Théorie quantique des champs – Partie 16
Notes de lecture du livre Quantum field theory for the gifted amateur de Thomas Lancaster et Stephen Blundell.
On a précédemment construit l’électrodynamique quantique et ses règles de Feynman. Mais dès qu’on dépasse l’ordre le plus bas, les intégrales divergent. Comment faire alors une quelconque prédiction précise ? Cette partie lève l’obstacle en appliquant à la QED la machinerie de renormalisation développée aux parties 11 et 12, et en tire deux résultats qui ont fait sa réputation.
Le premier est que la charge électrique n’est pas une constante : le vide se comporte comme un diélectrique, écrante l’électron, et la valeur mesurée de $\alpha$ dépend de la distance à laquelle on regarde. Le second est le moment magnétique anormal de l’électron : la valeur $g = 2$ que Dirac avait déduite de la relativité reçoit une correction, calculable à partir d’un unique diagramme, et vérifiée aujourd’hui sur une dizaine de chiffres significatifs.
Ces deux résultats ont ceci de commun qu’ils sont des tests au sens fort : la théorie sans champ quantifié y prédit des valeurs nettes (exactement $2$, exactement une dégénérescence, exactement une constante), et l’expérience les contredit toutes les trois. On mènera donc les calculs jusqu’au nombre, et un tableau de confrontation clôt la partie.
La renormalisation de QED
Jusqu’ici, tous nos calculs se sont arrêtés à l’ordre le plus bas, celui des diagrammes en arbre. Dès qu’on veut faire mieux, les intégrales sur les impulsions internes des boucles divergent. La machinerie de la renormalisation, construite à la partie 11 sur la théorie $\phi^4$, va s’appliquer ici pour la première fois à des particules réelles.
Et elle ne se contente pas d’éponger les infinis. Elle prédit deux effets mesurés :
- la charge électrique n'est pas une constante : elle dépend de l'échelle à laquelle on la mesure ;
- le facteur $g$ de l'électron n'est pas tout à fait 2.
Rappel : le vocabulaire de la renormalisation
Trois notions vont revenir sans arrêt.
Diagramme 1PI (pour « une particule irréductible ») : un diagramme qu’on ne peut pas couper en deux morceaux en sectionnant une seule ligne interne.
L’intérêt de cette notion est purement pratique. Un diagramme réductible est fait de morceaux 1PI enfilés comme des perles sur un collier ; il suffit donc de calculer les perles, et l’enfilage se fera tout seul par une somme géométrique.
Self-énergie : la somme de tous les diagrammes 1PI qu’on peut insérer dans une ligne de particule, en ne comptant que les corrections, sans le propagateur nu lui-même.
On la note $-\mathrm{i}\tilde\Sigma$ pour l’électron et $\mathrm{i}\tilde\Pi^{\mu\nu}$ pour le photon.
Le mot est trompeusement modeste. Ce que la self-énergie décrit, c’est qu’une particule qui se propage n’est jamais nue : elle traîne un cortège de fluctuations quantiques, et ce cortège modifie sa propagation. Nous l’avions rencontrée à la partie 11 sous le nom de $\tilde\Sigma$, où elle déplaçait le pôle du propagateur.
Contreterme : un terme ajouté au lagrangien, de forme imposée, dont le rôle est d’absorber exactement la partie divergente d’une fonction de Green.
Condition de renormalisation : la contrainte physique qui fixe, en un point, la valeur du contreterme.
Insistons sur la logique, car c’est elle qui fait toute la puissance de la méthode. Un contreterme n’est pas un tour de passe-passe pour cacher un infini. C’est la reconnaissance que les paramètres écrits dans le lagrangien de départ, la masse et la charge « nues », ne sont pas ceux qu’on mesure. Ce qu’on mesure, c’est la masse et la charge de la particule habillée de son cortège. Renormaliser, c’est réexprimer la théorie en fonction des quantités mesurables.
Le programme : trois fonctions de Green, trois contretermes
QED est renormalisable avec exactement trois contretermes, un par fonction de Green divergente. Trois, et pas un de plus : c’est cela qui rend la théorie prédictive.
| fonction de Green | notation | contreterme |
|---|---|---|
| self-énergie de l’électron | $-\mathrm{i}\tilde\Sigma(\not{\!\!p})$ | $\mathrm{i}\big(\not{\!\!p}\,B + A\big)$ |
| self-énergie du photon | $\mathrm{i}\tilde\Pi^{\mu\nu}(q)$ | $\mathrm{i}\big(g^{\mu\nu}q^2 - q^\mu q^\nu\big)C$ |
| fonction de vertex | $-\mathrm{i}Q\lvert e\rvert\,\tilde\Gamma^\mu(p, p’)$ | $\mathrm{i}Q\lvert e\rvert\,\gamma^\mu D$ |
Pourquoi ces trois-là, et pourquoi ces formes ?
La réponse tient dans le comptage de puissances, l’outil de la partie 11. Rappelons son principe : on évalue, pour un diagramme donné, la puissance de l’impulsion de boucle qui subsiste au numérateur une fois tous les propagateurs pris en compte. Cette puissance s’appelle le degré de divergence superficiel $D$ :
- $D \geq 0$ : le diagramme est sensible à la coupure et réclame un contreterme ;
- $D < 0$ : il converge, et il n'y a rien à faire.
Pour la théorie $\phi^4$, ce comptage donnait $D = 4 - N$ avec $N$ le nombre de pattes externes. Refaisons-le pour QED, où deux sortes de lignes coexistent.
Le comptage de puissances de QED
Les notations
Pour un diagramme quelconque, notons $L$ son nombre de boucles, $V$ son nombre de vertex, $P_{\mathrm e}$ et $P_\gamma$ ses nombres de propagateurs internes fermioniques et photoniques, enfin $N_{\mathrm e}$ et $N_\gamma$ ses nombres de pattes externes de chaque sorte.
Pas 1 : compter les puissances
Trois contributions, et elles se lisent directement sur les règles de Feynman de la partie précédente :
- chaque boucle apporte une intégrale $\int\mathrm d^4k$, donc $+4$ ;
- chaque propagateur fermionique vaut $\dfrac{\mathrm i(\not{\!\!k}+m)}{k^2-m^2}$, qui décroît comme $1/k$ à grand $k$, donc $-1$ ;
- chaque propagateur photonique vaut $\dfrac{-\mathrm i g_{\mu\nu}}{k^2}$, qui décroît comme $1/k^2$, donc $-2$.
$\displaystyle D = 4L - P_{\mathrm e} - 2P_\gamma $
Notons au passage l’asymétrie : un propagateur de fermion décroît deux fois moins vite qu’un propagateur de photon, parce que son numérateur contient un $\not{\!\!k}$. C’est cette asymétrie qui va rendre les pattes fermioniques « plus coûteuses » que les pattes photoniques.
Pas 2 : éliminer $L$, $P_{\mathrm e}$ et $P_\gamma$
Ces quantités ne sont pas indépendantes, car la topologie du diagramme les relie. Tout repose sur la structure du vertex de QED, qui porte deux extrémités fermioniques et une extrémité photonique.
