Électromagnétisme
Rayonnement
Code Python pour cette dernière vidéo :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve
import os
x0 = 0.2
def beta_function(t):
return np.array([0.,-x0*c*np.sin(np.pi*t),0])
def beta_dot_function(t):
return np.array([0,-x0*c*np.pi*np.cos(np.pi*t),0])
c = 1
def r_0(t):
return np.array([float(0.),float(x0*c/np.pi*np.cos(np.pi*t)),0])
def determinetprime(r,r_0,t):
"""
r_0(t_prime) est la fonction donnant la position au cours du temps
r est le point où on cherche la valeur du champ
"""
def func(t_prime):
return t - t_prime - np.linalg.norm(r - r_0(t_prime)) / c
t_prime_initial_guess = t - 1
t_prime_solution = fsolve(func, t_prime_initial_guess)
return t_prime_solution[0]
def champ_vectorized(x_grid, y_grid, r_0_func, beta_function, beta_dot_function, t):
q = 1
E_field = np.zeros(x_grid.shape + (3,)) # Initialisation d'un tableau 3D pour le champ électrique
for i in range(x_grid.shape[0]):
for j in range(x_grid.shape[1]):
r = np.array([x_grid[i, j], y_grid[i, j], 0])
tprime = determinetprime(r, r_0_func, t)
beta = beta_function(tprime)
beta_dot = beta_dot_function(tprime)
r0 = r_0_func(tprime)
R = r - r0
R_norm = np.linalg.norm(R)
R_hat = R / R_norm
gamma = 1 / np.sqrt(1 - np.dot(beta, beta))
term1_numerator = R_hat - beta
term1_denominator = gamma**2 * R_norm**2 * (1 - np.dot(R_hat, beta))**3
term1 = term1_numerator / term1_denominator
term2_numerator = np.cross(R_hat, np.cross(R_hat - beta, beta_dot))
term2_denominator = c * R_norm * (1 - np.dot(R_hat, beta))**3
term2 = term2_numerator / term2_denominator
E = q * (term1 + term2)
E_field[i, j, :] = E
return E_field
def calculate_field_line_point(r0, beta, n_hat, t, t_prime):
gamma = 1 / np.sqrt(1 - np.dot(beta, beta)) # Facteur de Lorentz
if np.linalg.norm(beta) != 0:
beta_hat = beta/np.linalg.norm(beta)
else:
beta_hat = np.array([0.0,0.0,0.0])
term_inside_brackets = beta + ((1/gamma - 1) * np.dot(n_hat, beta_hat) * beta_hat + n_hat) / (gamma * (1 + np.dot(n_hat, beta)))
return r0 + c * (t - t_prime) * term_inside_brackets
# Fonction pour tracer les lignes de champ à partir d'une position donnée à l'instant t
def plot_field_lines(r0_func, beta_func, t, num_lines=24, num_points=500, step=0.05):
for i in range(num_lines):
n_hat = np.array([np.cos(i/num_lines*2*np.pi),np.sin(i/num_lines*2*np.pi),0])
line_points = []
t_prime = t # Initialisation de t' à la valeur de t pour le début de la ligne de champ
for _ in range(num_points):
r0 = r0_func(t_prime)
beta = beta_func(t_prime)
point = calculate_field_line_point(r0, beta, n_hat, t, t_prime)
line_points.append(point)
t_prime -= step # Décrémentation de t' pour suivre la ligne de champ vers le passé
line_points = np.array(line_points)
plt.plot(line_points[:, 0], line_points[:, 1], 'r-') # Trace la ligne en rouge
# Set up grid for field calculation
x_range = np.linspace(-12, 12, 1200)
y_range = np.linspace(-6, 6, 600)
x_grid, y_grid = np.meshgrid(x_range, y_range)
# Créer le répertoire pour les images si nécessaire
output_dir = "animation"
if not os.path.exists(output_dir):
os.makedirs(output_dir)
# Définir la plage de temps et le nombre d'images
time_values = np.linspace(0, 2, num=51) # 401 images pour t de 0 à 4
for i, t in enumerate(time_values):
plt.figure(figsize=(15, 10), dpi=150)
plot_field_lines(r_0, beta_function, t)
E_field_grid = champ_vectorized(x_grid, y_grid, r_0, beta_function, beta_dot_function, t)
E_field_magnitude = np.linalg.norm(E_field_grid, axis=2)
plt.imshow(np.log10(E_field_magnitude), extent=(x_range.min(), x_range.max(), y_range.min(), y_range.max()), cmap='Spectral_r', aspect='equal')
plt.axis('off')
# Construire le nom de fichier avec un remplissage de zéros
filename = f"image{str(i).zfill(4)}.png"
filepath = os.path.join(output_dir, filename)
# Sauvegarder l'image
plt.savefig(filepath, bbox_inches='tight', pad_inches=0, transparent=True)
# Fermer la figure pour libérer de la mémoire
plt.close()
Arc électrique
Le champ disruptif d’un isolant, ou plutôt sa rigidité diélectrique, désigne la valeur maximum du champ électrique que le milieu peut supporter avant le déclenchement d’un arc électrique, ou claquage.
Pour l’air, la valeur fréquemment admise est de $\pu{36 kV/cm}$ dans l’air sec et tombe à $\pu{10 kV/cm}$ pour un air saturé en humidité. Cela signifie qu’il faut, dans l’air sec, une tension d’au moins $\pu{36 kV}$ entre deux électrodes séparées d’un centimètre pour qu’une étincelle se crée entre elles.
Comment retrouver cet ordre de grandeur à partir de principes physiques simples ?
