation d’un quantum). Ce chapitre construit l’objet qui parle aux expériences. Trois idées s’emboîtent :

• L'objet mesurable : la matrice $S$, tableau des amplitudes entre états asymptotiques libres (car dans une collision, on ne mesure jamais « pendant », seulement « longtemps avant » et « longtemps après »).
• L'outil : la représentation d'interaction, qui répartit l'évolution de sorte que les champs restent les champs libres du chapitre précédent (développements en modes et propagateur $\Delta$ compris), l'interaction ne pilotant que les états.
• Deux théorèmes de conversion : la série de Dyson (qui écrit $\hat S$ comme exponentielle chronologique de l'interaction) et le théorème de Wick (qui convertit les produits chronologiques en produits de propagateurs). Le chapitre suivant ne fera plus que dessiner le résultat.

Ce qu’on mesure

Posons $\hat H = \hat H_0 + \hat H’$, où $\hat H_0$ est la partie libre (celle du chapitre précédent, exactement soluble, dont on connaît les états propres : le vide et les états de Fock) et $\hat H’$ l’interaction.

Dans une collision, on ne mesure jamais « pendant », seulement « longtemps avant » et « longtemps après ».

Anatomie d’une expérience de diffusion :

• on prépare des paquets d'ondes très éloignés les uns des autres (donc sans interaction, des états propres de $\hat H_0$) ;
• ils se rapprochent, interagissent pendant un temps fini ;
• on détecte des paquets à nouveau très éloignés (encore des états libres). Toute la physique accessible tient dans le tableau des amplitudes « entrée $\to$ sortie ».

La matrice $S$ est le tableau des amplitudes entre états asymptotiques libres.

La représentation d’interaction

Qui, des états ou des opérateurs, porte l’évolution temporelle ? Trois choix cohérents :

Les indices disent la représentation : $|\psi_S\rangle$ est l’état en représentation de Schrödinger (l’état « ordinaire », celui qui obéit à $i\partial_t|\psi_S\rangle = \hat H|\psi_S\rangle$) et $|\psi_I\rangle$ sera son avatar en représentation d’Interaction.

Si $\hat H’ = 0$, l’évolution se réduit à $|\psi_S(t)\rangle = e^{-i\hat H_0 t}|\psi_S(0)\rangle$ : une « rotation » libre dans l’espace de Hilbert, connue et sans intérêt. Multiplier par $e^{+i\hat H_0 t}$ défait exactement cette rotation (c’est passer dans le référentiel tournant qui accompagne l’évolution libre). Dans ce référentiel, un état libre est immobile, et tout mouvement résiduel est imputable à l’interaction seule. La définition est conçue pour cela.

La loi de transformation des opérateurs n’est pas un choix indépendant : elle est forcée par l’exigence que les grandeurs physiques ne dépendent pas de la représentation : en effet, pour avoir $\langle\psi_S|\hat O_S|\psi_S\rangle = \langle\psi_I|\hat O_I|\psi_I\rangle$ pour tout état, il faut $\hat O_I = e^{i\hat H_0 t}\hat O_S\, e^{-i\hat H_0 t}$ (suffit d’insérer $|\psi_I\rangle = e^{i\hat H_0 t}|\psi_S\rangle$). Noter qu’à $t = 0$, les trois représentations coïncident.

Le point capital : les opérateurs, eux, évoluent sous $\hat H_0$ seul. Donc les champs, en représentation d’interaction, obéissent aux équations libres (en TQC, les champs sont les opérateurs). Tout l’acquis du chapitre précédent (développements en modes, commutateurs, propagateur $\Delta$) reste utilisable tel quel, même en présence d’interactions. C’est précisément pour cela que cette représentation existe.

La série de Dyson

Notons $\hat U_I(t, t’)$ l’opérateur d’évolution des états en représentation d’interaction : $i\partial_t \hat U_I = \hat H_I(t)\hat U_I$, avec $\hat U_I(t’,t’) = \mathbb 1$. En intégrant, l’équation différentielle devient une équation intégrale :

$$ \hat U_I(t, t’) = \mathbb 1 + (-i)\int_{t’}^{t} \mathrm{d}t_1\, \hat H_I(t_1)\, \hat U_I(t_1, t’), $$

qu’on résout par itération (on réinjecte l’équation dans elle-même) :

Noter la structure du terme d’ordre $2$ : les temps sont ordonnés, $t_1 \geq t_2$, et l’opérateur le plus ancien est à droite (l’itération produit d’elle-même des produits chronologiques). Comme $[\hat H_I(t_1), \hat H_I(t_2)] \neq 0$ en général, cet ordre n’est pas négociable.

