Les groupes

• $\forall (a,b) \in G^2,\ a\cdot b \in G$
• La loi de composition interne est associative, c’est-à-dire
  $ (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) $
• $G$ contient un élément neutre $e$ tel que
  $\forall a \in G,\ a\cdot e = a$
• Pour chaque $a \in G,$ il existe un élément symétrique $a^{-1}$ tel que $a\cdot a^{-1} = e$

Il y a 6 transformations qui laissent le triangle invariant : l’identité ($e$), les rotations de $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ (appelées $R_1$ et $R_2$), et les réflexions par rapport aux hauteurs (notées $S_A, S_B, S_C$). Elles sont toutes inversibles et la table de multiplication entre ces transformations finit de prouver qu’il s’agit bien d’un groupe.

Le caractère non abélien est évident si on compare, par exemple, $R_1 S_A$ (qui amène $A$ en $C$, $B$ en $B$ et $C$ en $A$, en appliquant les transformations de la droite vers la gauche) et $S_A R_1$ (qui amène $A$ en $B$, $B$ en $A$ et $C$ en $C$).

Pour $\boldsymbol{D_3}$, la table de multiplication est la suivante :

$\boldsymbol{S_3}$ est d’ordre $3!=6$. Les 6 permutations sont :

Le premier élément n’est autre que $e$ (rien n’a bougé). Les trois éléments suivants sont obtenus en permutant deux éléments du trio et en laissant le troisième tranquille. Les deux derniers éléments sont obtenus en permutant circulairement les trois éléments.

$$\begin{aligned} & e=(1)(2)(3) \\ & (12)(3),(1)(23),(2)(31), \\ & (123),(321) \end{aligned} $$

L’ordre d’écriture est indifférent et il est d’usage d’omettre les 1-cycle ou éléments non permutés ($(12)(3)=(12)$).

$(23)\cdot(13)=\,?$

• $1\rightarrow\,?$ : $(13)$ est tel que $1\rightarrow 3$ et $(23)$ est tel que $3\rightarrow 2$, donc 1 est envoyé sur 2 ($1\rightarrow 2$) par le produit des permutations.
• $2\rightarrow\,?$ : $(13)$ est tel que $2\rightarrow 2$ et $(23)$ est tel que $2\rightarrow 3$, donc 2 est envoyé sur 3 ($2\rightarrow 3$) par le produit des permutations.
• $3\rightarrow\,?$ : $(13)$ est tel que $3\rightarrow 1$ et $(23)$ est tel que $1\rightarrow 1$, donc 3 est envoyé sur 1 ($3\rightarrow 1$) par le produit des permutations.

On obtient bien la permutation cyclique $(123)$ dans laquelle $1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 1$. Donc $(23)\cdot (13) = (123)$.

Autre exemple : $(321)\cdot (12) = (1)(23)(2) = (23)$

$a\cdot a=a^2$ est dans $G$ par propriété des groupes et vaut soit $e$ soit un élément différent de $a$ (car seul $a\cdot e$ donne $a$).
De même, si $a^2≠e$, alors $a^2\cdot a=a^3$ vaut soit $e$, soit un élément différent à la fois de $a$ et $a^2$ puisqu’ils sont tous deux différents de $e$. En continuant ainsi, on obtient un ensemble ${a,a^2,a^3,a^4,a^5,\ldots}$ s’arrêtant pour $a^p$ valant $e$ (et cela arrive nécessairement puisque le groupe $G$ est fini). On obtient alors un groupe cyclique d’ordre $p$.

si $g_i \in G \mapsto g_i^{\prime} \in G^{\prime}$ et $g_1g_2=g_3$, alors $g_1^{\prime} g_2^{\prime}=g_3^{\prime}$.

Quand l’application est bijective, un élément pour un élément, on parle d’isomorphisme (on le note symboliquement $G \simeq G^{\prime}$).