Extrémités fermioniques
Les $V$ vertex en fournissent $2V$. Chacune est soit une extrémité de propagateur interne (et chaque propagateur en consomme deux), soit une patte externe (qui en consomme une) :
$\displaystyle 2V = 2P_{\mathrm e} + N_{\mathrm e} \qquad\Longrightarrow\qquad P_{\mathrm e} = V - \frac{N_{\mathrm e}}{2} $
Extrémités photoniques
Le même raisonnement, avec une seule extrémité par vertex :
$\displaystyle V = 2P_\gamma + N_\gamma \qquad\Longrightarrow\qquad P_\gamma = \frac{V - N_\gamma}{2} $
Nombre de boucles
Chaque propagateur interne apporte une impulsion à intégrer, chaque vertex une contrainte de conservation, et l’une de ces contraintes est la conservation globale, déjà satisfaite :
$\displaystyle L = P_{\mathrm e} + P_\gamma - V + 1 $
Pas 3 : substituer
En reportant $L$ dans l’expression de $D$ :
$\displaystyle D = 4\big(P_{\mathrm e} + P_\gamma - V + 1\big) - P_{\mathrm e} - 2P_\gamma = 3P_{\mathrm e} + 2P_\gamma - 4V + 4 $
puis en y injectant les deux relations topologiques :
$\displaystyle D = 3\left(V - \frac{N_{\mathrm e}}{2}\right) + \big(V - N_\gamma\big) - 4V + 4 $
Le nombre de vertex disparaît ! Les termes $3V + V - 4V$ s’annulent exactement, et il reste
$\displaystyle D = 4 - \frac{3}{2}N_{\mathrm e} - N_\gamma $
Cette disparition de $V$ est le cœur de la renormalisabilité. Elle signifie que le degré de divergence ne dépend que des pattes externes, et pas de l’ordre perturbatif. Aller à deux, trois ou cent boucles ne fait donc apparaître aucune nouvelle sorte de divergence : les mêmes trois contretermes suffiront à tous les ordres.
Passons en revue les cas. Il suffit d’énumérer les petites valeurs de $N_{\mathrm e}$ et $N_\gamma$, sachant que $N_{\mathrm e}$ est nécessairement pair (une ligne fermionique a deux bouts).
| $N_{\mathrm e}$ | $N_\gamma$ | $D$ | fonction de Green | verdict |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 3 | photon → vide | nulle par symétrie |
| 0 | 2 | 2 | self-énergie du photon | divergente |
| 0 | 3 | 1 | trois photons | nulle par symétrie |
| 0 | 4 | 0 | diffusion photon–photon | finie par Ward |
| 2 | 0 | 1 | self-énergie de l’électron | divergente |
| 2 | 1 | 0 | vertex | divergente |
| 2 | 2 | $-1$ | Compton | convergente |
| 4 | 0 | $-2$ | Møller | convergente |
Trois lignes du tableau demandent un commentaire, car elles montrent que le comptage n’est qu’un premier tri.
Les $N_\gamma$ impairs s’annulent, malgré leur degré positif. C’est le théorème de Furry, conséquence de l’invariance sous conjugaison de charge : la boucle fermionique parcourue dans un sens et dans l’autre donne deux contributions qui se compensent, avec un signe $(-1)^{N_\gamma}$. Nous avions rencontré cette symétrie $\mathrm C$ à la partie 5.
La diffusion photon–photon a $D = 0$, donc paraît logarithmiquement divergente. Elle est en réalité finie, et c’est l’identité de Ward qui la sauve : la contrainte $q_\mu\mathcal M^\mu = 0$ force l’amplitude à contenir suffisamment de facteurs d’impulsion externe pour améliorer la convergence. C’est heureux, car un contreterme à quatre photons n’existe pas dans le lagrangien de QED, et la théorie ne serait pas renormalisable.
Il ne reste donc que trois fonctions divergentes, celles du tableau des contretermes. Exactement trois, et le comptage garantit qu’il n’en apparaîtra jamais d’autres.
Et le degré de divergence dicte la forme des contretermes. Voilà le second bénéfice du calcul. Un diagramme de degré $D$ engendre une divergence qui est un polynôme de degré $D$ dans les impulsions externes : il faut donc autant de constantes que ce polynôme a de coefficients indépendants.
- Vertex, $D = 0$ : polynôme de degré 0, donc une constante. D'où le contreterme $\mathrm i Q|e|\gamma^\mu D$, avec son unique paramètre.
- Self-énergie de l'électron, $D = 1$ : polynôme de degré 1 en $\not{\!\!p}$, donc deux constantes, un terme constant et un terme linéaire. D'où $\mathrm i(\not{\!\!p}\,B + A)$.
- Self-énergie du photon, $D = 2$ : polynôme de degré 2 en $q$, ce qui autoriserait trois structures. Mais l'identité de Ward les réduit à une seule, comme nous allons le voir : d'où l'unique constante $C$ devant $(g^{\mu\nu}q^2 - q^\mu q^\nu)$.
Les formes du tableau ne sont donc pas choisies : elles sont comptées.
Les conditions de renormalisation fixent ensuite le sens physique de chaque paramètre. Avant de les écrire, comprenons bien à quelle question elles répondent.
Le problème posé. Les contretermes ont une forme imposée par les symétries, mais leurs constantes $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas déterminées. Chacune doit absorber une partie divergente (cela fixe leur comportement à grande coupure) mais rien n’empêche d’y ajouter en plus n’importe quelle quantité finie.
Il manque donc, pour chaque contreterme, une information venue de l’extérieur de la théorie. Cette information est une mesure.
Voilà pourquoi ces conditions ne sont pas des conventions techniques mais le point de contact entre le formalisme et le laboratoire. Prenons-les une par une.
Condition sur l’électron
$\displaystyle \tilde\Sigma(\not{\!\!p} = m) = 0 $
Ce qu’elle dit
Le propagateur complet de l’électron, une fois toutes les corrections resommées, s’écrit
$\displaystyle \tilde G(p) = \frac{\mathrm i}{\not{\!\!p} - m_0 - \tilde\Sigma(\not{\!\!p})} $
où $m_0$ est la masse nue, celle écrite dans le lagrangien de départ. Son pôle se situe là où le dénominateur s’annule, donc pas en $\not{\!\!p} = m_0$, mais en une valeur déplacée par la self-énergie.
Or le pôle du propagateur est la masse physique. Nous l’avons établi à la partie 11 : un propagateur a son pôle sur la couche de masse de la particule qu’il propage, et c’est cette position que l’expérience mesure.
La condition $\tilde\Sigma(\not{\!\!p} = m) = 0$ impose donc simplement que le pôle se trouve en $\not{\!\!p} = m$, où $m$ est la masse mesurée de l’électron, $511$ keV.
Ce qu’on mesure au laboratoire
On ne mesure jamais $m_0$, qui est d’ailleurs infinie : on mesure la masse de l’électron habillé de son nuage de photons virtuels, c’est-à-dire le seul électron qui existe. Le contreterme $A$ est précisément la quantité qui relie l’un à l’autre.
Condition sur le photon
$\displaystyle \tilde\Pi^{\mu\nu}(q = 0) = 0 $
Ce qu’elle dit
Par le même raisonnement, la self-énergie du photon déplace le pôle de son propagateur. Un pôle en $q^2 = M^2$ signifierait un photon de masse $M$. Exiger que la self-énergie s’annule en $q = 0$, c’est exiger que le pôle reste en $q^2 = 0$ : le photon est sans masse.
Ce qu’on mesure
La masse du photon est contrainte expérimentalement à moins de $10^{-18}$ eV, par des mesures du champ magnétique planétaire et par la portée de l’interaction électromagnétique. C’est zéro à toutes fins pratiques.
Mais cette condition est d’un statut différent des deux autres. La masse nulle du photon n’est pas un fait qu’on ajuste : c’est une conséquence de l’invariance de jauge, garantie par la structure $(q^2g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)$ que nous établirons dans un instant. Le facteur $q^2$ en préfacteur assure l’annulation en $q = 0$ automatiquement.
Cette condition n’ajoute donc pas d’information physique : elle enregistre une contrainte de symétrie. C’est une vérification de cohérence plutôt qu’une mesure, et si le calcul la violait, ce serait le signe d’une erreur ou d’une anomalie.
Condition sur le vertex
$\displaystyle \tilde\Gamma^\mu(p' - p = 0) = \gamma^\mu $
Ce qu’elle dit
Le vertex complet remplace le $\gamma^\mu$ nu des règles de Feynman. Exiger qu’il se réduise exactement à $\gamma^\mu$ à transfert nul, c’est exiger que l’intensité du couplage y vaille exactement $Q|e|$, la charge mesurée.