Il faut convertir les intégrales ordonnées en intégrales libres sous $T$, au prix d’un facteur combinatoire. À l’ordre $2$ : le domaine ordonné est le triangle $t’ \leq t_2 \leq t_1 \leq t$, moitié du carré $[t’,t]^2$.

Sur le carré entier, considérons $\frac{1}{2}\iint T[\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)]$.

• Sur le triangle $t_1 \geq t_2$, le $T$ donne $\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)$.
• Sur le triangle $t_2 \geq t_1$, il donne $\hat H_I(t_2)\hat H_I(t_1)$, qui redevient le premier intégrande en échangeant les noms des variables muettes $t_1 \leftrightarrow t_2$.

Les deux triangles contribuent donc autant, et

$$ \int_{t’}^{t}\mathrm{d}t_1 \int_{t’}^{t_1}\mathrm{d}t_2\, \hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2) = \frac{1}{2!}\int_{t’}^{t}\mathrm{d}t_1 \int_{t’}^{t}\mathrm{d}t_2\; T\big[\hat H_I(t_1)\hat H_I(t_2)\big] $$

À l’ordre $n$, même argument : le domaine libre $[t’,t]^n$ se découpe en $n!$ secteurs (un par ordre chronologique possible des $t_i$), et sous $T$ ils contribuent tous autant (d’où le $1/n!$ qui reconstitue l’exponentielle) :

$$ \hat U_I = \sum_{n} \frac{(-i)^n}{n!} \int \cdots \int\; T\big[\hat H_I(t_1)\cdots \hat H_I(t_n)\big] = T\exp\left(-i\int \hat H_I\right) $$

Quelques détails :

Le terme d’ordre $n$ de l’itération vit sur le simplexe $t \geq t_1 \geq \cdots \geq t_n \geq t’$, les opérateurs déjà rangés du plus récent au plus ancien par les bornes emboîtées. Aucun $T$ n’est encore intervenu.

Le cube $[t’,t]^n$ se découpe (à des ensembles de mesure nulle près) en $n!$ secteurs $D_\sigma = \{t_{\sigma(1)} > \cdots > t_{\sigma(n)}\}$, un par permutation.
Point crucial : la fonction $F(t_1,\dots,t_n) = T[\hat H_I(t_1)\cdots\hat H_I(t_n)]$ est totalement symétrique ($T$ trie selon les valeurs des temps, pas selon les étiquettes). C’est ce qui autorise, sur chaque secteur, le changement de variables $s_i = t_{\sigma(i)}$ (jacobien de $1$) qui l’envoie sur le simplexe standard : les $n!$ secteurs livrent la même intégrale. Sans le $T$, ce renommage serait illicite, les $\hat H_I(t_i)$ ne commutant pas.

Le signe « $=$ » final est une définition.
L’exponentielle ordinaire de $\hat A = -i\int_{t’}^t \hat H_I$ donne $\sum_n \frac{(-i)^n}{n!}\int_{\text{cube}} \hat H_I(t_1)\cdots\hat H_I(t_n)$ (le produit non ordonné).
On définit $T\exp(-i\int\hat H_I)$ comme la même série avec un $T$ dans chaque terme : « développer comme si les $\hat H_I(t)$ commutaient, puis ordonner ».
Cohérence : si les $\hat H_I(t)$ commutaient pour tout temps, le $T$ ne ferait rien et on retomberait sur $e^{-i\int\hat H_I}$, le résultat familier.

De $\hat U_I$ à $\hat S$ :
Par définition, $\hat S = \hat U_I(+\infty, -\infty)$. On prend $t’ \to -\infty$ et $t \to +\infty$ dans la formule. En écrivant alors le hamiltonien d’interaction comme l’intégrale de sa densité, $\hat H_I(t_1) = \int \mathrm{d}^3x\, \hat{\mathcal H}_I(\mathbf x, t_1)$, chaque intégrale temporelle fusionne avec son intégrale spatiale :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}t_1 \int \mathrm{d}^3 x \;=\; \int \mathrm{d}^4 x $$

et le $T$ continue d’ordonner ce qu’il a toujours ordonné, la coordonnée temporelle des points d’espace-temps où les $\hat{\mathcal H}_I$ sont évalués.
D’où $\hat S = T\exp\big(-i\int\mathrm{d}^4x\,\hat{\mathcal H}_I(x)\big)$.