• $e' \in \mathrm{Im}(f)$,
• Pour tout $g_1, g_2 \in G$, $f(g_1)f(g_2) = f(g_1g_2) \in \mathrm{Im}(f)$,
• Pour tout $g \in G$, $f(g^{-1}) = f(g)^{-1} \in \mathrm{Im}(f)$.

Construisons la table de multiplication du groupe $\boldsymbol{S_3}$ :

On remarque qu’en identifiant les deux permutations circulaires aux rotations de $\boldsymbol{D_3}$ et les 2-cycles aux réflexions, on retrouve exactement la même table de multiplication. Cela montre que $\boldsymbol{S_3}$ et $\boldsymbol{D_3}$ sont isomorphes ($\boldsymbol{S_3} \simeq \boldsymbol{D_3}$).

Tout groupe $G$ d’ordre $n$ est isomorphe à un sous-groupe de $\boldsymbol{S_n}$.

Les éléments de $G$ sont étiquetés $\{g_i \, ; i = 1, \dots, n\}$.
Pour un élément $a \in G$, l’élément $a g_i$ est un élément de $G$.
On peut très bien appeler $a_i$ l’indice entier qui désigne cet élément : $g_{a_i} \equiv a g_i$, ce qui détermine une séquence de nombres entiers $\left(a_1, \cdots, a_n\right)$.
Comme $a g_i=a g_k$ seulement pour $i=k$ (suffit de multiplier par $a^{-1}$ pour s’en assurer), tous les entiers $\left\{a_1, \cdots, a_n\right\}$ sont différents. Ils forment donc une permutation de $(1,2, \cdots, n)$.

Plus simplement, on peut voir l’action de $a$ sur l’ensemble des $g\in G$ comme une translation (à gauche) des éléments du groupe ($ga$ serait la translation à droite, différente par défaut).

On peut par conséquent envoyer $G$ sur $\boldsymbol{S_n}$ :

$ a \in G \longrightarrow p_a=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array}\right) \in \boldsymbol{S_n} $

Si $ab=c$ dans $G$, on a :

Or $g_{a_{b_i}}=a g_{b_i}=a\left(b g_i\right)=(a b) g_i=c g_i=g_{c_i}$, donc :

$p_a p_b=p_c=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{array}\right) \in S_n$

On a finalement montré que l’application $a \in G \longrightarrow p_a \in \boldsymbol{S_n}$ préserve la loi de composition interne, ie c’est un homomorphisme.
Et comme on a commencé par dire que l’application envoyait un antécédent sur une image unique, il s’agit d’un isomorphisme.
L’ensemble des $p_a$ (pour tous les $a$ de $G$) forme donc un sous-groupe de $\boldsymbol{S_n}$ isomorphe à $G$.

soit $p$ un cycle de longueur donnée et $q$ une permutation quelconque du même groupe de symétrie alors :

$ \begin{aligned} q p q^{-1} & =\left(q_i \leftarrow i\right)\left(p_i \leftarrow i\right)\left(i \leftarrow q_i\right) \\ & =\left(q_i \leftarrow i\right)\left(p_i \leftarrow q_i\right) \\ & =\left(q_{p_i} \leftarrow p_i\right)\left(p_i \leftarrow q_i\right) \\ & =\left(q_{p_i} \leftarrow q_i\right) \\ & =q[p] \end{aligned} $

On n’a fait qu’étiqueter différemment la permutation $p$ :

$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_n \end{array}\right) $ devient $ \left(\begin{array}{ccccc} q_1 & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ p_{q_1} & p_{q_2} & p_{q_3} & \cdots & p_{q_n} \end{array}\right) $.

L’ordre change mais pas ce que devient chacune des valeurs. La structure des cycles est donc nécessairement la même.

$\boldsymbol{S_3}$ est donc constitué de 3 classes :

• $e$
• $\{(12),(23),(13)\}$
• $\{(123),(321)\}$

Un sous-groupe $H$ de $G$ est dit invariant, ou normal, ou distingué, s’il est identique à ses sous-groupes conjugués ($H=g^{-1} H g$ pour $g\in G$).