Ce qu’on mesure, et où
Le transfert nul, $q = p’ - p = 0$, correspond à un photon de très grande longueur d’onde, donc à une mesure à grande distance de la charge. C’est le régime de l’électrostatique : la force de Coulomb entre deux charges éloignées, l’expérience de Millikan, la constante de structure fine $\alpha = 1/137{,}036$.
Voilà le point crucial pour la suite : cette valeur $1/137$ n’est pas « la » charge de l’électron dans l’absolu. C’est la charge mesurée à transfert nul, c’est-à-dire vue de loin, à travers tout le nuage d’écrantage. Le chapitre va montrer qu’elle est différente ailleurs.
La logique d’ensemble
La théorie ne prédit ni la masse de l’électron, ni la valeur de sa charge : ce sont deux nombres qu’on lui fournit, mesurés une fois pour toutes. Ce qu’elle prédit, c’est tout le reste.
Ce marché mérite d’être apprécié à sa juste valeur, car il est bien plus avantageux qu’il n’y paraît. On donne deux nombres à la théorie ; en échange, elle livre les sections efficaces de tous les processus, à toutes les énergies, avec une précision qui atteindra dix chiffres significatifs pour le moment magnétique. Une théorie non renormalisable, elle, exigerait un nombre infini de mesures avant de pouvoir prédire quoi que ce soit… et ne prédirait donc rien.
Et voici l’idée qui gouverne tout le chapitre.
Chacune de ces conditions ne peut être imposée qu’en un point : la masse au pôle, la charge à transfert nul. Ailleurs, les fonctions de Green bougent, et plus rien ne vient les contraindre.
Ce mouvement est mesurable. C’est là toute la physique nouvelle, et c’est ce qui distingue la renormalisation d’un simple ménage : en fixant la théorie en un point, on obtient gratuitement des prédictions partout ailleurs.
Une liberté : le point de renormalisation
Rien n’oblige à imposer la charge à transfert nul. On pourrait aussi bien la fixer à une échelle $\mu$ quelconque, en exigeant $\tilde\Gamma^\mu(q^2 = -\mu^2) = \gamma^\mu$. On mesurerait alors une autre valeur numérique, et l’on obtiendrait une autre paramétrisation de la même théorie.
Aucune prédiction physique ne peut dépendre de ce choix, puisqu’il s’agit d’un choix de convention. Cette exigence d’indépendance est loin d’être vide : c’est exactement elle qui engendre les équations du groupe de renormalisation, rencontrées à la partie 11 et que nous retrouverons plus bas.
En pratique, on choisit le point le plus commode. À transfert nul pour QED, où l’électrostatique fournit une mesure très précise ; à une échelle $\mu$ élevée en chromodynamique, où le couplage à transfert nul serait démesuré.
La self-énergie du photon : le vide est un diélectrique
Concentrons-nous sur le photon, dont le cas est le plus riche.
Ce que contient $\tilde\Pi^{\mu\nu}$
La self-énergie du photon rassemble tous les diagrammes 1PI qu’on peut insérer dans une ligne de photon. À une boucle, il n’y en a qu’un, et son contenu physique est spectaculaire : le photon se transforme momentanément en une paire électron–positron, qui se recombine ensuite en photon.
Autrement dit, le photon arrache une paire au vide et la lui rend. C’est ce qu’on appelle la polarisation du vide.
L’identité de Ward impose la structure tensorielle
Une difficulté nous attend, que le cas scalaire n’avait pas : ici, $\tilde\Pi^{\mu\nu}$ porte deux indices. Avant de pouvoir resommer quoi que ce soit, il faut savoir quelle est sa structure tensorielle.
C’est le moment où l’identité de Ward, démontrée à la partie précédente, va faire tout le travail.
Ce que dit Ward
Nous avons établi que la contraction d’une amplitude avec l’impulsion du photon qui s’y attache donne zéro : $q_\mu\mathcal M^\mu = 0$. Appliquée à la self-énergie du photon, cette identité donne
$\displaystyle q_\nu\,\tilde\Pi^{\mu\nu}(q) = 0 $
Comment en tirer la structure ?
Cherchons la forme la plus générale possible pour $\tilde\Pi^{\mu\nu}$. C’est un tenseur à deux indices, ne dépendant que du quadrivecteur $q$ : il ne peut donc être construit qu’avec les deux seuls objets disponibles, $g^{\mu\nu}$ et $q^\mu q^\nu$. Écrivons donc
$\displaystyle \tilde\Pi^{\mu\nu}(q) = A(q^2)\,g^{\mu\nu} + B(q^2)\,q^\mu q^\nu $
Contractons avec $q_\nu$, et exigeons zéro :
$\displaystyle A\,q^\mu + B\,q^\mu q^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = -B\,q^2 $
Il ne reste donc qu’une seule fonction inconnue. En posant $B = -\tilde\Pi(q)$, on obtient la forme annoncée :
$\displaystyle \tilde\Pi^{\mu\nu}(q) = \big(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu\big)\,\tilde\Pi(q) $
Ce qui vient d’être gagné est considérable. D’un objet à seize composantes, l’invariance de jauge a fait une unique fonction scalaire $\tilde\Pi(q)$. Toute la polarisation du vide tient dans ce seul nombre.
Et le facteur $q^2$ en préfacteur est capital. Il garantit que $\tilde\Pi^{\mu\nu}$ s’annule en $q = 0$, quelle que soit la valeur de $\tilde\Pi(0)$.
Or une masse de photon apparaîtrait précisément comme un terme non nul en $q = 0$ dans la self-énergie. L’invariance de jauge interdit donc au photon de prendre une masse, et cela sans qu’on ait rien à imposer.
Nous voici en mesure de resommer, puisque la self-énergie se réduit désormais à un scalaire multipliant une structure tensorielle fixée.
La resommation : du propagateur nu au propagateur habillé
Le propagateur nu du photon, celui de la partie précédente, vaut $-\mathrm{i}g_{\mu\nu}/q^2$. Que devient-il quand on tient compte de toutes les insertions possibles ?
C’est exactement la situation de l’équation de Dyson, rencontrée à la partie 6 pour la fonction de Green et à la partie 11 pour la self-énergie.
Un diagramme de propagation quelconque est un collier : propagateur nu, puis éventuellement une perle 1PI, puis un propagateur nu, puis éventuellement une autre perle, et ainsi de suite. En sommant sur le nombre de perles :
$\displaystyle \tilde D = \tilde D_0 + \tilde D_0\,\Sigma\,\tilde D_0 + \tilde D_0\,\Sigma\,\tilde D_0\,\Sigma\,\tilde D_0 + \cdots $
où $\Sigma$ désigne l’insertion, c’est-à-dire la perle. C’est une série géométrique de raison $\Sigma\tilde D_0$, dont on connaît la somme. Il est commode de l’écrire sous sa forme inverse, beaucoup plus parlante :
$\displaystyle \tilde D = \frac{\tilde D_0}{1 - \Sigma\,\tilde D_0} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \tilde D^{-1} = \tilde D_0^{-1} - \Sigma $
Sous cette forme, la resommation devient une simple soustraction : l’inverse du propagateur habillé est l’inverse du propagateur nu, diminué de la self-énergie. C’est cette écriture que représente le schéma ci-dessous.
Que vaut $\Sigma$ ici ? C’est là que la structure tensorielle établie à l’instant intervient. Les perles sont enfilées le long d’une ligne de photon, donc contractées de part et d’autre avec des propagateurs ; le terme en $q^\mu q^\nu$, contracté avec des courants conservés, ne contribue jamais. Il ne reste que la partie transverse, dont le coefficient est
$\displaystyle \Sigma \;\longrightarrow\; q^2\,\tilde\Pi(q) $
Voilà d’où vient le facteur $q^2$ qui accompagne le blob dans le schéma : il n’est pas dans la self-énergie elle-même, il est extrait de sa structure tensorielle par l’identité de Ward. Le blob représente le scalaire $\tilde\Pi$, et le $q^2$ est écrit à côté.
Voilà aussi pourquoi on ne calcule que les diagrammes 1PI : tout le reste s’obtient par cette somme, sans aucun calcul supplémentaire. C’est le seul intérêt de la notion, mais il est décisif.