Rq (covariance) : dans la forme $\hat S = T\exp(-i\int\mathrm{d}^4x\,\hat{\mathcal H}_I)$, chaque ingrédient est Lorentz-invariant : $\mathrm{d}^4x$, la densité scalaire $\hat{\mathcal H}_I$, et le $T$ (grâce à la micro-causalité du chapitre précédent qui rendait le produit chronologique non ambigu hors du cône). La théorie des perturbations est ainsi bien relativiste ordre par ordre.

Le théorème de Wick

Développons $\hat S$ et prenons un élément de matrice : il apparaît des objets du type $\langle f|\, T[\hat{\mathcal H}_I(x_1)\cdots\hat{\mathcal H}_I(x_n)]\,|i\rangle$. Comme $\hat{\mathcal H}_I$ est un produit de champs libres (le hamiltonien est une fonction des champs et en représentation d’interaction, les champs obéissent aux équations libres) et que $|i\rangle, |f\rangle$ sont construits par des $\hat a^\dagger$ sur le vide, tout se ramène à des valeurs moyennes dans le vide de produits chronologiques de champs libres. Il faut un mécanisme pour les évaluer : c’est le théorème de Wick.

C’est l’ordre normal qui évacuait l’énergie de point zéro (redéfinir le zéro, c’est exactement soustraire la valeur dans le vide).

La contraction de deux champs est l’écart entre ordre chronologique et ordre normal :

La contraction de deux champs est un simple nombre (un multiple de l’identité), pas un opérateur (ce que Dirac appellait un « c-nombre »). Et ce nombre est le propagateur de Feynman :

Exemple : développement complet pour quatre champs bosoniques.

On pose $\hat\phi_k \equiv \hat\phi(x_k)$ :

soit $1 + \binom{4}{2} + 3 = 10$ termes : zéro contraction (un terme), une contraction ($\binom{4}{2} = 6$ façons de choisir la paire contractée), deux contractions (les $3$ appariements complets).

Deux remarques :

• chaque crochet est un simple nombre (théorème ci-dessus) : on pourra le sortir devant le produit normal restant et l'évaluer (ce qu'on fera à la suite du corollaire) ;
• contracter deux champs non adjacents (crochet qui enjambe, par exemple $\hat\phi_1$–$\hat\phi_3$) ne pose aucun problème pour des bosons car tout se réordonne librement. Pour des fermions, chaque enjambement coûterait un signe $(-1)$.

Retour à l’exemple à quatre champs :

Dans le développement ci-dessus, les sept premiers termes contiennent un $N[\cdots]$ et meurent dans le vide ; survivent les trois termes complètement contractés, $(4-1)!! = 3$ appariements :

Et chaque crochet s’évalue par le théorème de la contraction (crochet sur $\hat\phi_j$ et $\hat\phi_k$ $= \Delta(x_j, x_k)$), d’où le résultat en propagateurs de Feynman :

$$ \langle 0|T\big[\hat\phi_1\hat\phi_2\hat\phi_3\hat\phi_4\big]|0\rangle = \Delta(x_1,x_2)\Delta(x_3,x_4) + \Delta(x_1,x_3)\Delta(x_2,x_4) + \Delta(x_1,x_4)\Delta(x_2,x_3) $$

Lecture physique : la naissance des diagrammes.
Chaque appariement complet est une façon de câbler le processus : chaque paire contractée est une propagation d’un point à un autre, et le corollaire dit qu’une amplitude est la somme sur tous les câblages possibles de produits de propagateurs.
Dessinez chaque câblage (un point par $x_k$, un trait par $\Delta$) et vous avez un diagramme de Feynman : le chapitre suivant n’est que la codification de ce geste (avec les vertex qu’apportent les $\hat{\mathcal H}_I(x)$, et les facteurs de symétrie qui comptent les câblages équivalents).