Le sous-groupe ${e, (123), (321)}$ de $\boldsymbol{S_3}$ forme un sous-groupe invariant puisqu’il contient l’identité et la classe entière des 3-cycles. Tout élément conjugué de cet ensemble appartient à une de ces deux classes et se trouve donc dans l’ensemble de départ.

Soit $H=\{h_1,h_2,\ldots\}$ un sous-groupe de $G$ et $p$ un élément de $G$ (qui n’est pas dans $H$). Alors l’ensemble $pH=\{ph_1,ph_2,\ldots\}$ est appelé classe à gauche de $G$ suivant $H$.
De même, $Hp$ est une classe à droite suivant $H$.

Deux classes à gauche (ou à droite) d’un même sous-groupe soit coïncident complètement, soit n’ont aucun élément en commun.

Soient $pH$ et $qH$ deux classes à gauche et supposons qu’on ait, pour un certain $h_i$, et un certain $h_j$ pris dans $H$, $ph_i=qh_j$, donc $pH$ et $qH$ ont au moins un élément en commun.

Comme $q^{-1}p=h_j h_i^{-1}$, $q^{-1}p$ est un élément de $H$.

Par conséquent, $q^{-1}pH=H$ (puisque $H$ est un sous-groupe donc un groupe).

Conclusion : $pH=qH$.

Pour ne pas être dans ce cas, il ne faut aucun $h_i$ et $h_j$ tels que $ph_i=qh_j$, autrement dit, $pH$ et $qH$ doivent être disjoints.

On en déduit que pour un sous-groupe $H$ d’ordre $n_H$, l’ensemble des classes à gauche (ou à droite) forme une partition des éléments de $H$ en ensembles disjoints de $n_H$ éléments chacun.

Le sous-groupe $\left\{H_1: e,(123),(321)\right\}$ de $\boldsymbol{S_3}$ possède une classe à gauche $\{M:(12),(23),(31)\}$ obtenue en multipliant à gauche les éléments de $H_1$ par $(12)$, ou par $(23)$, ou encore par $(31)$.

Le sous-groupe $\left\{H_2: e,(12)\right\}$ de $\boldsymbol{S_3}$ possède, lui, deux classes à gauche :

• $\left\{M_1:(23),(321)\right\}$ obtenue en multipliant à gauche les éléments de $H_2$ soit par $(23)$, soit par $(321)$ ;
• $\left\{M_2:(31),(123)\right\}$ obtenue en multipliant à gauche les éléments de $H_2$ soit par $(31)$, soit par $(123)$.

Le théorème de Lagrange en découle :

l’ordre d’un groupe fini doit être un multiple entier de l’ordre de n’importe lequel de ses sous-groupes.

Soit $a$ un élément de $G$ différent de $e$.
Alors $a$ forme un sous-groupe cyclique de $G$ d’ordre au moins 2.
Or cet ordre doit diviser l’ordre $G$.
Seule solution, il vaut l’ordre $G$, ce qui implique que $G$ soit cyclique et par conséquent abélien.

L’ensemble des classes issues d’un sous-groupe invariant $H$ d’un groupe $G$ a la propriété de former lui-même un groupe, appelé groupe quotient $G/H$, d’ordre $n_G/n_H$.

• La loi de composition interne entre deux classes latérales $pH$ et $qH$ est définie comme l’ensemble des produits $ph_iqh_j=(pq)h_k$ avec $h_k=(q^{-1}h_iq)h_j$ appartenant bien à $H$ (puisque $H$ est un sous-groupe invariant).
  Plus simplement : $pHqH=pqH$.
• $H=eH$ joue le rôle de l’élément neutre.
• $p^{-1}H$ est l’inverse de $pH$.
• $pH\cdot(qH\cdot rH)=(pH\cdot qH)\cdot rH=(pqr)H$

Considérons $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ où $\mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs munis de l’addition comme loi de composition interne. $2\mathbb{Z}$ est donc l’ensemble des entiers relatifs pairs. Et par conséquent, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est formé de deux sous-groupes distincts : les entiers pairs et les entiers impairs. Le groupe quotient $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est donc isomorphe au groupe cyclique à deux éléments $\boldsymbol{C_2}$. Il correspond aussi à l’ensemble $\{0,1\}$ muni de l’addition modulo 2.