En reportant $\tilde D_0^{-1} = \mathrm{i}\,q^2$ (au facteur $g_{\mu\nu}$ près) dans la forme inverse, le $q^2$ se met en facteur et il vient :
Propagateur habillé du photon
$\displaystyle \tilde D_{\mu\nu}(q) = \frac{-\mathrm{i}\,g_{\mu\nu}}{q^2\big[1 - \tilde\Pi(q)\big]} $
Le pôle reste en $q^2 = 0$ : le photon demeure sans masse. La condition de renormalisation $\tilde\Pi(0) = 0$, imposée par le contreterme $C$, exprime cette exigence.
Où est la physique ? La charge se met à dépendre de l’échelle
Voici l’étape la plus astucieuse du chapitre, et elle mérite d’être suivie pas à pas.
L’observation de départ
Un propagateur de photon n’apparaît jamais seul dans une amplitude : il est toujours encadré par deux vertex, puisqu’un photon doit bien être émis puis absorbé. Or chaque vertex apporte un facteur $\lvert e_0\rvert$, la charge nue.
L’idée
Plutôt que de garder ces deux facteurs à part, empaquetons-les avec le propagateur :
$\displaystyle e_0^2\;\times\;\frac{-\mathrm{i}g_{\mu\nu}}{q^2\big[1 - \tilde\Pi(q)\big]} \;=\; \frac{-\mathrm{i}g_{\mu\nu}}{q^2}\;\times\;\underbrace{\frac{e_0^2}{1 - \big[\tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0)\big]}}_{\textstyle \text{à lire comme } e(q)^2} $
Deux choses viennent de se produire. D’une part, nous avons retrouvé un propagateur d’apparence nue, en $1/q^2$. D’autre part, toute la correction a été absorbée dans un facteur qui a la place et la dimension d’un carré de charge.
Pourquoi la soustraction $\tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0)$ ? C’est la condition de renormalisation en action. En $q = 0$, la parenthèse doit valoir exactement $e^2$, la charge mesurée ; la soustraction assure que c’est bien le cas, et c’est elle qui absorbe la divergence, laquelle est indépendante de $q$.
Charge électrique courante
$\displaystyle \lvert e(q)\rvert = \frac{\lvert e_0\rvert}{\sqrt{1 - \big[\tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0)\big]}} $
La « constante » de couplage électromagnétique dépend du transfert d’impulsion du photon qui véhicule la force.
Ce résultat est si contraire à l’intuition qu’il faut en donner l’image physique.
Le vide est un diélectrique.
Un diélectrique ordinaire, plongé dans le champ d’une charge, se polarise : ses molécules s’orientent en dipôles, la face proche de la charge présentant le signe opposé. Vu de loin, on ne voit plus la charge nue mais la charge écrantée, affaiblie par ce cortège.
Le vide de QED fait exactement cela. Les paires virtuelles $e^+e^-$ se comportent comme des dipôles fugaces, orientés par le champ de la charge centrale, et l’habillent d’un nuage d’écrantage.
D’où la conclusion : sonder à grand $\lvert q\rvert$, c’est regarder de près, donc pénétrer à l’intérieur du nuage, donc voir une charge plus grande. La charge effective croît quand on s’approche.
Le calcul, et sa conséquence mesurable
L’amplitude à une boucle vaut (par traduction du diagramme de Feynman) :
$\displaystyle \mathrm{i} \tilde{\pi}(q)=(-1)\left(-\mathrm{i} e_0\right)^2 \int \frac{\mathrm{~d}^4 p}{(2 \pi)^4} \operatorname{Tr}\left(\gamma^\mu \frac{\mathrm{i}}{\not p-m} \gamma^\nu \frac{\mathrm{i}}{\not p+\not q-m}\right) $
Ça peut s’intégrer et en incluant le contreterme, on obtient :
$\displaystyle \tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0) = -\frac{e_0^2}{2\pi^2}\int_0^1\mathrm{d}x\;(x - x^2)\,\ln\!\left(\frac{m^2}{m^2 - (x - x^2)\,q^2}\right) $
Trois remarques pour lire cette formule :
L’intégrale sur $x$ est celle des paramètres de Feynman de la partie 11 : elle vient de la fusion des deux propagateurs de la boucle.
Le logarithme est la signature d’une divergence logarithmique, déjà soustraite ici : c’est le $-\tilde\Pi(0)$ qui a transformé un $\ln\Lambda^2$ divergent en un rapport fini.
Et la dépendance en $q^2$ ne survit que dans le dénominateur du logarithme. À $q^2 = 0$, l’argument vaut 1, le logarithme s’annule, et la charge courante se réduit bien à la charge mesurée.
Dans la limite statique ($q^2 = -\boldsymbol q^2$) et à petit $\lvert\boldsymbol q\rvert$, le propagateur corrigé, ramené en espace direct par transformée de Fourier, livre le potentiel créé par un électron :
$\displaystyle V(\boldsymbol r) = -\left\{\frac{\alpha}{\lvert\boldsymbol r\rvert} + \frac{4\alpha^2}{15\,m^2}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol r)\right\} $
Coulomb, plus une correction de contact.
Le second terme est une distribution de Dirac : il n’agit qu’à l’origine. Cela traduit exactement l’image du nuage : l’écrantage ne se fait sentir que si l’on pénètre dedans. C’est un artefact de la limite à petit $\lvert\boldsymbol q\rvert$ ; la version exacte, le potentiel d’Uehling, est une correction de courte portée s’étendant sur une longueur d’onde de Compton $\sim 1/m$.
Et ceci se mesure.
Dans l’hydrogène, seuls les états $l = 0$ ont une fonction d’onde non nulle à l’origine, et tâtent donc le terme de contact. L’orbitale $2S_{1/2}$ est déplacée, l’orbitale $2P_{1/2}$ ne l’est pas, alors que la théorie de Dirac les prédisait exactement dégénérées.
Le décalage, jusqu'au nombre :
Le terme de contact se traite en perturbation au premier ordre ; la distribution de Dirac ne laisse survivre que la valeur de la fonction d’onde à l’origine :
$\displaystyle \Delta E = \left\langle -\frac{4\alpha^2}{15m^2}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol r)\right\rangle = -\frac{4\alpha^2}{15m^2}\,\lvert\psi(0)\rvert^2 $
Pour l’orbitale $2S$ de l’hydrogène, $\lvert\psi_{2S}(0)\rvert^2 = \dfrac{1}{8\pi a_0^3}$, et le rayon de Bohr vaut $a_0 = 1/(\alpha m)$ en unités naturelles, d’où $\lvert\psi_{2S}(0)\rvert^2 = \dfrac{\alpha^3m^3}{8\pi}$. En reportant, les puissances de $m$ se simplifient :
$\displaystyle \Delta E = -\frac{4\alpha^2}{15m^2}\cdot\frac{\alpha^3m^3}{8\pi} = -\frac{\alpha^5\,m}{30\pi} $
Un résultat d’ordre $\alpha^5\,mc^2$ : la structure fine est en $\alpha^4 mc^2$, cet effet est donc plus petit d’un facteur $\alpha$, ce qui annonce déjà l’ordre de grandeur du mégahertz. Numériquement, avec $\alpha^5 = 2{,}069\times10^{-11}$ et $mc^2 = 511{,}0$ keV :
$\displaystyle \Delta E = -1{,}122\times10^{-7}\ \mathrm{eV} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\nu = \frac{\Delta E}{h} = -27{,}1\ \mathrm{MHz} $
La polarisation du vide décale donc la transition $2S_{1/2} \to 2P_{1/2}$ de $-27$ MHz. C’est une petite partie du déplacement de Lamb total ($+1057$ MHz, dominé par la self-énergie de l’électron), et de signe opposé à l’ensemble ; mais c’est une partie calculée et vérifiée séparément.