Bilan

$\displaystyle |S_{fi}|^2 \;\longleftarrow\; S_{fi} = \Big\langle f \Big|\, T e^{-i\int \mathrm{d}^4x\, \hat{\mathcal H}_I}\, \Big| i \Big\rangle \;\longleftarrow\; \text{développer en puissances de } \hat{\mathcal H}_I\;\longleftarrow\; \langle 0|\, T\big[\text{champs libres}\big]\, |0\rangle \;\overset{\text{Wick}}{\longleftarrow}\; \sum_{\text{câblages}} \prod \Delta \;\longleftarrow\; \text{diagrammes (chapitre suivant)} $

Chaque maillon a son théorème : Dyson pour le deuxième, Wick pour l’avant-dernier. Et chaque ingrédient ($\Delta$, la micro-causalité qui rend $T$ covariant, les champs libres) vient des chapitres précédents.

Pièges

• Le $T$ n'est pas décoratif : $[\hat H_I(t_1), \hat H_I(t_2)] \neq 0$, l'ordre des facteurs compte, et c'est l'itération de l'équation intégrale qui l'impose.
• En représentation d'interaction, les champs sont libres : ne pas les confondre avec les champs de Heisenberg de la théorie complète (qui, eux, portent l'interaction).
• L'ordre normal n'est pas gratuit : c'est une redéfinition du zéro d'énergie (la même qui évacuait l'énergie du vide).
• La série est asymptotique : tronquer est la règle, pas un pis-aller provisoire.
• L'hypothèse asymptotique (interaction « éteinte » à $t = \pm\infty$) est le tapis sous lequel dorment les états liés et l'habillage des particules (rendez-vous à la renormalisation).

Les diagrammes de Feynman

Le chapitre précédent a détaillé la stratégie pour obtenir les amplitudes de transition entre états asymptotiques initiaux et finaux : on développe $\hat S = T e^{-i\int \hat{\mathcal H}_I}$ en puissances de l’interaction, puis le théorème de Wick réduit chaque terme à des produits de propagateurs.
Ce chapitre exécute la chaîne sur un exemple ($\phi^4$), constate que chaque terme se dessine, puis renverse la logique : une fois les règles de Feynman extraites, on ne développe plus jamais rien, on dessine les diagrammes et on écrit directement l’intégrale que chacun représente.

Lire un dessin avant de savoir le calculer

Convention : le temps monte le long de la page. Une particule est une ligne dont la flèche suit le temps, une antiparticule une ligne dont la flèche le remonte (c’est la traduction graphique de l’interprétation de Feynman des antiparticules). La flèche suit le flot de charge, pas le mouvement.

On peut dessiner des paires créées ou annihilées, et raconter des histoires : une ligne qui semble « boucler en arrière dans le temps » se lit, en survolant le dessin dans l’ordre chronologique, comme création d’une paire à $t_1$, puis annihilation de l’antiparticule créée avec une autre particule à $t_2$. Les particules étant identiques, personne ne peut distinguer les deux lectures.

Le bestiaire des interactions

Les hamiltoniens d’interaction sont des produits de champs libres localisés en un même point $z$. L’interaction sera lue comme une collision des particules au point d’espace-temps $z$, et le $\int\mathrm{d}^4z$ de la série de Dyson dit que la collision peut avoir lieu partout (on somme sur toutes les positions du vertex : Huygens version interaction).

Quatre modèles :

• Source externe : $\hat{\mathcal H}_I(z) = J(z)\hat\phi(z)$
  Un blob $J$ d'où sort une patte de champ :

• Auto-interaction $\phi^4$ : $\hat{\mathcal H}_I(z) = \dfrac{\lambda}{4!}\hat\phi(z)^4$
  Quatre pattes de champ se rencontrent en $z$ (le $4!$ est là pour simplifier les facteurs de symétrie, voir plus bas) :

• Type Yukawa : $\hat{\mathcal H}_I(z) = g,\hat\psi^\dagger(z)\hat\psi(z)\hat\phi(z)$, $\hat\psi$ complexe
  Un $\psi$ (flèche entrante), un $\psi^\dagger$ (flèche sortante) et un $\phi$ se rencontrent en $z$. Même structure que QED ($\psi \to$ électron, $\phi \to$ photon)¹.

• Coulomb non relativiste : $\hat{\mathcal H}_I(x-y) = \tfrac12 \hat\psi^\dagger(\mathbf x)\hat\psi^\dagger(\mathbf y) V(\mathbf x - \mathbf y)\,\delta(x^0 - y^0)\,\hat\psi(\mathbf y)\hat\psi(\mathbf x)$
  Délocalisée mais instantanée (le $\delta$ sur les temps) :

$\phi^4$

Théorie de travail :

$$ \mathcal L = \frac{1}{2}\big[\partial_\mu\phi(x)\big]^2 - \frac{m^2}{2}\phi(x)^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi(x)^4, $$

La partie libre donne $\hat H_0$ par quantification canonique, et la partie interagissante $\hat{\mathcal H}_I = \dfrac{\lambda}{4!}\hat\phi(x)^4$.

