Mécanique
Énergie cinétique et travail
Une approche historique sur l’émergence du concept d’énergie en mécanique, de Descartes à Einstein.
Pourquoi une énergie cinétique en $v^2$ ?
Trois démonstrations de la formule de l’énergie cinétique.
Je trouve la deuxième (celle de Johann Bernoulli) fabuleuse d’intuition géométrique (elle utilise l’escargot de Pythagore).
Lagrange et Hamilton
Les objets de la mécanique classique dans sa formulation newtonienne sont des vecteurs à 3 dimensions qui évoluent dans le bon vieil espace physique euclidien $\mathbb{R}^3$.
Mais la fin du 18e et la première moitié du 19e siècle ont vu naître de nouvelles formulations de la mécanique où l’arène même dans laquelle s’ébattent les objets physiques étudiés est chamboulée. On peut littéralement parler de nouvelles façons de voir.
Souhaitant s’affranchir de la géométrie (quel souhait étrange), Lagrange vise une approche purement analytique (il ventait l’absence de tout schéma dans son manuel de mécanique…). Son idée centrale fut de basculer de l’étude de $N$ systèmes comme $N$ vecteurs dans $\mathbb{R}^3$ à un seul système composite, un seul vecteur, évoluant dans $\mathbb{R}^{3N}$. Toute configuration des $N$ systèmes devient un unique point dans l’espace $\mathbb{R}^{3N}$ appelé alors espace des configurations. Et l’évolution de l’ensemble des $N$ objets dessine un chemin unique dans l’espace des configurations.
Hamilton souhaite, lui, retrouver la source géométrique de la mécanique mais tout en conservant une approche analytique. L’arène d’Hamilton ne doit plus seulement décrire la position du système mais son état physique entier, ce qui nécessite de savoir comment le système bouge. On a besoin pour cela de l’espace des phases dont chaque point informe à la fois de la position et de la quantité de mouvement de chacun des $N$ objets du système. L’espace des phases est donc de dimension $2\times 3N$ !
Chute libre et paraboles
Étudier la chute libre, c’est jouer avec des paraboles.
Force de Coriolis
La force de Coriolis n’est pas une force mais traduit juste la galère d’aller droit dans un référentiel tournant.
Comprendre cet effet permet d’expliquer les rotations des masses d’air cycloniques et anticycloniques ou encore d’en savoir plus sur ces troyens qui peuplent l’orbite de Jupiter.
Tunnels traversant la Terre
Petits exercices de niveau licence/prépa traitant de voyages autour ou à travers la Terre et durant à chaque fois 42 min (nombre geek par excellence depuis que Douglas Adams en a fait la réponse à toute chose dans Le Guide du voyageur galactique).
Forces de marée
De manière “amusante”, le ratio des contributions de la Lune et du Soleil aux forces de marée sur Terre est donné par le ratio de leurs masses volumiques respectives :
$$\frac{F_\text{maréee,Lune}}{F_\text{maréee,Soleil}}\approx\frac{\rho_\text{Lune}}{\rho_\text{Soleil}}$$
En effet, les forces de marée exercées par un astre sur la Terre sont proportionnelles au gradient de son champ gravitationnel, donc à $\displaystyle\frac{M_\text{Astre}}{d_\text{Astre-Terre}^3}$ .
Mais on sait aussi que la Lune et le Soleil sont à peu près vu sous le même diamètre apparent de 30’ depuis la Terre (un indice parmi d’autres : les éclipses solaires parfois annulaires, parfois totales). Par conséquent, les distances des deux astres sont dans le rapport de leurs rayons (Thalès) :
$$\frac{d_\text{Terre-Lune}}{d_\text{Terre-Soleil}}\approx\frac{r_\text{Lune}}{r_\text{Soleil}}$$
On a donc bien au final :
$$ \begin{aligned} \frac{F_\text{maréee,Lune}}{F_\text{maréee,Soleil}} &=\frac{M_\text{Lune}}{d_\text{Lune-Terre}^3}\left/\frac{M_\text{Soleil}}{d_\text{Soleil-Terre}^3}\right.\\ &=\frac{M_\text{Lune}}{M_\text{Soleil}}\times \frac{d_\text{Soleil-Terre}^3}{d_\text{Lune-Terre}^3}\\ &\approx \frac{M_\text{Lune}}{M_\text{Soleil}}\times \frac{r_\text{Soleil}^3}{r_\text{Lune}^3}\\ &=\frac{M_\text{Lune}}{r_\text{Lune}^3}\left/\frac{M_\text{Soleil}}{r_\text{Soleil}^3}\right.\\ &=\frac{\rho_\text{Lune}}{\rho_\text{Soleil}} \end{aligned} $$
Et avec $\rho_\text{Lune} = \pu{3,3 g*cm-3}$ et $\rho_\text{Soleil} = \pu{1,4 g*cm-3}$, on retrouve que la contribution du Soleil aux forces de marée représente environ 42% (comme par hasard) de celle de la Lune.