La mesure de Lamb et Retherford en 1947 fut l’événement déclencheur de toute cette histoire. Elle établissait qu’une dégénérescence prédite exactement par l’équation de Dirac était levée, donc qu’il fallait quelque chose de plus. C’est elle qui convainquit les physiciens de prendre les photons virtuels au sérieux, et qui lança la course à la renormalisation.
Le groupe de renormalisation, et la charge qui varie avec l’échelle
Nous avons une charge qui dépend du transfert d’impulsion. Le langage naturel pour décrire cette dépendance est celui du groupe de renormalisation, construit à la partie 11.
La fonction $\beta$ mesure la vitesse à laquelle un couplage varie quand on change l’échelle d’observation $\mu$ :
$\displaystyle \beta = \mu\,\frac{\mathrm{d}\lvert e\rvert}{\mathrm{d}\mu} $
Elle se calcule en dérivant la charge courante à grande échelle. Pour $\mu \gg m$, le logarithme de la boucle se réduit à $\ln(\mu^2/m^2)$ à des constantes près, et la dérivation donne
$\displaystyle \beta = +\frac{\lvert e\rvert^3}{12\pi^2} $
Le signe plus est l’information capitale.
Il dit que le couplage électromagnétique croît avec l’échelle d’énergie, c’est-à-dire quand on regarde de plus près.
C’est exactement cohérent avec l’image de l’écrantage : s’approcher de l’électron, c’est traverser le nuage de paires et voir la charge grossir. Les deux descriptions, diélectrique et groupe de renormalisation, disent la même chose dans deux langages.
Confrontons à l’expérience, mais soigneusement, car il y a un piège instructif.
Ce que prédit la boucle d'électron seule, et pourquoi cela ne suffit pas :
En intégrant la fonction $\beta$, on obtient la forme la plus commode, qui est linéaire en $\ln\mu$ pour l’inverse du couplage :
$\displaystyle \frac{1}{\alpha(\mu)} = \frac{1}{\alpha(m_e)} - \frac{2}{3\pi}\ln\frac{\mu}{m_e} $
Au pôle du $Z^0$, $\mu = M_Z = 91{,}19$ GeV, et $\ln(M_Z/m_e) = 12{,}09$, d’où
$\displaystyle \frac{1}{\alpha(M_Z)} = 137{,}04 - \frac{2}{3\pi}\times 12{,}09 = 137{,}04 - 2{,}57 = 134{,}5 $
Or la mesure donne $\alpha^{-1}(M_Z) \simeq 128{,}9$. L’écart est réel et n’est pas une imprécision : c’est un manque de physique.
La boucle d’électron n’est en effet pas la seule : toute particule chargée peut apparaître dans la boucle de polarisation du vide, à condition que l’énergie sondée dépasse le seuil de création de sa paire. Entre $m_e$ et $M_Z$, il faut donc ajouter le muon, le tau, et les cinq quarks accessibles (chacun comptant trois fois pour la couleur, et avec sa charge au carré). La fonction $\beta$ devient
$\displaystyle \mu\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}\mu} = \frac{2\alpha^2}{3\pi}\sum_f N_c^{(f)}\,Q_f^2 $
la somme portant sur les fermions déjà « allumés » à l’échelle $\mu$. On comprend alors que la fonction $\beta$ compte les degrés de liberté chargés de la théorie, et que sa mesure est une façon de les recenser.
Le résultat de la confrontation est le suivant. La boucle d’électron seule prédit $\alpha^{-1}(M_Z) = 134{,}5$ ; en ajoutant tous les leptons et quarks accessibles, on tombe sur la valeur mesurée au LEP par diffusion Bhabha, $\alpha^{-1}(M_Z) = 128{,}9$. Numériquement, la « constante » de structure fine passe donc de $1/137$ aux grandes distances à environ $1/129$ à l’échelle électrofaible : un effet de six pour cent, mesuré, et prédit à condition de compter correctement les particules.
Retenir le raisonnement, car il se retourne spectaculairement ailleurs. En chromodynamique quantique, les gluons portent eux-mêmes la charge de couleur, et leurs boucles contribuent à la fonction $\beta$ avec le signe moins, qui l’emporte : le couplage fort décroît à courte distance. C’est la liberté asymptotique (Gross, Politzer, Wilczek, Nobel 2004) : les quarks sont quasi libres au cœur du proton et inséparables de loin. Anti-écrantage : le vide de QCD se comporte comme un milieu paramagnétique plutôt que diélectrique. Même mathématique, physique inversée, et l’on comprend pourquoi le signe de $\beta$ est la première chose qu’on calcule dans une théorie de jauge.
Les corrections de vertex et le $g$ de l’électron
Second grand résultat, côté vertex.
L’opérateur de moment magnétique de l’électron peut s’écrire
$\displaystyle \hat{\boldsymbol{\mu}} = g \left( \frac{Q\vert{}e\vert{}}{2m} \right) \hat{\boldsymbol{S}} $ où $Q = -1$ pour l'électron
L’équation de Dirac prédit que le facteur $g$ de l’électron est exactement 2. Lié la QED renormalisée au facteur $g$ conduit à la célèbre prédiction de Julian Schwinger selon laquelle la correction au premier ordre du vertex d’interaction de la QED provoque un décalage de $g = 2$ à $g = 2 + \alpha/\pi$. La possibilité pour les électrons d’émettre des photons virtuels modifie la forme de l’interaction électron-photon d’une manière mesurable.
La fonction de Green pour le vertex électron-photon s’écrit $-\mathrm{i}Q\vert{}e\vert{}\tilde{\Gamma}^\mu(p, p’)$.
Elle est définie comme
$\displaystyle -\mathrm{i}Q\vert{}e\vert{}\tilde{\Gamma}^\mu(p, p') = \sum \left( \begin{array}{c} \text{Toutes les insertions amputées avec une ligne} \\ \text{de fermion entrante, une ligne de fermion} \\ \text{sortante et une ligne de photon.} \end{array} \right) $
La fonction de vertex peut être lue comme décrivant un photon hors couche de masse se désintégrant en une paire électron-positron. Puisque le photon a $J^P = 1^-$, il y a deux configurations possibles pour la paire. Elle peut avoir $L = 0$ et $S = 1$, ou $L = 2$ et $S = 1$. Ce fait se reflète dans la forme sous laquelle nous écrivons la fonction de vertex comme une somme de deux termes :
$\displaystyle \tilde{\Gamma}^\mu(p, p') = \gamma^\mu F_1(q) + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} F_2(q) $ où $q^\mu = p'^\mu - p^\mu$ et où $\sigma^{\mu\nu} = \frac{\mathrm{i}}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$
La fonction $F_1(q)$ est connue sous le nom de facteur de forme de Dirac et $F_2(q)$ est connue sous le nom de facteur de forme de Pauli (la nouveauté).
Pour un $q$ tendant vers zéro, nous n’avons besoin de considérer que la contribution au premier ordre à $\tilde{\Gamma}^\mu = \gamma^\mu$ (premier diagramme de la somme ci-dessus). Nous en déduisons que pour $q \to 0$ nous avons $F_1(0) = 1$ et $F_2(0) = 0$.
Le lien entre ces facteurs de forme et le $g$ mesurable se fait en quatre pas. Annonçons d’abord le résultat, qui est d’une simplicité désarmante.
$\displaystyle g = 2\left[1 + F_2(0)\right] $
Tout l’écart de $g$ à la valeur $2$ de Dirac est porté par le facteur de forme de Pauli à transfert nul, et par lui seul.
Du vertex au facteur $g$, en quatre pas :
Pas I : coupler à un champ magnétique classique
Le $g$ se définit par la réponse du spin à un champ extérieur. On branche donc le vertex sur un potentiel classique, exactement comme pour Rutherford à la partie précédente :
$\displaystyle \mathrm{i}\mathcal M = -\mathrm{i}\,Q|e|\;\bar u(p')\,\tilde\Gamma^\mu\,u(p)\;\tilde A^{\mathrm{cl}}_\mu(q) $
Pas II : séparer l’orbital du spin, par la décomposition de Gordon
Le terme en $F_1$ porte un $\gamma^\mu$, dont on ne voit pas s’il agit sur le spin ou sur le mouvement. La décomposition de Gordon tranche :
$\displaystyle \bar u(p')\,\gamma^\mu\,u(p) = \bar u(p')\left[\frac{p'^\mu + p^\mu}{2m} + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}\right]u(p) $
Le premier terme est le courant de convection, indépendant du spin : c’est le courant qu’aurait une particule scalaire. Le second a exactement la structure du terme en $F_2$.