On travaille en représentation d’interaction (chapitre précédent) : les champs $\hat\phi$ évoluent librement (tout l’attirail des modes et le propagateur $\Delta$ restent valables).

Choisir l’élément de matrice et l’écrire en valeur moyenne dans le vide

Exemple : une particule entre avec l’impulsion $\mathbf p$, une particule sort avec $\mathbf q$. Avec la normalisation relativiste $|p\rangle = (2\pi)^{3/2}(2E_{\mathbf p})^{1/2}\, \hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle$ :

Tout est ramené au vide : c’est la condition d’application du corollaire de Wick.
Le facteur de normalisation s’expliquera dans la suite.

Développer $\hat S$ par Dyson

$ \hat S = T\exp\Big(-i\int\mathrm{d}^4z\, \hat{\mathcal H}_I(z)\Big) = T\bigg[ 1 - \frac{i\lambda}{4!}\int\mathrm{d}^4z\, \hat\phi(z)^4 + \frac{(-i)^2}{2!}\Big(\frac{\lambda}{4!}\Big)^2 \int\mathrm{d}^4y\,\mathrm{d}^4w\, \hat\phi(y)^4\hat\phi(w)^4 + \cdots \bigg] $

Injecter dans l’élément de matrice

$\mathcal A = \mathcal A^{(0)} + \mathcal A^{(1)} + \mathcal A^{(2)} + \cdots$, où $\mathcal A^{(n)} \propto \lambda^n$ : la série est ordonnée par le nombre de collisions.

Moudre avec Wick

À l’ordre $1$, il faut $\langle 0|\hat a_{\mathbf q}\, \hat\phi(z)\hat\phi(z)\hat\phi(z)\hat\phi(z)\, \hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle$ : une chaîne de six opérateurs, que Wick réduit à des appariements complets². Deux familles :

• Famille A (les $\hat a$ entre eux, les $\hat\phi$ entre eux) : $\langle 0|\hat a_{\mathbf q}\hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle\,\langle 0|T\hat\phi\hat\phi|0\rangle\,\langle 0|T\hat\phi\hat\phi|0\rangle$.
  Comptage : apparier $4$ champs deux à deux $= 3$ façons.
  Exemple de représentant de la famille :

• Famille B ($\hat a$ contractés avec des $\hat\phi$) : $\langle 0|\hat a_{\mathbf q}\hat\phi(z)|0\rangle\,\langle 0|T\hat\phi\hat\phi|0\rangle\,\langle 0|\hat\phi(z)\hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle$.
  Comptage : $4$ pattes pour $\hat a^\dagger_{\mathbf p}$, puis $3$ pour $\hat a_{\mathbf q}$ $= 12$ façons.
  Exemple de représentant de la famille :

D’où le premier ordre :

$ \mathcal A^{(1)} = -\frac{i\lambda}{4!}\int\mathrm{d}^4z\,\Big[ 3\,\langle 0|\hat a_{\mathbf q}\hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle\, \langle 0|T\hat\phi\hat\phi|0\rangle \, \langle 0|T\hat\phi\hat\phi|0\rangle + 12\,\langle 0|\hat a_{\mathbf q}\hat\phi(z)|0\rangle\, \langle 0|T\hat\phi\hat\phi|0\rangle \, \langle 0|\hat\phi(z)\hat a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle \Big] $

Il reste à évaluer les contractions externes en suivant les règles de conversion :

Que donne l’ordre 1 finalement ?

$\displaystyle \mathcal A^{(1)}_A = -\frac{i\lambda}{8} (2\pi)^3(2E_{\mathbf p}) \, \delta^{(3)}(\mathbf q - \mathbf p) \int\mathrm{d}^4z \left( \int \frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2 - m^2 + i\epsilon} \right)^{\!2} $

Dans la famille A, la particule traverse sans interagir avec le champ. L’intégrande sur $\mathrm{d}^4z$ est indépendant de $z$ (les fluctuations du vide sont homogènes). L’intégration génère donc un volume infini de l’espace-temps. Physiquement, ces termes de vide se factoriseront et disparaîtront lors de la normalisation de la matrice $\hat S$.