On peut généraliser en disant que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est isomorphe au groupe cyclique $\boldsymbol{C_n}$ et correspond aussi à l’ensemble des restes dans la division euclidienne de $k$ par $n$, soit l’ensemble $\{0,1,\ldots,n\}$ muni de l’addition modulo $n$.

Dans le cas de $\boldsymbol{S_3}$, $H=\{e,(123),(321)\}$ est un sous-groupe invariant.

$G/H$ contient deux éléments : $H$ et $M=\{(12),(23),(31)\}$.

$H$ est l’ensemble des permutations paires à 3 éléments (l’identité correspond à aucune permutation et les 3 cycles à des permutations doubles). On appelle aussi $H$ $\boldsymbol{A_3}$, groupe alterné d’ordre 3.
$M$ est l’ensemble des permutations impaires.

On voit facilement que la composition de deux permutations impaires ou paires donne une permutation paire alors qu’une composition mixte donne une permutation impaire :
$HM=MH=M$, $HH=H$ et $MM=H$.

On en déduit que $G/H$ est isomorphe à $\boldsymbol{C_2}$ (H est envoyé sur l’identité et $\boldsymbol{M}$ correspond à l’autre élément).

Soit f un homomorphisme de $G$ à $G^{\prime}$. On appelle noyau $K$ de cet homomorphisme l’ensemble des éléments de $G$ qui sont envoyé sur l’élément neutre de $G’$ ($K=\{g \in G ; g \stackrel{f}{\longmapsto} e^{\prime} \in G^{\prime}\}$).

Théorème d’isomorphisme (premier) :

Soit $f$ un homomorphisme de $G$ à $G^{\prime}$ de noyau $K$.
$K$ forme alors un sous-groupe invariant de $G$.
Le groupe quotient $G/K$ est isomorphe à $G^{\prime}$.
Autrement dit, on rend $f$ injectif en quotientant $G$ par son noyau.

Cela se note symboliquement $G / K \simeq G^{\prime}$ ou encore $G / \operatorname{Ker}(f) \simeq f(G)$ où $\operatorname{Ker}(f)$ désigne le noyau de $f$ et $f(G)$ est l’image de $f$.

• Montrons que $K$ est un sous-groupe :
  pour $a$ et $b$ dans $K$, $a \cdot b \xrightarrow{f} e^{\prime} \cdot e^{\prime}=e^{\prime}$, donc $a\cdot b$ est aussi dans $K$. La préservation de la loi de composition par l’homomorphisme assure que pour $g \xrightarrow{f} g^{\prime}$, on a aussi $e \xrightarrow{f} e^{\prime}$ et $g^{-1} \xrightarrow{f} g^{\prime-1}$. D’où $e \in K$, et si $a\in K$, alors $a^{-1}$ est aussi dans $K$ (car $a^{-1} \xrightarrow{f} e^{\prime-1}=e^{\prime}$).


• Montrons que $K$ est invariant :
  prenons $a$ dans $K$ et $g$ dans $G$. $g a g^{-1} \xrightarrow{f} g^{\prime} e^{\prime} g^{\prime-1}=e^{\prime}$. Donc $g a g^{-1} \in K$ pour tout $g\in G$.


• Montrons que $G/K$ est isomorphe à $G^{\prime}$ :

  Les éléments du groupe quotient $G/K$ sont les classes latérales $pK$.