Voilà le point qui fait tout : après cette séparation, la partie de l’amplitude qui dépend du spin porte le facteur $F_1(q) + F_2(q)$, les deux facteurs de forme contribuant de la même façon au magnétisme. En $q = 0$, où $F_1(0) = 1$ par condition de renormalisation, cela vaut $1 + F_2(0)$.
Pas III : passer à la limite non relativiste et lire le potentiel
Avec $u(p) \simeq \sqrt m\begin{pmatrix}\xi\\xi\end{pmatrix}$ et les formes explicites de $\sigma^{\mu\nu}$, la partie de spin devient proportionnelle à $\left[\xi’^\dagger\sigma^k\xi\right]\tilde B^k(\boldsymbol q)$, le champ magnétique apparaissant par $\mathrm{i}\epsilon^{ijk}q^i\tilde A^{\mathrm{cl},j} = \tilde B^k$, c’est-à-dire, en espace direct, par $\boldsymbol B = \boldsymbol\nabla\times\boldsymbol A$, exactement comme dans le calcul de l’équation de Pauli à la partie 13.
En extrayant le potentiel par l’approximation de Born, et en divisant par la normalisation relativiste $2m$ :
$\displaystyle V(\boldsymbol x) = -\frac{Q|e|}{m}\,\big\{1 + F_2(0)\big\}\;\langle\hat{\boldsymbol S}\rangle\cdot\boldsymbol B(\boldsymbol x) $
Pas IV : comparer avec la définition de $g$
Le moment magnétique d’une particule de spin $\boldsymbol S$ est défini par
$\displaystyle V = -g\,\frac{Q|e|}{2m}\,\langle\hat{\boldsymbol S}\rangle\cdot\boldsymbol B $
L’identification est alors immédiate, le facteur $2$ du dénominateur venant compenser celui de l’accolade :
$\displaystyle g = 2\big[1 + F_2(0)\big] $
Contrôle
À l’ordre le plus bas, le vertex est un pur $\gamma^\mu$, donc $F_2 = 0$ et $g = 2$ : on retrouve exactement la prédiction de Dirac établie à la partie 13. Rien n’a été perdu en route.
On a utilisé la décomposition de Gordon pour écrire $g$. On peut l’ajouter à notre boîte à outils.
Décomposition de Gordon
$\displaystyle \bar u(p')\,\gamma^\mu\,u(p) = \bar u(p')\left[\frac{p'^\mu + p^\mu}{2m} + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}\right]u(p) $
Preuve
On part de l'identité $\gamma^\mu\gamma^\nu = g^{\mu\nu} - \mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}$, qui n'est que la séparation de $\gamma^\mu\gamma^\nu$ en parties symétrique et antisymétrique.On l’utilise deux fois, en insérant les équations de Dirac de part et d’autre : $\not{\!\!p}\,u(p) = m\,u(p)$ à droite, et $\bar u(p’)\not{\!\!p}’ = m\,\bar u(p’)$ à gauche. Cela permet d’écrire
$\displaystyle 2m\,\bar u(p')\gamma^\mu u(p) = \bar u(p')\left[\not{\!\!p}'\gamma^\mu + \gamma^\mu\not{\!\!p}\right]u(p) $
En développant chaque produit avec l’identité ci-dessus, les parties symétriques donnent $p’^\mu + p^\mu$ et les antisymétriques se combinent en $\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}(p’ - p)_\nu = \mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu$. En divisant par $2m$, on obtient la décomposition annoncée.
Il ne reste donc “plus qu’à” calculer $F_2(0)$, et c’est là que la théorie quantique des champs prend le relais de l’équation de Dirac.
Il n’y a rien à l’ordre le plus bas, puisque le vertex nu est un pur $\gamma^\mu$. Rien non plus à l’ordre suivant. La première contribution vient de l’ordre $e^3$, et d’un unique diagramme : l’électron émet un photon virtuel avant d’atteindre le vertex et le réabsorbe après, le photon d’interaction s’accrochant entre les deux.
C’est le diagramme de Schwinger, et il fait l’objet de la section suivante.
Le calcul de Schwinger
Le matériel nécessaire a été construit dans les chapitres précédents, à savoir les règles de Feynman de QED et l’algèbre des matrices $\gamma$ avec ses identités de contraction (partie précédente), les paramètres de Feynman et le décalage d’impulsion, et la décomposition de Gordon. Et pourtant, au bout de l’assemblage, il sort un nombre pur, sans masse, sans coupure et sans logarithme, qui prédit une décimale mesurée. Voyons-le en cinq étapes.
On écrit l’intégrale du diagramme, on nettoie le numérateur avec l’algèbre de Dirac, on symétrise le dénominateur par les paramètres de Feynman, on trie le numérateur en séparant ce qui est $\gamma^\mu$ (donc $F_1$) de ce qui est $\sigma^{\mu\nu}q_\nu$ (donc $F_2$), et l’on intègre.
Aucune divergence n’apparaîtra dans la partie $F_2$ : c’est la clef de la prédictibilité.
Étape 1 : l’intégrale du diagramme
On applique les règles de Feynman de QED en suivant la ligne fermionique à rebours de la flèche. En notant $k$ l’impulsion du fermion avant le vertex et $k’ = k + q$ après, le photon virtuel porte $p - k$ :
$\displaystyle \bar u(p')\,\delta\Gamma^\mu\,u(p) = \int\!\frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4}\; \frac{-\mathrm i g_{\nu\rho}}{(k-p)^2+\mathrm i\epsilon}\; \bar u(p')\,(-\mathrm ie\gamma^\nu)\, \frac{\mathrm i\,(\not{\!\!k}'+m)}{k'^2-m^2+\mathrm i\epsilon}\, \gamma^\mu\, \frac{\mathrm i\,(\not{\!\!k}+m)}{k^2-m^2+\mathrm i\epsilon}\, (-\mathrm ie\gamma^\rho)\,u(p) $
Trois propagateurs au dénominateur (deux fermions, un photon), deux vertex de plus qu’à l’arbre : c’est bien une correction d’ordre $e^2$ relative, donc $\alpha$.
Étape 2 : nettoyer le numérateur
L’indice $\nu$ du photon virtuel est contracté entre les deux extrémités de l’arc, ce qui prend en sandwich toute la chaîne. Les identités de contraction de la partie précédente s’en chargent.
Les trois identités et leur emploi :
$\displaystyle \gamma^\nu\gamma^\mu\gamma_\nu = -2\gamma^\mu, \quad \gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma_\nu = 4g^{\alpha\beta}, \quad \gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\beta\gamma_\nu = -2\gamma^\beta\gamma^\mu\gamma^\alpha $
Le numérateur à traiter est $\gamma^\nu(\not{\!\!k}’+m)\gamma^\mu(\not{\!\!k}+m)\gamma_\nu$. En développant le produit, quatre morceaux apparaissent :
- le terme sans masse, $\gamma^\nu(\not{\!\!k}')\gamma^\mu(\not{\!\!k})\gamma_\nu$, traité par la troisième identité (cinq matrices) : il donne $-2(\not{\!\!k})\gamma^\mu(\not{\!\!k}')$, avec inversion de l'ordre de $k$ et $k'$ ;
- les deux termes linéaires en $m$, traités par la deuxième identité (quatre matrices) : ils donnent $4m\,k^\mu$ et $4m\,k'^\mu$, c'est-à-dire des objets sans matrice $\gamma$ libre ;
- le terme en $m^2$, traité par la première identité : $-2m^2\gamma^\mu$.