Dans la famille B, la particule interagit réellement avec le champ :

$\displaystyle \mathcal A^{(1)}_B = \frac{(-i\lambda)}{2}\int\mathrm{d}^4z\, \frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\, e^{i(q-p)\cdot z}\, \frac{i}{k^2 - m^2 + i\varepsilon} = (2\pi)^4\delta^{(4)}(q-p)\, \frac{(-i\lambda)}{2}\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2 - m^2 + i\varepsilon} $

La particule entre, interagit en un point avec une fluctuation du vide (la boucle paramétrée par $k$), et repart avec la même impulsion quadridimensionnelle ($q = p$).
On remarque que l’intégrale résiduelle sur $\mathrm{d}^4k$ diverge violemment pour les grandes impulsions (divergence ultraviolette). Ce “problème” sera réglé grâce à la renormalisation.

Dessiner

Chaque vertex $\hat{\mathcal H}_I(z)$ est une petite bestiole dont les pattes sont les champs. Les contractions de Wick câblent les pattes : entre elles (propagateurs, lignes internes) ou vers les particules externes (lignes entrantes/sortantes).

Expérimentons sur la famille B : on pose le vertex en $z$ avec ses quatre pattes ; la contraction champ–état initial attrape une patte et en fait la ligne entrante ; la contraction champ–champ noue deux pattes entre elles formant une boucle ; la contraction champ–état final attrape la patte restante et sort du dessin.

Résultat : le diagramme “boucle” de la famille B.
La famille A, elle, devient un diagramme déconnecté : la ligne directe $\delta^{(3)}(\mathbf q - \mathbf p)$ d’un côté, un « huit » de vide de l’autre.

Anatomie d’un diagramme

• Un diagramme connexe est un morceau d’un seul tenant ; un diagramme déconnecté en assemble plusieurs. Des processus déconnectés ne peuvent pas s’influencer. L’intuition dit (et la suite confirmera) qu’on ne devra garder que les connexes³.

• Les lignes externes ont une extrémité libre : la connexion au monde extérieur (particules réelles, sur couche, entrantes en bas, sortantes en haut).

• Les lignes internes relient deux vertex : particules virtuelles, hors couche.

• Un diagramme du vide n’a aucune ligne externe : il ne touche pas aux particules, ne contribue qu’à $\langle 0|\hat S|0\rangle$, donc seulement à une phase globale $e^{i\phi}$ des amplitudes, invisible dans les probabilités.

Planche anatomique d’un diagramme déconnecté d’ordre 3 :

Le renversement final : connaissant la correspondance dessins ↔ contractions, on n’a plus jamais besoin de développer ; on dessine, puis on traduit :

Les facteurs de symétrie

Le nombre $D$ par lequel on divise vient du comptage des contractions qui produisent le même dessin.

Règle générale : s’il y a $m$ façons d’arranger vertex et propagateurs donnant des parties identiques du diagramme (extrémités des lignes externes fixées, sans couper de propagateur), on récolte un facteur $D_i = m$, et $D = \prod_i D_i$.

Deux cas particuliers à connaître par cœur :

Exemples :

L’espace des impulsions : le diagramme de Saturne

À l’ordre $\lambda^2$, le théorème de Wick produit toute une galerie de câblages : lignes décorées de boucles, morceaux de vide, et un diagramme à deux vertex reliés par trois propagateurs appelé « Saturne ».

Prenons le terme du deuxième ordre $O(\lambda^2)$ dans l’expansion de $\langle q| \hat{S}|p\rangle$ :

On applique maintenant le théorème de Wick pour obtenir les différents diagrammes. Celui qui nous intéresse est donné par le terme :

Avec une patte entrante sur le vertex $w$, une sortante sur le vertex $y$, et les trois pattes restantes de chaque côté nouées deux à deux. Cela donne une onde entrante en $w$, une sortante en $y$ et trois propagateurs $\Delta(y-w)$) Et comme on l’a vu, $D=6$.

L’amplitude pour le diagramme de Feynman Saturne est donc donnée par :

Passage maintenant en espace des impulsions, pas à pas.

Chaque propagateur s’écrit $\Delta(y-w) = \displaystyle\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\, e^{-ik\cdot(y-w)}\,\frac{i}{k^2 - m^2 + i\varepsilon}$ : trois impulsions muettes $k_1, k_2, k_3$.