  Considérons l’application envoyant les classes latérales vers l’image de $f$, $p K \xrightarrow{\rho} f(p)=p^{\prime} \in G^{\prime}$.

  • $\rho$ est bien définie : si $pK=qK$ pour $p,q\in K$, alors $q^{-1}p$ est aussi dans $K$ (puisque $K$ est un groupe) et donc comme $f$ est un homomorphisme :

    $ \begin{aligned} f\left(q^{-1} p\right) & =1 \\ & =f\left(q^{-1}\right) f(p) \\ & =f^{-1}(q) f(p) \end{aligned} $

    Et finalement, $f(q)=f(p)$.

  • $\rho$ est bien un homomorphisme :

    $ \begin{aligned} \rho(p K \cdot q K) & =\rho(p q K) \\ & =f(p q) \\ & =f(p) f(q) \\ & =\rho(p K) \rho(q K) \end{aligned} $

  • Si $\rho(p K)=\rho(q K)$ alors $\rho\left(q^{-1} p K\right)=\rho\left(q^{-1} K \cdot p K\right)$ (le groupe quotient est un groupe), et par action de groupe de l’homomorphisme, $\rho\left(q^{-1} K \cdot p K\right)=\rho\left(q^{-1} K\right) \rho(p K)=\rho^{-1}(q K) \rho(p K)=e^{\prime}$, ce qui implique $q^{-1} p K=K$ ou $qK=pK$.

  L’application est bien bijective.

on a vu dans un exemple précédent que l’homomorphisme de $\boldsymbol{S_3}$ sur $\boldsymbol{C_2}$ devient un isomorphisme si on quotiente $\boldsymbol{S_3}$ par le sous groupe invariant $H=\{e,(123),(321)\}$ : $\boldsymbol{S_3} / H \simeq \boldsymbol{C_2}$. Or $H$ est bien le noyau $K$ de l’homomorphisme comme le prévoit le théorème d’isomorphisme.

Pour un homomorphisme $f$ tel que $G \xrightarrow{f} G^{\prime}$ :

• $f$ est injectif si et seulement si $\operatorname{Ker}(f)=e$
• $f$ est surjectif si et seulement si $\operatorname{Im}(f)=G^{\prime}$

Soit $H_1$ et $H_2$ deux sous-groupes du groupe $G$ avec les deux propriétés suivantes :

• les éléments de $H_1$ commutent avec les éléments de $H_2$.
• chaque élément de $g\in G$ peut s’écrire $g=h_1h_2$ avec $h_1\in H_1$ et $h_2\in H_2$.
$G$ est alors le produit direct de $H_1$ et $H_2$ : $G=H_1 \otimes H_2$.

Décomposons $\boldsymbol{C_6}=\{e=a^6, a, a^2, a^3, a^4, a^5\}$ en $\color{red} H_1=\{e, a^3\}$ et $\color{blue} H_2=\{e, a^2,a^4\}$.

Comme $\boldsymbol{C_6}$ est abélien, le premier critère est respecté.

Et on a : $e = \color{red}e\color{blue}e$, $a = \color{red}a^3\color{blue}a^4$, $a^2 = \color{red}e\color{blue}a^2$, $a^3 = \color{red}a^3\color{blue}e$, $a^4 = \color{red}e\color{blue}a^4$, $a^5 = \color{red}a^3\color{blue}a^2$.

$H_1 \simeq C_2$ et $H_2 \simeq C_3$ donc $C_6 \simeq C_2 \otimes C_3$.

Si $G=H_1 \otimes H_2$, alors $H_1$ et $H_2$ doivent être invariants.

Pour $a_1\in H_1$, $g a_1 g^{-1}=h_1 h_2 a_1\left(h_1 h_2\right)^{-1}=h_1 h_2 a_1 h_2^{-1} h_1^{-1}=h_1 a_1 h_1^{-1} \in H_1$ (et on peut bien sûr faire pareil avec $a_2$ dans $H_2$).