En rassemblant, et en comptant les facteurs $\mathrm i$ des propagateurs et des vertex (soit $(-\mathrm i)\times(-\mathrm ie)^2\times\mathrm i^2 = -\mathrm ie^2$, multiplié par le $-2$ commun) :
$\displaystyle \bar u(p')\,\delta\Gamma^\mu\,u(p) = 2\mathrm ie^2\!\int\!\frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{\bar u(p')\big[(\not{\!\!k})\gamma^\mu(\not{\!\!k}') + m^2\gamma^\mu - 2m(k+k')^\mu\big]u(p)} {\big((k-p)^2+\mathrm i\epsilon\big)\big(k'^2-m^2+\mathrm i\epsilon\big)\big(k^2-m^2+\mathrm i\epsilon\big)} $
Le numérateur ne contient plus que trois structures, et l’on notera déjà que la troisième, $(k+k’)^\mu$, n’a aucune matrice $\gamma$ : c’est elle qui alimentera $F_2$ après passage par Gordon.
Étape 3 : symétriser le dénominateur
Trois facteurs différents au dénominateur interdisent toute intégration. Le remède est celui de la partie 11 : les paramètres de Feynman, qui les fusionnent en un seul au prix d’intégrales supplémentaires sur des variables auxiliaires.
Fusion et décalage d'impulsion :
L’identité à trois facteurs s’écrit
$\displaystyle \frac{1}{ABC} = \int_0^1\!\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\;\delta(x+y+z-1)\;\frac{2}{[xA+yB+zC]^3} $
Avec $A = k^2-m^2$, $B = k’^2-m^2$ et $C = (k-p)^2$, le crochet devient, après regroupement,
$\displaystyle k^2 + 2k\cdot(yq - zp) + yq^2 - (x+y-z)m^2 $
On complète alors le carré en posant
$\displaystyle \boxed{\ \ell = k + yq - zp\ } $
qui est le décalage d’impulsion : la variable d’intégration devient $\ell$, ce qui est licite puisque l’intégrale porte sur tout l’espace. Le dénominateur prend sa forme définitive, ne dépendant plus de $\ell$ que par $\ell^2$ :
$\displaystyle \big[\ell^2 - \Delta\big]^3 \qquad\text{avec}\qquad \Delta = (1-z)^2m^2 - xy\,q^2 $
en ayant utilisé $p^2 = p’^2 = m^2$ et $p\cdot q = -q^2/2$. Cette quantité $\Delta$ est positive et joue le rôle d’une masse effective : c’est elle qui apparaîtra au dénominateur du résultat final.
Étape 4 : trier, et voir apparaître $F_2$
C’est l’étape décisive. Le décalage $k = \ell - yq + zp$ étant reporté dans le numérateur, celui-ci devient un polynôme en $\ell$, et il faut le ranger selon les deux structures autorisées par la symétrie, $\gamma^\mu$ et $\sigma^{\mu\nu}q_\nu$.
Le tri, et les trois outils qui le rendent possible :
Trois simplifications font tout le travail :
- Parité en $\ell$. Les termes linéaires en $\ell$ s'intègrent à zéro, le dénominateur ne dépendant que de $\ell^2$. Pour les termes quadratiques, on peut remplacer $\ell^\alpha\ell^\beta \to \frac{\ell^2}{4}g^{\alpha\beta}$ par isotropie.
- Équations de Dirac. Le numérateur est pris en sandwich entre $\bar u(p')$ et $u(p)$ : on peut donc utiliser $(\not{\!\!p})\,u(p) = m\,u(p)$ à droite et $\bar u(p')(\not{\!\!p}') = m\,\bar u(p')$ à gauche, ce qui élimine toutes les occurrences de $\not{\!\!p}$ et $\not{\!\!p}'$.
- Décomposition de Gordon. Les termes restants du type $(p+p')^\mu$, qui n'ont pas de matrice $\gamma$, se convertissent grâce à la relation du pas II, lue à l'envers : $\frac{(p+p')^\mu}{2m} = \gamma^\mu - \frac{\mathrm i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}$. C'est ici, et seulement ici, que naît la structure de Pauli.
Après le tri, le numérateur se met sous la forme
$\displaystyle \bar u(p')\left[ \gamma^\mu\left(-\frac{\ell^2}{2} + (1-x)(1-y)q^2 + (1-2z-z^2)m^2\right) + \frac{\mathrm i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}\Big(2m^2 z(1-z)\Big) \right]u(p) $
Observons attentivement les deux coefficients, car toute la suite en découle. Le coefficient de $\gamma^\mu$ contient un terme en $\ell^2$ ; celui de $\sigma^{\mu\nu}q_\nu$ n’en contient aucun. Or c’est précisément le $\ell^2$ qui, intégré contre $1/(\ell^2-\Delta)^3$, produit une divergence logarithmique. La divergence est donc tout entière dans $F_1$, et $F_2$ est fini d’emblée.
Étape 5 : les deux intégrations
Il ne reste qu’à intégrer, d’abord sur $\ell$, puis sur les paramètres de Feynman.
L'intégrale sur $\ell$, puis sur $x$, $y$, $z$ :
La partie $F_2$ n’ayant pas de $\ell$ au numérateur, une seule intégrale est nécessaire, et elle est convergente :
$\displaystyle \int\!\frac{\mathrm d^4\ell}{(2\pi)^4}\,\frac{1}{(\ell^2-\Delta)^3} = \frac{-\mathrm i}{32\pi^2\,\Delta} $
En rassemblant les préfacteurs ($2\mathrm ie^2$ de l’étape 2, le facteur 2 de l’identité de Feynman, et le $-\mathrm i/32\pi^2$ ci-dessus), on obtient
$\displaystyle 2\mathrm ie^2 \times 2 \times \frac{-\mathrm i}{32\pi^2} = \frac{e^2}{8\pi^2} = \frac{\alpha}{2\pi} $
d’où le facteur de forme de Pauli à tout $q$ :
$\displaystyle F_2(q^2) = \frac{\alpha}{2\pi}\int_0^1\!\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\;\delta(x+y+z-1)\;\frac{2m^2 z(1-z)}{(1-z)^2m^2 - xy\,q^2} $
Posons maintenant $q = 0$, puisque c’est le moment magnétique statique qui nous intéresse. Alors $\Delta = (1-z)^2m^2$, et une simplification spectaculaire se produit : le $m^2$ disparaît, et l’un des deux facteurs $(1-z)$ aussi.
$\displaystyle F_2(0) = \frac{\alpha}{2\pi}\int\!\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\;\delta(x+y+z-1)\;\frac{2z(1-z)}{(1-z)^2} = \frac{\alpha}{\pi}\int\!\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\;\delta(x+y+z-1)\;\frac{z}{1-z} $
La distribution $\delta$ sert à faire l’intégrale sur $x$ ; il reste $y$ à parcourir de $0$ à $1-z$, ce qui fournit exactement un facteur $(1-z)$ :
$\displaystyle F_2(0) = \frac{\alpha}{\pi}\int_0^1\!\mathrm dz\;(1-z)\,\frac{z}{1-z} = \frac{\alpha}{\pi}\int_0^1 z\,\mathrm dz $
Le facteur $(1-z)$ gênant s’annule contre celui du volume d’intégration, et il ne reste que l’intégrale la plus simple des mathématiques.
Tout se referme sur $\int_0^1 z\,\mathrm dz = \tfrac12$ :
Le résultat de Schwinger (1948)
$\displaystyle F_2(0) = \frac{\alpha}{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad g = 2\left(1 + \frac{\alpha}{2\pi} + \ldots\right) = 2{,}00232\ldots $
Reprenons la mesure de ce qui vient d’être fait. Une intégrale sur quatre dimensions d’impulsion, un numérateur de seize termes matriciels, trois propagateurs, une divergence. Et au bout, $\int_0^1 z\,\mathrm dz$. Aucun ingrédient nouveau n’a été introduit : les règles de Feynman, l’algèbre des $\gamma$, les paramètres de Feynman et la décomposition de Gordon suffisaient. C’est ce que la théorie quantique des champs a de plus convaincant : la machinerie, assemblée pièce par pièce et pour d’autres raisons, produit sans qu’on l’y invite un nombre que l’on peut aller vérifier au laboratoire.