On regroupe toutes les exponentielles :

Et après le premier delta :

Lecture physique des deltas :
intégrer la position d’un vertex sur tout l’espace-temps fabrique un delta de conservation de la quadri-impulsion à ce vertex. C’est la dualité de Fourier position/impulsion en action. Le second delta est la conservation globale, que tout diagramme trimballe. Le delta du vertex $y$ épingle $k_1 = q - k_2 - k_3$, et il reste :

Même nombre d’intégrales qu’en position, mais plus aucune exponentielle : c’est pour cela qu’on calcule en espace des impulsions.

Règles de Feynman de $\phi^4$ en espace des impulsions :

• chaque vertex : un facteur $-i\lambda$ ;
• chaque ligne interne, étiquetée par une impulsion $q$ : un propagateur $\dfrac{i}{q^2 - m^2 + i\varepsilon}$ ;
• imposer la conservation de la quadri-impulsion à chaque vertex ;
• intégrer les impulsions internes non contraintes avec la mesure $\dfrac{\mathrm{d}^4q}{(2\pi)^4}$ ;
• chaque ligne externe : un facteur $1$ (en espace des impulsions, la contraction champ–état se réduit à $1$ grâce à la normalisation relativiste) ;
• diviser par le facteur de symétrie $D$ ;
• inclure le $\boldsymbol{(2\pi)^4\delta^{(4)}}$ global de conservation.

Pour s’entraîner, calculons les contributions à $\langle|\hat S|p\rangle$ des 3 diagrammes ci-dessus :

1. Ligne + une boucle :
   $\displaystyle \dfrac{(-i\lambda)}{2}\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2 - m^2 + i\varepsilon}$
2. Ligne + boucle, accompagnées d'un « huit » du vide :
   le même facteur $\displaystyle\times\, \dfrac{(-i\lambda)}{8}\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}^4k_1}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{d}^4k_2}{(2\pi)^4}\frac{i}{(k_1^2 - m^2 + i\varepsilon)}\frac{i}{(k_2^2 - m^2 + i\varepsilon)}$
   Le vide se factorise !
3. Deux boucles en série sur la ligne :
   $\displaystyle \dfrac{(-i\lambda)^2}{4}\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}^4k_1}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{d}^4k_2}{(2\pi)^4}\frac{i}{(k_1^2 - m^2 + i\varepsilon)}\,\frac{i}{(p^2 - m^2 + i\varepsilon)}\,\frac{i}{(k_2^2 - m^2 + i\varepsilon)}$
   Noter la ligne interne d'impulsion $p$ entre les deux vertex ;

Les deux premiers types sont des diagrammes de self-énergie : des propagateurs libres décorés de boucles, qui n’interagissent avec rien d’autre. On verra qu’ils ne font que déplacer les constantes du propagateur libre (dans le jargon, ils « renormalisent le propagateur »).

$$ \langle q_1 q_2|\hat S|p_2 p_1\rangle = (2\pi)^6\big(16 E_{\mathbf p_1}E_{\mathbf p_2}E_{\mathbf q_1}E_{\mathbf q_2}\big)^{\frac12}\, \langle 0|\hat a_{\mathbf q_1}\hat a_{\mathbf q_2}\, \hat S\, \hat a^\dagger_{\mathbf p_2}\hat a^\dagger_{\mathbf p_1}|0\rangle. $$

Deux champs : $\hat\psi$ complexe (les « psions », masse $m$, avec leurs antiparticules) et $\hat\phi$ réel (les « phions », masse $\mu$) :

L’interaction est $\mathcal L_I = -g\psi^\dagger\psi\phi$, donc $\hat{\mathcal H}_I(z) = +\,g\,\hat\psi^\dagger(z)\hat\psi(z)\hat\phi(z)$⁴.

Les contractions non nulles de la théorie :

Les deux propagateurs (lignes internes) :

Antipsion entrant / sortant (c’est $\hat\psi^\dagger$ qui reçoit l’antipsion entrant, et $\hat\psi$ qui l’expédie) :

Phion entrant / sortant :

Toutes les autres contractions sont nulles (par exemple $\hat\psi$ avec $\hat\psi$ : personne n’y détruit ce que l’autre crée).

$$ \mathcal A_{\text{huître}} = (-ig)^2 \int \frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\, \frac{i}{(k^2 - \mu^2 + i\varepsilon)}\, \frac{i}{[(p-k)^2 - m^2 + i\varepsilon]}\, (2\pi)^4\delta^{(4)}(p’ - p) $$