Un arc électrique est un conduit d’air ionisé. Son origine ? Imaginons qu’un électron soit arraché à une molécule d’air. Il est alors accéléré par le champ électrique ambiant et gagne ainsi de l’énergie cinétique. Si au moment de rencontrer une nouvelle molécule, l’électron a atteint une énergie suffisante pour la ioniser, on peut se retrouver avec une cascade d’ionisations successives.
Le secret est donc d’avoir un champ suffisant pour donner à un électron une énergie de quelques dizaines d’électronvolts sur une distance correspondant à son libre parcours moyen dans l’air.
Faisons le point sur le libre parcours moyen dans un gaz de particules identiques de rayon $d$ et de densité $n$ :
La section efficace de collision $\sigma$ vaut $\pi d^2$.
$$ \begin{aligned} v_{rel}&=\sqrt{\vec{v}_{rel}\cdot \vec{v}_{rel}}\\ &=\sqrt{\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right)\cdot\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right)}\\ &=\sqrt{\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2+\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1-2\vec{v}_2\cdot\vec{v}_1} \end{aligned} $$
Pour obtenir la vitesse relative moyenne, on va supposer que les vitesses des particules se répartissent aléatoirement selon une certaine distribution de probabilité.
$$ \begin{aligned} \overline{v_{rel}}&=\sqrt{\overline{\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2}+\overline{\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1}-2\,{\cancel{\overline{\vec{v}_2\cdot\vec{v}_1}}}}\\ &= \sqrt{\overline{\vec{v}_2^2}+\overline{\vec{v}_1^2}}\\ &= \sqrt{2}\overline{v} \end{aligned} $$
On suppose en effet que les vitesses des particules 1 et 2 ne sont pas corrélées et que leurs valeurs moyennes sont les mêmes.
Le nombre de collisions d’une particule pendant un laps de temps $\Delta t$ peut être estimé comme le nombre moyen de fois que le centre de masse d’une particule se trouve dans le volume balayé par la section efficace pendant $\Delta t$, c’est-à-dire sur une distance $\overline{v_{rel}}\Delta t$.
Le volume en question vaut $V=\sigma \overline{v_{rel}}\Delta t$. Et le nombre de particules rencontrées vaut donc $nV=n\,\sigma\, \overline{v_{rel}}\,\Delta t= \sqrt{2}\,n\,\sigma\, \overline{v}\,\Delta t= \sqrt{2} \,n\,\pi \,d^2 \,\overline{v}\,\Delta t$.
Le libre parcours moyen $\lambda$ va alors correspondre à la distance parcourue pendant $\Delta t$ divisée par le nombre de collisions ayant eu lieu pendant ce laps de temps. D’où :
$$ \begin{aligned} \lambda &= \frac{\cancel{\overline{v}\Delta t}}{\sqrt{2}n\sigma {\cancel{\overline{v}\Delta t}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}n\sigma}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}n\pi d^2} \end{aligned} $$
Le libre parcours moyen ne dépend donc que de la taille des particules et de leur densité, pas de leur vitesse relative.
Pour un gaz à pression $P$ et température $T$, on peut utiliser en première approximation la relation des gaz parfaits pour obtenir la densité de particules : $n=P/k_B T$. En remplaçant dans $\lambda$, on obtient :
$$ \lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2}P\pi d^2} $$
Une molécule de diazote a un diamètre $d=\pu{0,37 nm}$ et pour une pression $P=\pu{1 bar}$ et une température $T = \pu{293 K}$, on obtient un libre parcours moyen $\lambda\approx \pu{66 nm}$. On peut remarquer que c’est près de 200 fois plus grand que la distance moyenne entre particules donnée par $1/n^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{k_B T}{P}\right)^{\frac{1}{3}}\approx \pu{3,4 nm}$ !
Pour un électron, on peut reprendre la formule du libre parcours moyen en modifiant seulement un peu la section efficace puisque $\sigma=\pi\left(r_\text{molécule}+r_\text{électron}\right)^2\approx \pi \left(r_\text{molécule}\right)^2 = \pi d^2 /4$.
Et donc $\lambda= \frac{2\sqrt{2}k_B T}{P\pi d^2}\approx 0,27 \text{ μm}$.
Notre électron devant récupérer une énergie d’environ $\pu{20 eV}$ sur la distance $\lambda$ pour réussir à ioniser la prochaine molécule de diazote rencontrée, le champ doit donc être de $\pu{20 V}/\lambda$, soit à peu près $\pu{20 V}$ pour $0,27 \text{ μm}$ $\rightarrow$ $0,74\text{ MV/cm.}$ C’est plus d’un ordre de grandeur au-dessus de ce qu’on aurait aimé obtenir 😢
Une des raisons possibles de cet écart est notre trop grand optimisme quant à l’efficacité des collisions ; il est en effet fort peu probable qu’un électron parvienne à ioniser systématiquement chaque molécule qu’il rencontre, en particulier avec une énergie à peine suffisante. Cela revient au final à surestimer la section efficace de collision… Penchons-nous alors sur la littérature pour trouver une valeur plus réaliste.
Le graphique suivant rapporte un tas de sections efficaces différentes pour des collisions électron-N2 donnant lieu à des rotations, des vibrations, ou, pour ce qui nous intéresse ici, des ionisations :
Y. Itikawa et al. Cross Sections for Collisions of Electrons and Photons with Nitrogen Molecules, Journal of Physical and Chemical Reference Data 15, 985 (1986)
Pour des électrons de $\pu{20 eV}$, la section efficace semble donc être d’approximativement $\pu{4e-17 cm2}$. Cela nous donne un libre parcours moyen de $7\text{ μm}$. Et hop, environ $\pu{30 kV/cm}$, youpi !