L’accord avec l’expérience de l’époque valut à Schwinger une salve d’applaudissements spontanée au congrès de l’APS de 1948, et le $\frac{\alpha}{2\pi}$ est gravé sur sa tombe.
Ce que vaut le seul terme de Schwinger, face à la mesure :
L’anomalie est définie par $a_e = (g-2)/2$. Le calcul ci-dessus donne
$\displaystyle a_e^{(1)} = \frac{\alpha}{2\pi} = 1{,}161\,410\times10^{-3} $
alors que la mesure donne
$\displaystyle a_e^{\text{mes}} = 1{,}159\,652\,181\times10^{-3} $
Le premier terme seul est donc juste à 0,15 % près, ce qui est déjà remarquable pour un unique diagramme. L’écart résiduel est comblé par les ordres supérieurs, calculés jusqu’à $\alpha^5$ (des milliers de diagrammes), et l’accord final porte sur une dizaine de chiffres significatifs.
C’est ce qui fait de QED la théorie la plus précisément testée de toute la physique. Le cousin muonique $a_\mu$, plus sensible aux particules lourdes virtuelles puisque l’effet croît comme $m_\mu^2/M^2$, fait couler beaucoup d’encre comme sonde de physique au-delà du modèle standard.
Relisons enfin l’histoire complète du facteur $g$, car elle résume toute la partie précédente et celle-ci : Pauli le met à la main ($g = 2$ postulé) ; Dirac le déduit de la relativité ($g = 2$ exact) ; le champ quantique le corrige ($g = 2 + \frac{\alpha}{\pi}$, parce que l’électron n’est jamais nu : il traîne son nuage de photons virtuels, qui participe au moment magnétique). Chaque étage de la théorie laisse son empreinte dans les décimales d’un seul nombre mesurable.
La confrontation, en un tableau
| Grandeur | Sans QED | Avec QED | Mesure |
|---|---|---|---|
| $g$ de l’électron | Dirac : exactement $2$ | $2\left(1+\dfrac{\alpha}{2\pi}+\ldots\right)$ | $2{,}002,319,304,362$ |
| $a_e = (g-2)/2$ | $0$ | $1{,}159\,652\,181\times10^{-3}$ (jusqu’à $\alpha^5$) | $1{,}159\,652\,181\times10^{-3}$ |
| Lamb : $2S_{1/2} - 2P_{1/2}$ | Dirac : $0$, les deux niveaux sont dégénérés | $+1058$ MHz, dont $-27$ MHz de polarisation du vide | $1057{,}8$ MHz |
| $\alpha^{-1}$ à l’échelle $M_Z$ | constante : $137{,}04$ | $128{,}9$ (toutes particules chargées) | $128{,}9 \pm 0{,}1$ |
Les trois lignes ne testent pas la même chose, et c’est ce qui rend le tableau instructif. Le $g$ de l’électron teste le vertex et la structure du couplage. Le déplacement de Lamb teste la self-énergie de l’électron (pour l’essentiel) et la polarisation du vide (pour la petite part calculée ici), avec la particularité de porter sur une dégénérescence que la théorie de Dirac prédisait exacte : sans champ quantifié, l’effet serait rigoureusement nul. Et la course de $\alpha$ teste le groupe de renormalisation lui-même, en vérifiant qu’une constante fondamentale n’en est pas une.
Dans les trois cas, la colonne « sans QED » donne un résultat net et faux : exactement 2, exactement 0, exactement constant. Ce n’est pas une théorie vague que la renormalisation vient préciser, c’est une théorie précise qu’elle vient corriger. C’est ce qui donne aux mesures leur pouvoir de trancher.
Bilan
$\displaystyle \tilde\Pi^{\mu\nu} = (q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)\,\tilde\Pi \;\xrightarrow{\ \text{Ward}\ }\; \tilde D = \frac{-\mathrm{i}\,g_{\mu\nu}}{q^2\left(1 - \tilde\Pi\right)} \;\xrightarrow{\ \text{empaquetage}\ }\; |e(q)| = \frac{|e_0|}{\sqrt{1 - [\tilde\Pi(q) - \tilde\Pi(0)]}} $
$\displaystyle |e(q)| \;\xrightarrow{\ \text{limite statique}\ }\; V(\boldsymbol r) = -\left\{\frac{\alpha}{r} + \frac{4\alpha^2}{15m^2}\delta^{(3)}(\boldsymbol r)\right\} \;\xrightarrow{\ \text{orbitale } 2S\ }\; \Delta\nu = -27\ \mathrm{MHz} $
$\displaystyle \beta = +\frac{|e|^3}{12\pi^2} > 0 \;\xrightarrow{\ \text{tous les fermions chargés}\ }\; \alpha^{-1}\ :\ 137{,}0 \ \longrightarrow\ 128{,}9\ \text{à l'échelle } M_Z $
$\displaystyle \tilde\Gamma^\mu = \gamma^\mu F_1 + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}F_2 \;\xrightarrow{\ \text{Gordon}\ }\; g = 2\left[1 + F_2(0)\right] \;\xrightarrow{\ \text{Schwinger}\ }\; F_2(0) = \frac{\alpha}{\pi}\int_0^1 z\,\mathrm dz = \frac{\alpha}{2\pi} $
Pièges
- Le photon habillé reste sans masse : la structure $(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)$ imposée par Ward maintient le pôle en $q^2 = 0$. Une self-énergie qui donnerait une masse au photon signalerait une violation de jauge.
- $e(q)$ n'est pas « la charge qui change avec le temps » : c'est la force effective vue à une résolution donnée. La charge de Thomson ($q \to 0$) reste la constante des tables.
- Ne pas confondre les deux contributions au déplacement de Lamb : la polarisation du vide donne $-27\ \mathrm{MHz}$, le gros du $+1057\ \mathrm{MHz}$ vient de la self-énergie de l'électron. Le signe même diffère.
- $F_1(0) = 1$ n'est pas un résultat de calcul mais une condition de renormalisation (définition de la charge) : c'est pourquoi seul $F_2(0)$ contient de la physique nouvelle à transfert nul.
- $F_2$ est fini sans contreterme, et ce n'est pas un hasard : le terme en $\ell^2$ du numérateur, seul responsable de la divergence logarithmique, n'accompagne que la structure $\gamma^\mu$. Toute la divergence est donc dans $F_1$. C'est cette finitude qui rend $a_e$ prédictible sans aucun paramètre ajustable.
- La décomposition de Gordon ne vaut qu'entre spineurs sur couche de masse : elle utilise l'équation de Dirac des deux côtés.
- Le signe de $\beta$ n'est pas universel : positif en QED (écrantage), négatif en QCD (liberté asymptotique). Le calcul est le même, le contenu en boucles change tout.
Et maintenant ? Nous possédons une théorie quantique des champs complète pour l’électromagnétisme et la matière chargée : construite sur le principe de jauge, renormalisée, et vérifiée sur une dizaine de chiffres significatifs. Difficile de faire mieux.
Mais QED ne décrit qu’une seule des interactions. Les deux autres reposent elles aussi sur des symétries de jauge, à ceci près que leurs groupes, $SU(2)$ et $SU(3)$, sont non abéliens : leurs éléments ne commutent pas. La partie suivante reprend donc le principe de jauge dans ce cadre, et découvre que le champ de jauge y devient sa propre source, ce qui explique enfin la liberté asymptotique. Elle applique ensuite ce mécanisme, augmenté d’une brisure spontanée de symétrie, au modèle de Weinberg–Salam : l’unification de l’électromagnétisme et de l’interaction faible, d’où sortent la masse de l’électron, un neutrino sans masse, un photon sans masse et les bosons $W^\pm$ et $Z^0$.