Règles de Feynman de la théorie $\psi^\dagger\psi\phi$ (espace des impulsions) :

• chaque vertex : un facteur $-ig$ ;
• chaque ligne interne de phion d'impulsion $q$ : $\dfrac{i}{q^2 - \mu^2 + i\varepsilon}$ ; chaque ligne interne de psion : $\dfrac{i}{q^2 - m^2 + i\varepsilon}$ ;
• intégrer les impulsions non déterminées par la conservation ;
• lignes externes : facteur $1$ ;
• tous les facteurs de symétrie valent $1$ ;
• un $(2\pi)^4\delta^{(4)}$ global de conservation par diagramme.

Application aux trois canaux (l’impulsion du phion interne est entièrement fixée par la conservation aux vertex $\to$ rien à intégrer) :

$$ \mathcal A^{(2)} = (-ig)^2\, \frac{i}{q^2 - \mu^2 + i\varepsilon}\, (2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum p_{\text{f}} - \sum p_{\text{i}}\Big), $$

où $q$ est l’impulsion du phion échangé.

D’où les trois cas, en notant $p, k$ les entrées et $p’, k’$ les sorties :

• canal $t$ : $q = p' - p$, et $q^2 = (p'-p)^2 \equiv t$ (l'impulsion transférée) ;
• canal $u$ : $q = p' - k$, et $q^2 = (p'-k)^2 \equiv u$ (le transfert croisé) ;
• canal $s$ : $q = p + k$ (les deux entrées fusionnent), et $q^2 = (p+k)^2 \equiv s$ (le carré de l'énergie totale disponible).

$s$, $t$ et $u$ sont les variables de Mandelstam.

(le $\mathrm{i}$ est là pour raccorder aux conventions de la diffusion non relativiste⁶).

$ \text{taux} \;=\; \big|\text{amplitude de transition}\big|^2 \;\times\; \big(\text{densité d’états finals accessibles}\big) $

$$ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{|\mathcal M|^2}{64\pi^2 E_{\text{CM}}^2}, $$

où $E_{\text{CM}}$ est l’énergie totale dans le référentiel du centre de masse

Diffusion de deux psions discernables :

seul le canal $t$ contribue. Limite non relativiste : $p \approx (m, \mathbf p)$ pour les quatre pattes, donc

où $\mathbf q = \mathbf p’ - \mathbf p$ est le transfert de tri-impulsion (la composante temporelle $\approx m - m = 0$ s’efface : à basse énergie, on ne transfère que de l’impulsion, pas de l’énergie). L’amplitude du canal $t$ devient :

Rq : le $i\varepsilon$ est superflu puisque le dénominateur ne s’annule jamais.

Avec $E_{\text{CM}} = 2m$ :

C’est une prédiction mesurable, angle par angle (via $|\mathbf q|^2 = 4|\mathbf p|^2\sin^2(\theta/2)$).

Ce que Born prévoit :

Ce qui nous donne le droit de comparer la prédiction de la théorie quantique des champs à celle de la mécanique quantique est le fait qu’à basse énergie les deux récits décrivent le même phénomène observable : une particule qui repart déviée. La théorie des champs dit « il y a eu échange d’un phion » ; la mécanique quantique dit « il y a eu un potentiel ». On définit donc le potentiel effectif comme celui qui reproduirait la même amplitude. C’est la traduction, dans le langage des forces, de ce que l’échange de quanta produit.

Identifions donc les coefficients, $\mathrm{i}\mathcal M \;\leftrightarrow\; -\mathrm{i}\tilde V(\mathbf q)$ :

$$ \tilde V(\mathbf q) = -\frac{g^2}{|\mathbf q|^2 + \mu^2} $$

Le signe moins n’est cette fois-ci pas parachuté. Le potentiel est bien négatif entre deux psions de même « charge » et donc attractif. L’échange d’un scalaire attire toujours, contrairement à l’échange d’un vecteur (le photon), qui fait se repousser les charges identiques.

La transformée inverse redonne le potentiel de Yukawa (calcul mené pas à pas dans la partie sur le propagateur de Feynman : pôle en $|\mathbf q| = i\mu$, fermeture du contour par le haut) :

$$ \Longrightarrow V(\mathbf r) = -\frac{g^2}{4\pi|\mathbf r|}\, e^{-\mu|\mathbf r|} $$